高二数学点到直线的距离公式
课 题：7.3两条直线的位置关系（四）
―点到直线的距离公式
教学目的：
1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离3. 教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法. 这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离.
在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.
在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解教学过程：
一、复习引入：
1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
2．斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，
如果它们的斜率相等，则它们平行，即l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 已知直线l 1、l 2的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，
l 2：A 2x +B 2y +C 2=0(A 1B 1C 1≠0, A 2B 2C 2≠0)
l 1∥l 2的充要条件是
A 1B 1C 1
=≠
A 2B 2C 2
⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k 1和k 2，则这两条直线垂直的充要条件是k 1k 2=-1．
已知直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，
l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0．
3. 直线l 1到l 2的角的定义及公式：
直线l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角, 叫做l 1到l 2的角. l 1到
l 2的角θ：0°＜θ＜1８0°， 如果1+k 1k 2=0, 即k 1k 2=-1, 则θ=
π
2
. 如果
1+k 1k 2≠0，tan θ=
k 2-k 1
1+k 2k 1
4．直线l 1与l 2的夹角定义及公式:
l 1到l 2的角是θ1, l 2到l 1的角是π-θ1, 当l 1与l 2相交但不垂直时, θ1和
π-θ1仅有一个角是锐角, 我们把其中的锐角叫两条直线的夹角. 当直线l 1⊥l 2时, 直线l 1与l 2的夹角是
π
. 夹角α：0°＜α≤90°. 如果2
1+k 1k 2=0, 即k 1k 2=-1, 则α=
π
2
. 如果1+k 1k 2≠0，tan α=
k 2-k 1
1+k 2k 1
5．两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
是否有惟一解⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离为：d = （1）提出问题
Ax 0+By 0+C
A +B
22
在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为(x 0, y 0) ，直线l 的方程是
l :Ax +By +C =0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离
呢?
（2）解决方案
方案一：根据定义，点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ
B
⊥l 可知，直线PQ 的斜率为（A ≠0），根据点斜式
A
写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的
坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d 此方法虽思路自然，但运算较繁. 下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R (x 1, y 0) ；作y 轴的平行线，交l 于点S (x 0, y 2) ，
由⎨
-By 0-C -Ax 0-C ⎧A 1x 1+By 0+C =0
, y 2=得x 1=. A B ⎩Ax 0+By 2+C =0
所以，｜P Ｒ｜＝｜x 0-x 1｜＝
Ax 0+By 0+C
A
｜PS ｜＝｜y 0-y 2｜＝
Ax 0+By 0+C
B
=
A 2+B 2
×｜Ax 0+By 0+C ｜由三角形面
AB
｜ＲS ｜＝PR +PS
22
积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以d =
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
可证明，当A ＝0或B ＝0时，以上公式仍适用2．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax +By +C 1=0，
l 2：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为d =
C 1-C 2
A +B
22
证明：设P 0(x 0, y 0) 是直线Ax +By +C 2=0上任一点，则点P 0到直线
Ax +By +C 1=0的距离为d =
又 Ax 0+By 0+C 2=0
Ax 0+By 0+C 1
A +B
22
即Ax 0+By 0=-C 2，∴d ＝三、讲解范例：
C 1-C 2A +B
2
2
例1 求点P 0(-1, 2) 到下列直线的距离. (1)2x +y -10=0；(2)3x =2 解：(1)根据点到直线的距离公式得d =
2⨯(-1) +2-2+1
2
2
=2
(2)因为直线3x =2平行于y 轴，所以d =|
25-(-1) |= 33
评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；
(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.
例2 求两平行线l 1：2x +3y -8=0，l 2：2x +3y -10=0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (４，0），因为l 1∥l 2，所以点P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离. 于是d =
2⨯4-3⨯0+10
22+32
=
2=
2
13
解法二：l 1∥l 2又C 1=-8, C 2=-10.
由两平行线间的距离公式得d =
-8-(-10) 2+3
2
2
=
23
13
四、课堂练习： 课本P 53练习
1. 求原点到下列直线的距离：
(1)3x ＋2y －26＝0；(2) x ＝y 解：(1)d =
-263+2
2
2
=2.(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝02. 求下列点到直线的距离：
(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0；(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0； (3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0. 解：(1)d =
3⨯(-2) +4⨯3+3
32+42
-39
=; (2)d ==0;
25() +1
(3)d =
4⨯1+3⨯(-2)
42+32
=
2
5
3. 求下列两条平行线的距离：
(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0， (2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.
解：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８的距离就是两平行线的距离，∴d ＝
2⨯4+182+3
2
2
=2(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离，∴d =
103+4
2
2
＝2五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式六、课后作业： 课本P 53习题7.3
13. 求点P (－5，7）到直线12x ＋5y －3＝0的距离.
解：d =
⨯(-5) +5⨯7-3
+5
2
2
=
2813
14. 已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值：
(1)d ＝４，（2）d ＞４解：(1)d =
3a -4⨯6-23+(-4)
2
2
＝４，解得a ＝2或a ＝
46
3
(2)d =
3a +4⨯6-232+(-4) 2
＞４，解得a ＜2或a ＞
46
3
15. 已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax +By +C 1=0，
l 2：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为d =
C 1-C 2
A +B
22
证明：设P 0(x 0, y 0) 是直线Ax +By +C 2=0上任一点，则点P 0到直线
Ax +By +C 1=0的距离为d =
又 Ax 0+By 0+C 2=0
Ax 0+By 0+C 1
A +B
22
即Ax 0+By 0=-C 2，∴d ＝
C 1-C 2A +B
2
2
16. 求两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离解：在直线3x －2y －1＝0上任取一点P (0，－
1），则点P 到直线3x －2
2y ＋1＝0的距离就是两平行线间距离，d =七、板书设计（略）
1
-2⨯(-) +1
2
32+22
=
2 13
八、课后记：