一类常系数线性微分方程组的解法

一类常系数线性微分方程组的解法

摘 要：利用特征值把常系数线性微分方程组的求解问题化为一个代数问题，从而根据比较系数法求出通解的待定系数，得到了求解具有多重特征根常系数线性微分方程组的另一种方法．

关键词：常系数线性微分方程组；特征根；若尔当型矩阵；初等因子

A Kind of Constant Coefficient Linear Differential

Equations Solution

Abstract: The constant coefficient eigenvalue problem of solving linear differentialequations into an algebraic problem, coefficient calculated according to the comparison to the general solution of the undetermined coefficient, obtained with multiple characteristic roots for solving linear differential equations with constant coefficients another way.

Key words: Linear differential equations; Eigenvalue ; Jordan matrix

引言

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）. 70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解. 常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数. 偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定. 命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”, 在很长一段时间里，人们致力于“求通解”. 但是以下原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃.

能求得通解的方程显然是很少的. 在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的. 高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n 阶齐次方程的通解是它的n 个独立特解的线性组合，其系数是任意常数. 非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得. 求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则是原方程的阶数; 当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得. 至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形之外，可以求得通解的为数就更小了. n 阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于n ）早已为人们所知，并且在此后起着一定作用，但对通解的寻求仍无济于事. 在偏微分方程方面，一阶方程可以归结为一阶常微分方程组，但是如上所述，一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的. 高阶方程中几乎只有少数二阶方程, 和少数极个别的非线性方程可以求得通解. 在线性情形，推广常数变易法则是杜阿美原理.

本文提出一种求解非齐次线性微分方程组的方法即比较系数法，它是通过对待定系数进行系数比较来确定的．特点是不需要通过积分，用代数方法即可求得方程的特解，从而满足给定的通解形式，也即将求解微分方程的问题化为某个代数问题来处理，因而比较简单．

1. 预备知识

在给出常系数线性方程组之前先回顾一下用比较系数法求解非齐次线性微分方程解的一般做法．例如：

d 3x d 2x dx

例1 求方程3+32+3+x =e -t (t -5) 的通解．

dt dt dt

解： 先求对应的齐线性方程

d 3x d 2x dx

+3+3+x =0 dt 3dt 2dt

的通解．这里特征方程l 3+3l 2+3l +1=0有三个相同的根

l 1=l 2=l 3=-1，因此通解为x =(c 1+c 2t +c 3t 2) e -t

其中c 1，c 2，c 3为任意常数．再求非齐次线性方程的一个特解．这里

f (t ) =e -t (t -5) ，l =-1，又因l =-1是特征根，故可取特解形式如

=t 3(A +Bt ) e -t ， =t 3(其中A ，B 为待定系数，为了明确A ，B ，将x x A +B t e ) 带入原方程，得到

-t

(6A +24Bt ) e -t =e -t (t -5) ,

比较系数求得A =-的通解为：

x =(c 1+c 2t +c 3t 2) e -t +

13

t (t -20) e -t ， 24

51 =1t 3(t -20) e -t 。因此方程，B =. 从而x 62424

其中c 1，c 2，c 3为任意常数．因此我们可以用同样的方法来考虑方程组的求解问题．

给定以下常系数线性微分方程组

'

x =Ax （1）

（其中x =col (x 1, x 2, , x n ) 为n 维列函数向量，为A =(a ij ) n ´n 常数矩阵，

i , j =1,2, , n 且x (t ) 连续）

定义1.1 把矩阵A ÎC n ´n 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次

因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）成为A 的初等因子． 定义1.2 对一个n 行n 列的非零矩阵A ，如果存在一个矩阵B ，使得

AB =BA =I （I 是单位矩阵），则A 是非奇异矩阵．

定义1.3 形式为：

æl ççç1ççç J (l , t ) =ç ççç0ççççè0

l 0000 1 0

00 l 1

0ö÷÷÷0÷÷÷÷ ÷的矩阵称为若尔当块，其中l 是÷÷÷0÷÷÷÷l ÷ø

t ´t

复数．由若干个若尔当块组成的准对角矩阵成为若尔当形矩阵，其一般形状如：

öæA 1

÷ç÷ç÷ç÷A ç2ç÷ ç ÷ ÷ç÷ ÷ç÷çç÷çA s ÷èø

其中

æöl i

÷ç÷ç÷ç÷1l i ç÷ç÷çç÷A = i ç ÷ 并且l 1，l 2， ，l l 中有一些可以相等. ÷÷ç÷ç÷ç1l ÷i ç÷ç÷ç1l i ÷øk i ´k i è

引理1[1] 矩阵f (t ) =exp At 为（1）的基解矩阵，且f (0)=I ． 证明：φ' (t )=(exp At )

'

A 2t A 3t 2A k t k -1

=A +++ ++

1! 2! (k -1)! =A exp At =A f (t ) ，

这就表明，f (t ) 是（1）的解矩阵. 又因为det f (0)=det I =1，因此，

f (t ) 是（1）的基解矩阵．

引理1[] 方程组（1）的任一解ψ(t )都有形式

2

ψ(t ) =(exp At )C (2)

（其中exp At 为（1）的基解矩阵，C =col (c 1, c 2, , c n ) 为常数列

向量. ）

引理2 方程组（1）的任一特定系数解

x (t ) =(E 0+E 1t +E 2t 2+ +E k -1t k -1) e l t (3)

k ìï(A -l I ) E 0=0ïïï(A -l I ) E 0=E 1ïïï

代入（1）有如下关系成立：í(A -l I ) E 1=E 2 (4)

ïïï ïïï(A -l I ) E k -2=E k -1ïïî

(其中E 0, E 1, , E k -1为n 维列向量，E 0为非零列向量．)

引理3 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形．

引理4 基解矩阵exp At 的计算公式为：

exp At =exp(TJT -1) t =T (expJt ) T -1 (5) 或矩阵

J t y (t ) =T e x p

也是基解矩阵（其中T 为非奇异矩阵，J 称为若尔当标准型矩阵）．

一般来说，方程组（1）的解不一定能够通过初等积分变换得到．大多数情况下，都是根据引理1归结为求解矩阵的问题．但是当A 的特征根有重数时，求基解矩阵也往往变得更为复杂．可根据引理2，如下面的例子 例2 求微分方程组

ìïïïïïïï

ïí

ïïïïïïïïî

dx 1

=4x 1-x 2dt dx 2

=3x 1+x 2-x 3的通解： dt dx 3

=x 1+x 3dt

骣4-10÷ç÷ç÷÷31-1 解：方程组的系数矩阵为A =ç的特征方程为ç÷ç÷ç÷ç101÷桫

骣4-l çç

det(A -l I ) =ç3çççç桫1

-11-l

0÷÷÷-1÷=-(l -2) 3=0 ÷÷÷1-l ÷

解之得特征根为l 1=l 2=l 3=2可设原方程组的解为： x (t ) =(E 0+E 1t +E 2t 2) e 2t

ìï(A -2I ) 3E 0=0ïï

则向量满足E 0, E 1, E 2满足如下关系式ïí(A -2I ) E 0=E 1

ïïïïî(A -2I ) E 1=2E 2

骣2-10÷ç÷çç÷A -2I =ç3-1-1÷ (A -2I 2) =÷ç÷ç÷ç10-1÷桫

骣1-11÷ç÷çç÷2-2÷ 2ç÷ç÷ç÷÷ç1-11桫

于是(A -2I ) 3=0这样由(A -2I ) 3E 0=0得E 0可分别取

骣1÷çç÷(1) (2)

÷E 0=ç0÷= , E 0ç÷ç÷ç÷ç0÷桫

骣0÷ç÷ç(3) ÷ç÷1= , E 0ç÷ç÷ç÷ç0÷桫

骣0÷ç÷ç÷ç÷0 ç÷ç÷ç÷ç1÷桫

(1) (2) (3)

将E 0, E 0, E 0分别代入(A -2I ) E 0=E 1, 得E 1为

骣2÷çç÷1(2)

÷E 1() =ç3÷E = , ç1÷ç÷ç÷ç1÷桫骣-1÷ç÷ç(3)÷ç÷-1E = , ç1÷ç÷ç÷ç0÷桫骣0÷ç÷ç÷ç÷-1 ç÷ç÷ç÷ç-1÷桫

(2)

又将E 1(1), E 1, E 1(3) 分别带入(A -2I ) E 1=2E 2, 得E 2

骣1÷ç÷ç÷ç2÷ç÷ç(1) (2) ç÷E 2=ç1÷=, E 2÷÷ç÷ç÷ç1÷ç÷çç2÷骣1÷÷÷2÷ç÷ç(3) ç÷-1÷=, E 2ç÷÷ç÷ç÷ç1÷ç÷-çç桫2÷骣1÷ç÷ç÷ç2÷ç÷çç÷-1÷ ç÷÷ç÷ç÷ç1÷ç÷-çç桫2÷

因而，原方程组三个线性无关的解分别为：

骣1ç1-2t +t 2÷÷ç÷ç2÷ç÷ç÷(1) (1)(1)22t 22t ç÷ x 1(t ) =(E 0+E 1+E 2t ) e =ç3t +t e ÷÷ç÷ç÷ç1÷2ç÷t +t ç÷ç÷桫2骣12÷ç-t -t ÷çç2÷÷ç÷ç÷t 2(2) (2) () 222t 2ç x 2(t ) =E (0+E 1t +E 2t e ) =ç-1t -t ÷e ÷÷ç÷ç÷ç1÷2ç÷-t ç÷ç÷桫2骣12

÷çt ÷ç÷ç2÷ç÷ç÷(3) (3) (3) 22t 22t ç÷ x 3(t ) =(E 0+E 1t +E 2t ) e =ç-t +t e ÷÷ç÷ç÷ç12÷ç1-t +t ÷ç÷ç桫2÷从而，原方程组的通解为：

骣x 1÷ç÷ç÷ç÷x ç2÷=ax 1(t ) +bx 2(t ) +cx 3(t ) ç÷ç÷çx 3÷桫

骣1112÷ç1-2t +t 2-t -t 2t ÷ç骣÷a ÷ç222÷çç÷÷ç2t ç222÷çç÷÷1-t -t -t +t ÷çb ÷ =e ç3t +t ÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷÷çç111c 桫222÷ç÷t +t -t 1-t +t çç桫222÷

故其变形，得

22t ìïx =(a +bt +ct ) e 1ïïïx =(2a -b +(2b -2c ) t +2ct 2) e 2t （a , b , c 为任意常数）

í2ïï22t ïx =(a -b +2c +(b -2c ) t +ct ) e 3ïî

通过以上解题过程可以看出，寻求一种比较简洁的方法来求解具有多重特征根的常系数微分方程组是很有必要的．因此，下面就来讨论如何让用比较系数法来求解具有多重特征根的常系数微分方程组．

2 主要结论及应用

对于线性方程组（1），我们对一般情况有以下结果： 定理 对给定的线性方程组（1），其通解的形状为：

(1)

x i (t ) =P (t ) e l 1t +P i (2) (t ) e l 2t + +P i (m ) (t ) e l m t + +P i (l

i

n -1

n -1

n -1

n -1)

(t ) e l t （６）

l

(n m -1)

其中，i =1,2, n ，l m 为A 的特征根，P (t ) 是t 的不超过n m -1次的多项i

式（m =1,2, l ）

证明 ：首先对于矩阵A ，由矩阵理论知，必存在非奇异矩阵T ，使得T -1AT =J , 其中J 是若尔当标准型，即

æ0⎫J 1⎛λj 1 0⎫çç ⎪⎪ç λJ çJ =ç 2 ⎪， J j = j ⎪，(j =1,2, , l ) ç ⎪ç 1⎪ çç ⎪⎪ç 0⎪çλJ l ⎭è0j ⎭ ⎝

这里J j 为n j 阶矩阵，并且n 1+n 2+ +n l =n ，而l 为初等因子的个数．可设A 的初等因子为(l -l 1) 1，(l -l 2) 2， (l -l l ) l . l 1，l 2， ，l l 为特征根，可以有相等的. 其中T 可做如下变换：

x =T u （7） 设T =(t ij ) n ´n 是非奇异的，则方程（1）可化为

dTu du

=ATu ， 即T =ATu dt dt du

=T -1ATu （8） dt

n

n

n

0⎫⎛J 1

⎪

du J

=Ju = 2 ⎪u 即

⎪ dt

⎪

J 0l ⎭⎝

写成如下的简式

du () i

=J i u () （i =1,2, , n ） （9） dt

i

其中

骣u 1÷ç÷çç÷u 2÷ç÷(1) ç u (2) =u =ç÷÷ç ÷÷ç÷ç÷çu n 1÷ç桫

骣u n 1+1÷ç÷ç÷ç÷u çn 1+2÷(n ) ç÷ u =ç÷ç÷÷ç ÷ç÷çç÷u n 1+n 2÷ç桫

骣u n -(n l -1) ÷ç÷ç÷ç÷çu ÷n -n l ç÷ ç÷ç÷÷ç ÷ç÷ç÷ç÷çu n 桫

这里n =n 1+n 2+ +n l

现以第一个向量方程为例来讨论如下：

du () 1

=J 1u () （10）

dt

1

骣u 1÷ç÷çç÷u 2÷d ç÷ç即 ç麋=÷ç÷ dt ç÷÷ç÷çu n 1÷ç桫

æl 11 0⎫⎛u 1⎫çç⎪ u ⎪ç λç2

1 ⎪ ⎪ çç 1⎪ ⎪çç⎪⎪ ç ⎪çu λè0 1⎭⎝n 1⎭

可写成如下方程组：

ìdu 1ïï=l 1u 1+u 2

ïïdt ïïï ïïï ídu n 1-1ï=l 1u n 1-1+u n 1ïïdt ïïïdu n 2ï=l 1u n 2ïïdt ïî

从最后一个方程开始解起，并逐个带入上一个方程，有：

l 1t ìïu =C e n n ï11ïïïu n 1-1=(C n 1t -C n 1-1) e l 1t ïïï

í

ïïï骣C n ï÷l 1t n -11ï÷u 1=ç? t +C t +C e ï21÷çï÷çn -1! () 桫ïïî

同样的方法可解其它向量方程，最后可求得

l n t ìïu =C e n n ïïl n t ïïu =(C t -C ) e n -1n 1n 1-1ïïï í ïïï骣C n ïn l -1l l t ÷ï÷u n -(n l -1) =çt + +C t +C e çn -(n +2) n -(n +1) ï÷l l ç÷ï(n l -1) 桫ïî

（其中C i 为任意常数）

n i -1骣t ÷ç÷1t çç÷(n i -1)! ÷ç÷ç÷ç÷n i -2ç÷t ÷ç(i ) ÷2, 1 l ） （11） 即u (t ) =ç（i =, 1e l i t ，÷ç÷ç(n i -2) ! ÷ç÷ç÷ç÷÷ç0 1÷ç÷ç÷ç÷桫

把u (i ) (t ) 合并起来，可得到解矩阵

1æö0u () (t ) ÷ç÷ç÷ç2) (÷ç÷u t () ç÷ (12) u (t ) =ç÷ç÷ ÷ç÷ç÷çl ) (÷ç÷u t () è0ø

由于det (u (t ) ) =e 1l 1+n 2l 2+ n l l l t 0, 因此u (t ) 是基解矩阵．故由引理1和引理3 知方程组（1）的任意解的表达式为：

x (t ) =Tu (t ) C

其中T =(t ij ) n ´n 是非奇异的，带入上式便可得解的分量为

x i (t ) =

å

n

t ij u jk C k (i =1,2, n ) （13）

j =1

整理后便可得到（6）式．结论证得．

推论 由（6）式可得，当特征根为l 1（m 1重根），l 2（m 2重根）， l l （m l

重根）（l i ¹l j ，i ¹j ），l l 所对应的任意初等因子的指数都不超过其重数（m l ）， 将（6）式中相同的l j 项合并起来便可得出结果，有 x i (t ) =

å

l

P i n k -1(t ) e l k t （i =1,2, n ） （14）

k =1

例3 求微分方程组

ìïïïïïïï

ïí

ïïïïïïïïî

dx 1

=4x 1-x 2dt dx 2

=3x 1+x 2-x 3的通解． dt dx 3

=x 1+x 3dt

解： 特征方程为det(A -l I ) =0，解得特征根为l 1=l 2=l 3=2，相应的

初等因子为(l -2) ．故可设方程组有以下形式的解：

22t ìïx =(A +A t +At ) e 112ïïïx =(B +B t +B t 2) e 2t í2123ïï22t ïx =(C +C t +C t ) e 3123ïî3

带入原方程组，比较系数，整理得：

ì2A 1+A 2=4A 1-B 1ïïïïí2A 2+2A 3=4A 2-B 2 ïïïïî2A 3=4A 3-B 3

ì2B 1+B 2=3A 1+B 1-C 1ïïï ïí2B 2+2B 3=3A 2+B 2-C 2 ïïïïî2B 3=3A 3+B 3-C 3

ì2C 1+C 2=A 1+C 1ïïïïí2C 2+2C 3=A 2+C 2 ïïïïî2C 3=A 3+C 3

令A 1=a ，A 2=b ，A 3=c ，则求得：

ìB 1=2a -b ïïïïíB 2=2b -c ïï? ïîB 32c

ìC 1=a -b +2c ïïïï íC 2=b -2c ïï? ïîC 3c

故原方程的通解为：

22t ìïx =(a +bt +ct ) e 1ïïïx =(2a -b +(2b -2c ) t +2ct 2) e 2t （其中a , b , c 为任意常数） í2ïï22t ïx =(a -b +2c +(b -2c ) t +ct ) e 3ïî

由上面的例子可以看出，同样是例2，例3的解题方法简便的多，它直接避免了求基解矩阵那比较困难的一步，简洁明了．

ìïïïï例4 求方程组íïïïïïî

dx 1=x 1-x 2dt 的通解 dx 2=x 1+3x 2dt

解：det (A -l I ) =-l -1 ＝l 2-4l +4=0 3-l

2相应的初等因子为(l -2) ，故可设方程组的通解为：

2t ìïx =A +A t e () 112ï í2t ïïîx 2=(B 1+B 2t ) e

带入原方程组，比较系数，整理得：

ìA 1+A 2=-B 1ïï í ïA =-B 2ïî2

ìB 1=B 2-A 1ïï íïB =-A 2ïî2

ìïB 1=-a -b 令A 2=a , B 2=b , 则ï íïB =-b ïî2

故原方程组的通解为：

2t ìïïx 1=(a +bt ) e （其中a , b 为任意常数） í2t ïïîx 2=-(a +b +bt ) e

3. 结束语

本文通过与预备知识所给方法的比较，重点得到了另一种求解具有多重特征根的常系数微分方程组的解法，也是比较系数法的一种推广，有它简便易懂的固有特点，它的实质是其最后的通解满足预先给定的解的形式，因此，求其解的过程是正确的．

参考文献

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［10］叶彦谦．常微分方程讲义[M] ．北京:人民教育出版社，1982， 12．

致谢

在论文完成之际，我在周口师范学院四年的学习生活即将结束，我要特别感谢我的指导老师司军辉老师的热情关怀和悉心指导. 在我撰写论文的过程中，司老师倾注了大量的心血和汗水，他广博的学识，深厚的学术素养，严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终身受益，在此表示深深的谢意.

感谢我的爸爸妈妈，养育之恩无以回报，愿你们永远健康快乐.

感谢和我度过四年美好大学生活的2007级数学与应用数学专业的全体同学，感谢数学与信息科学系的所有授课老师，你们使我终身受益.

特别还要感谢陪着我一起成长的205寝室所有的姐妹们，我在这里真诚的祝福你们. 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者.