关于购买手机问题的数学建模模型

2014～2015学年第一学期 《数学模型》结课论文

论文题目： 选择手机的数学模型 小组成员：

1. 学号 0000000000 姓名 QX 2. 学号 0000000001 姓名 MCX 3. 学号 0000000002 姓名 DXX

大连交通大学理学院应用数学教研室

2014年9月

选择手机的数学模型

摘要：

大学生手机消费已经很普遍，本文通过对互联网上的手

机消费调查数据进行整合与计算。运用层次分析法建立大学生手机消费的数学模型，分别进行了手机供应商质量取优策略分析，大学生消费者乘数效应分析等。同时运用数学矩阵的计算对手机消费进行数字化，让读者能够更加显见易懂。通过对此些数据的有效分析使大学生群体能够更好地认识到手机消费市场的优劣，帮助大学在五花八门的手机消费市场中更好地选择购买到自己心仪的手机。

关键词：

大学生手机消费、层次分析法、矩阵计算、乘数效应

一、问题重述

在通讯工具不断发展的今天，手机被当成一种生活的必需品，越来越多的大学生的生活中都离不开手机。与此同时，更多的商家也开始把大学生做为手机购买群体中最重要的消费者之一。手机作为一种高科技产品，一种通讯工具，同时作为一种时尚和身份的象征。手机的普及率超乎想象，尤其是在大学校园几乎是人手一部。

大多数同学都喜欢购买品牌机，即三星，苹果，华为等。由于科技的日新月异，不少的小产家也加入到市场的竞争中来，并以其价廉“功能全”的因素吸引消费者。普遍学生对手机的要求及功能的消费主要分为两个方面：一 ：手机本身的特点，包括品牌，功能，价格，内存等。二 ：手机的使用用途，消费等。不良商家会通过诸多手段来欺骗社会阅历尚还欠缺的学生，如谎报价格，夸大性能，混淆概念，减少标准配置等。作为一个还不能自己赚钱的群体，大多数同学都是使用父母的钱来购买手机。因此我们希望通过对此些问题的分析来使大学生能够在鱼龙混杂的手机市场用合适的价格选择到一部合适自己的手机。

二、基本假设

1、假设只考虑国内占市场份额较大的这三种牌子：三星、苹果、小米；

2、假设不考虑手机同种品牌的不同机型；

3、假设手机均在同一市场购买，不考虑同一手机在不同市场的差价；

4、假设手机均在同一天购买，不考虑市场价格浮动； 5、不考虑手机的质量问题，即不存在“山寨机”和“二手机”；

6、不考虑性别对手机选择的影响；

7、假设大学生在构建成对比矩阵上观点一致；

三、符号说明

C ij ：表示准则层的价格、外观、性能、品牌这四个

参考因素（i,j=1,2,3,4)

P i ：表示方案层的苹果、三星、小米这三大手机品牌（i=1,2,3）

a ij ：表示第i 个参考因素对第j 个参考因素的影响之比

b ij ：表示针对同一个参考因素第i 个手机品牌对第j 个手机品牌的影响之比

：表示最大特征值 w ：表示权向量 CI ：表示一致性指标

RI ：随机一致性指标（n=3，RI=0.58；n=4，RI=0.90） CR ：表示一致性比率

四、模型建立

建立层次分析结构模型

大学生在购买手机上的三个主要层如下所示：

目标层：选择手机

准则层：价格 外观 性能 品牌 方案层：三星 苹果 小米

五、模型求解 (一）构造成对比较阵

在构造成对比较矩阵之前，引入一个评价指标，即由购买者评价价格、外观、性能、品牌等四个指标对于购买决定的影响大小，采用1-9级相对重要性作为尺度的方法。其详细内容如下所示：

通过对以上三种产品的四种评价指标的实际情况的调查，得到下面几个矩阵。其中，矩阵1是对四种指标之间的相对重要性进行比较，表格2到表格5则是针对于每种具体的指标，根据三款手机在该指标上的优劣进行比较，最终得出以下的对比矩阵：

矩阵1

⎡1⎢1/3A =⎢

⎢2⎢⎣1/2

矩阵2

31/22⎤

⎥11/31⎥

313⎥

⎥

11/31⎦

⎡121/2⎤⎢⎥B 1=⎢1/211/3⎥

⎢⎥231⎣⎦

矩阵3

23⎤⎡1

⎢⎥B 2=⎢1/212⎥

⎢⎥1/31/21⎣⎦

矩阵4

⎡11/21⎤

⎢⎥B 3=⎢212⎥

⎢⎥11/21⎣⎦

矩阵5

⎡11/23⎤

⎢⎥B 4=⎢215⎥

⎢⎥1/31/51⎣⎦

（二）计算权向量并作一致性检验

这里的B k (k=1,...,4)中的元素b ij 是方案P i 与P j 对于准则C k 的优越性的比较尺度。

由第三层的成对比较阵B k 计算出权向量w k ，最大特征值

λk 和一致性指标CI k ，结果列如下表

一致性比率CR=CI/RI

由于n=3时随机一致性指标RI=0.58，所以上面的CI k 均可通过一致性检验。

六、总结说明

下面的问题是由各准则对目标的权向量w k 和各方案对每一准则的权向量w k ，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。记作w k 。对于方案P 1，它在价格等4个准则中的权重用w k 的第1个分量表示，而 4个准则对于目标的权重又用权向量w k 表示，所以方案P 1在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即

0.288*0.297+0.127*0.539+0.447*0.25+0.138*0.309=0.308

同样可以算出P 2, P 3在目标中的组合权重为0.389和

T 。结果表明方89,0.303) 0.303，于是组合权向量w =(0.308,0.3

案P 2在手机选择中占的权重远大于P 1, P 3应作为第一选择品牌。

七、参考文献

姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第四版）高等教育出版社

韩大卫编著，管理运筹学（第六版），大连理工大学出版社

同济大学数学系编，工程数学线性代数（第五版），高等数学出版社