二次函数与圆的综合题2
二次函数与圆的综合题
1.已知:如图,
抛物线y =2x x x 轴分别交于A ,B 两点,与y 上一动点(D 点与A ,O 不重轴交于C 点,⊙M 经过原点O 及点A ,C ,点D 是劣弧OA
合).
(1)求抛物线的顶点E 的坐标; (2)求⊙M 的面积;
(3)连CD 交AO 于点F ,延长CD 至G ,使FG =2,试探究当点D 运动到何处时,直线GA 与⊙M 相切,并请说明理由.
2. 如图,已知二次函数y =mx +(m -3) x -3 (m>0) (1) 求证:它的图象与x 轴必有两个不同的交点,
(2) 这条抛物线与x 轴交于两点A (x 1,0), B (x 2,0) (x 1<x 2),与y 轴交于点C ,且AB=4,⊙M 过A ,B ,C 三点,求扇形MAC 的面积S 。
(3) 在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P ,PD ⊥x 轴于D, 使△PBD 被直线BC 分成面
积比为1:2的两部分? 若存在,请求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由。
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3. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为1的圆的圆心O 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点.抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点D ,与直线y =x 交于点
M 、N ,且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长. (3)过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上,说明理由.
4.. 如图,已知抛物线y = ax 2 + bx -3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,经过A 、B 、
C 三点的圆的圆心M (1,m )恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M 的半径为5.设⊙M 与y
轴交于D ,抛物线的顶点为E .(1)求m 的值及抛物线的解析式;
(2)判断△OBD 与△CEB 是否相似, 并说明理由;
(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,请指出点P 的位置,并直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(0, )
5. 如图,在平面直角坐标系中,以点C(0,4) 为圆心,半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ,AB 是⊙C 的切线.动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发,设运动时间为t (秒) .
(1)当t =1时,得到P 1、Q 1两点,求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ; (2)当t 为何值时,直线PQ 与⊙C 相切?并写出此时点P 和点Q 的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线对称轴l 上存在一点N ,使NP +NQ 最小,求出点N 的坐标并说明理由.
6. 在直角坐标系中,⊙A 的半径为4,圆心A 的坐标为(2,0),⊙A 与x 轴交于E 、F 两点,与y 轴交于C 、D 两点,过点C 作⊙A 的切线BC ,交x 轴于点B . (1)求直线CB 的解析式;
(2)若抛物线y =ax 2+bx +c的顶点在直线BC 上,与x 轴的交点恰为点E 、F ,求该抛物线的解析式;
(3)试判断点C 是否在抛物线上?
(4) 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与△AOC 相似?直接写出两组这样的点.
(2,-3a ) ,对称轴是直线x =1,顶点是M .
(1) 求抛物线对应的函数表达式;
(2) 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P ,使
,C ,N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐以点P ,A
标;若不存在,请说明理由;
(3) 设直线y =-x +3与y 轴的交点是D ,在线段BD 上任取一点E (不与B ,D 重
,B ,E 三点的圆交直线BC 于点F ,试判断△AEF 的形状,并说合),经过A
明理由;
(4) 当E 是直线y =-x +3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出
结论).
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8. 如图13,二次函数y =x +px +q (p
轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为(1)求该二次函数的关系式;
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。 4
(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴的垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点,
求m 的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形?若存在,求
出点D 的坐标;若不存在,请说明理由。
(2,-3a ) ,对称轴是直线x =1,顶点是M .
(1) 求抛物线对应的函数表达式;
(2) 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P ,使
,C ,N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐以点P ,A
标;若不存在,请说明理由;
(3) 设直线y =-x +3与y 轴的交点是D ,在线段BD 上任取一点E (不与B ,D 重
,B ,E 三点的圆交直线BC 于点F ,试判断△AEF 的形状,并说合),经过A
明理由;
(4) 当E 是直线y =-x +3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请
直接写出结论).
10. 已知抛物线y=
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x +px+q与x 轴相交于不同的两点A (x 1,0)、B (x 2,0)(B 在A 的2
右边),又抛物线与y 轴相
(1)求证:4p+5q=0;
(2)问是否存在一个圆O' ,使它经过A 、B 两点,且与y 轴相切于C 点?若存在,试确定此时抛物线的解析式及圆心O' 的坐标;若不存在,请说明理由. (需要画图时,可利用图8的直角坐标系.)
11. 平移y=-x2的图象, 使它的顶点在第一象限, 且OM=,tan ∠MOX=3, (1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线交x 轴于A 、B 两点, 求ΔABM 的外接圆的面积.
(3)试问在抛物线上是否存在一点P, 使S ΔABP =3SΔABC , 若存在, 求出P 点, 若不存在, 说明理由.
12. 如图①,在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心的⊙O 的半径为2-1,直线l :
y =-x -2与坐标轴分别交于A 、C 两点,点B 的坐标为(4,1) ,⊙B 与x 轴相切于
点M 。
(1)求点A 的坐标及∠CAO 的度数;
(2)⊙B 以每秒1各单位长度的速度沿x 轴负方向平移,同时,直线l 绕点A 顺时针
匀速旋转。当⊙B 第一次与⊙O 相切时,直线l 也恰好与⊙B 第一次相切。问:直线AC 绕点A 每秒旋转多少度?
(3)如图②,过A 、O 、C 三点作⊙O 1,点E 为劣弧
EC 、EA 、EO ,
当点AO 上运动时(不与A 、O 两点重合) 如果不变,求其值;如果变化,说明理由。
EC -EA
的值是否发生变化?
EO
C >A C 13. 如图2-4-25,在Rt △ABC 中,∠ACB=900,B ,以斜边AB 所在直线为x 轴,
AO +B =17以斜边AB 上的高所在的直线为y 轴,建立直角坐标系,若O ,且
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-m x +2(m -=3) 0线段OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x 的两根.
求点C 的坐标.
(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ,求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式,并画出此抛物
线的草图.
(3)在抛物线的解析式上是否存在点P ,使△ABP
和△ABC 全等?若相聚在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
f (x ) = 2⋅x 2
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图2-4-25
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y =x +bx +c 14. 如图, 抛物线的与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于点C,D 是抛物线
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上一点, 其坐标为(2, 4),B 点的坐标为(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)经过A 、B 、D 三点的圆交AC 于点F, 交直线y=x+3于点E, 试判断△BEF 的形状, 并
加以证明.
15. 如图, 在直角坐标系中, 以点A (3, 0) 为圆心, 以23为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点, 与y 轴交于D 、E 两点. (1)求点D 的坐标;
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y =ax +bx +c (2)若B 、C 、D 三点在抛物线上, 求这个抛物线的解析式;
(3)若⊙A 的切线交x 轴的正半轴于点M, 交y 轴的负半轴于点
OMN=30°, 试判断直线MN 是否经过抛物线的顶点, 并说
明理由.
B
N, 切点为P, 且∠
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y =x +bx +c 16. 已知二次函数的顶点M 在直线y=-4x上, 并且图象经过点A(-1,0).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设此二次函数与x 轴的另一个交点为B, 与y 轴的交点为C, 求经过M 、B 、C 三点的
圆O ’的直径长;
(3)设圆O ’与y 轴的另一个交点为N, 经过P(-2,0)、N 两点的
直线为l 问圆心O ’是否在直线l 上, 请说明理由.
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y =ax +bx +c 17. 已知抛物线经过A(1,0),B(5,0)两点, 最高点的纵坐标为4, 与y 轴交于
点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若△ABC 的外接圆⊙P 与y 轴的另一交点为D, ⊙P 的弦DE 平行于x 轴, 求直线CE
的解析式;
(3)在x 轴上是否存在点F, 使△OCF 与△CDE 相似? 若存在, 求出所有符合条件的点F 的
坐标, 并判定直线CF 与⊙P 的位置关系; 若不存在, 请说明理由.