第一章函数极限与连续
第一章 函数极限与连续
一、教学目标与基本要求:
1、理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数图像,掌握函数的表示方法。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、会建立简单应用问题中的函数关系式。
6、理解极限的概念,理解函数在极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7、掌握极限的性质及四则运算法则。
8、掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
10、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并会应用这些性质。
二、教学内容的重点及难点:
1.数列的极限、函数的极限的概念
2.极限的性质及四则运算法则;
3.极限存在的两个准则,利用两个重要极限求极限;
4.无穷小的比较,用等价无穷小求极限;
5.闭区间上连续函数的性质。
三、教学内容的深化和拓宽:
1.数列极限的的深刻背景,函数极限的几何意义;
2.两个重要极限、等价无穷小的应用;
3.极限与无穷小的关系;
4.连续的实质,闭区间上连续函数的性质,用介值定理推证一些简单命题。
§1.1 函 数
一、内容要点
基本概念
集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.
函数的概念
函数的特性:有界性,单调性,奇偶性,周期性.
反函数,复合函数,基本初等函数与初等函数
二、教学要求和注意点
本部分属基本概念,对其中的每一个定义都应加以仔细推敲,透彻理解和牢固其精神实质,从而为学习本课程奠定好基础。
从实际问题建立变量之间的关系是数学应用与实际问题的第一步,也是比较困难的一步,要注意这方面的训练,以便逐步培养分析问题解决问题的能力。
一、 集合、常量与变量
1、集合:集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C„„等来表示,组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素,就记aM(读a属于M);若事物a不是集合M的一个元素,就记aM或aM(读a不属于M);集合有时也简称为集。
注 1:若一集合只有有限个元素,就称为有限集;否则称为无限集。
2:集合的表示方法:
可用列举出其全体元素的方法来表示,如:A{1,2,3,,(i)、若集合为有限集,就鸡};10},B{一只猫,一只狗,一只
元素的规律,也可类似写出,如:A{1,2,3,}为全体自(ii)、对无限集,若知道其
然数集,B{2,4,6,}为全体偶数集;枚举法(iii)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合,若知其元素有某种性质,那么该集},即:有此性质的必在A中,且A中的元素必合可表示为:A{xx所具有的某种性质
A{xx35x27x30};B{xx为我校的学生};C{(x,y)点须有此性质。如:
(x,y)在D中}等。
3:全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4:集合间的基本关系:若集合A的元素都是集合B的元素,即若有xA,必有xB,就称A为B的子集,记为AB,或BA(读B包含A)。
显然:NZQR.
若AB,同时BA,就称A、B相等,记为A=B。
5:当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如:{1,2,2,3}={1,2,3}。
2x 6:不含任何元素的集称为空集,记为,如:{xx10,xR}=,{x:21}=,空集是任
何集合的子集,即A。
7:区间:所有大于a、小于b(a<b)的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)={xaxb} 。
同理:[a,b]={xaxb}为闭区间,a,b{xaxb}和a,b{xaxb}分别称为左闭右开、左开右闭的区间,统称为半开区间。
以上均成为有限区间,a、b分别称为左、右端点。
对无穷区间有:,b{xxb},(a,){xax},(,){xx}R, 在不特别要求下,有限区间、无限区间统称为区间,用I表示。
8:邻域:设a和为两个实数,且0.集合{xxa}称为点a的邻域,记为U(a,),a为该邻域的中心,为该邻域的半径,事实上,
U(a,){xaxa}(a,a)。 同理:我们称U(a,){x0xa}为a的去心邻域,或a的空心邻域。
9:集合的内容很多,其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。
2、常量与变量:在自然科学中,我们会遇到各种不同的量,然而在观察这些量时,发现有着非常不同的状态,有的量在过程中不起变化,保持一定的数值,此量称为常量;又有些量有变化,可取各
种不同的数值,这种量称为变量。
【例】掷同一铅球数次,发现铅球的质量、体积为常量,而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。
注1:常量与变量是相对而言的,同一量在不同场合下,可能是常量,也可能是变量,如在一天或在一年中观察某小孩的身高;从小范围和大范围而言,重力加速度可是常量和变量,然而,一旦环境确定了,同一量不能既为常量又为变量,二者必居其一。
2:常量一般用a,b,c„„等字母表示,变量用x,y,u,t„„等字母表示,常量a为一定值,在数轴上可用定点表示,变量x代表该量可能取的任一值,在数轴上可用动点表示,如:x(a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。
二、 函数的概念
【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为:Sx2,显然当x确定了,S也就确定了。
这就是说,同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。
定义:设x和y为两个变量,,D为一个给定的数集,如果对每一个xD,按照一定的法则f变量y
总有确定的数值与之对应,就称y为x的函数,记为yf(x).数集D称为该函数的定义域,x叫做自变量,y叫做因变量。
当x取数值x0D时,依法则f的对应值称为函数yf(x)在xx0时的函数值。所有函数值组成的集合W{yyf(x),xD}称为函数yf(x)的值域。
注 1:函数通常还可用yg(x),yF(x),su(t)等表示。
2:约定:函数的定义域就是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值的全体。
【例1】 ysinx的定义域为(,),值域为[1,1]。
【例2】 yx的定义域为[1,),值域为[0,)。
x2
1【例3】 y2
1x0x1x01x0
x的定义域为(,0)(0,),从而显然x的定义域为[1,1],值域为[0,2]。 【例4】 f(x)1的定义域为(,),h(x)
f(x)h(x)。
3、若对每一个xD,只有唯一的一个y与之对应,就称函数yf(x)为单值函数;若有不止
一个y与之对应,就称为多值函数。如:x2y21,x2y21等。以后若不特别声明,只讨论单值函数。
4、函数的表示法有三种:解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍,它是借助于数学式子来表示对应法则,上例均为解析法,注意例3的法则是:当自变量x在(0,1]上取值,其函数值为x2;当x取0时,f(x)1;当x在[1,0)上取值时,其函数值为1x。(这种函数称为分段函数,在2
以后经常遇见,希望注意!)尽管有几个不同的算式,但它们合起来只表示一个函数!
5、对D中任一固定的x,依照法则有一个数y与之对应,以x为横坐标,y为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时,便得到一个点集C{(x,y)yf(x),xD},我们称之为函数yf(x)的图形。换言之,当x在D中变动时,点(x,y)的轨迹就是yf(x)的图形。
【例5】 书上的几个例子。(同学们自己看)
【例6】 例3的图形如下图
三、 函数的几种特性
1、 函数的有界性:设yf(x)在D上有定义,若对xD,M0,使得:f(x)M,就称f(x)在D上有界,否则称为无界。
注:1、若对xD,M,使得f(x)M(f(x)M),就称f(x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界f(x)在D上同时有上界和下界。
2、f(x)在D上无界也可这样说:对M0,总x0D,使得f(x0)M。
【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的;例2中的函数是无界的,但有下界。
2、函数的单调性:设函数f(x)在区间I上有定义,若对x1、x2I,当x1x2时总有:
(1)f(x1)f(x2),就称f(x)在I上单调递增,特别当严格不等式f(x1)f(x2)成立时,就称f(x)在I上严格单调递增。
(2)f(x1)f(x2),就称f(x)在I上单调递减,特别当严格不等式f(x1)f(x2)成立时,就称f(x)在I上严格单调递减。
注:1、此处的定义与书上有区别,希望注意!
2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。
3、调递增有时简称单增、递增或不减,其它也一样。
【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数,但不严格单调。
【例9】 y1在(0,)上是严格单减函数。 x
【例10】 [例3]中的函数在定义域[1,1]上不是单调的,但在[1,0)上是严格单减的,在(0,1]上是严格单增的。
3、函数的奇偶性:设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集,即若xD,有xD,
(1) 若对xD,有f(x)f(x)恒成立,就称f(x)为偶函数。
(2) 若对xD,有f(x)f(x)恒成立,就称f(x)为奇函数。
23【例11】 yx,ycosx,yx,是偶函数,yx,ysinx,ysgnx,是奇函数。
yxx,ycosxsinx是非奇非偶函数。
【例11】﹡ ylnx(x2)是奇函数。
注:1、偶函数的图形是关于y轴对称的,奇函数的图形是关于原点对称的。
2、若f(x)是奇函数,且0D,则必有f(0)0。
3、两偶函数和为偶函数;两奇函数和为奇函数;两偶函数的积为偶函数;两奇函数的积也为偶函数;一奇一偶的积为奇函数。
4、周期性:设函数f(x)的定义域为D,如果l0,使得对xD,有xlD,且23f(xl)f(x)恒成立,就称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期。
【例12】 ysinx,ycosx,ytgx分别为周期为2,2,的周期函数,yx[x]为周期为1的函数。
注1:若l为f(x)的周期,由定义知2l,3l,4l也都是f(x)的周期,故周期函数有无穷多个周期,
通常说的周期是指最小正周期(基本周期),然而最小正周期未必都存在(为什么?)
例如:ysin2xcos2x1,设有最小正周期。
2:周期函数在一每个周期(akl,a(k1)l)(a为任意数,k为任意常数)上,有相同的形状。
四、 反函数
设f(x)的定义域为D,值域为W,因此,对yW,必xD,使得f(x)y,这样的x可能不止一个,若将y当作自变量,x当作因变量,按函数的概念,就得到一新函数x(y),称之为函数yf(x)的反函数,而f(x)叫做直接函数。
注1:反函数x(y)的定义域为W,值域为D;
2:由上讨论知,即使yf(x)为单值函数,其反函数却未必是单值函数,以后对此问题还作研究;
3:在习惯上往往用x表示自变量,y表示因变量,因此将x(y)中的x与y对换一下,yf(x)的反函数就变成y(x),事实上函数y(x)与x(y)是表示同一函数的,因为,表示函数关系的字母""没变,仅自变量与因变量的字母变了,这没什么关系。所以说:若yf(x)的反函数为x(y),那么y(x)也是yf(x)的反函数,且后者较常用;
4:反函数y(x)的图形与直接函数yf(x)的图形是对称于yx(证明很简单,大家自己看书);
5:有些书上,对反函数的定义与此不同,希加与之区别。
yb【例13】 函数yaxb,yx,yx的反函数分别为:x,xy,xy3或分别为a231
xby,yx,yx3。 a
五 初等函数
幂函数
形如yx(为常数)的函数叫做幂函数。 1
其定义域较为复杂,下作一些简单的讨论:
(1) 当为非负整数时,定义域为(,);
(2) 当为负整数时,定义域为(,0)(0,);
(3) 当为其它有理数时,要视情况而定。
【例1】 yx的定义域为(,); 1
3
yx,yx 的定义域为0,;
yx1
21234的定义域为(0,)。
(4) 当为无理数时,规定其定义域为(0,),其图形也很复杂,但不论取何值,图形总过(1,
1)点,当>0时,还过(0,0)点。
指数函数与对数函数
1、指数函数:形如yax(a0,a1)的函数称为指数函数,其定义域为(,),其图形总在x轴上方,且过(0,1)点,
(1)当a1时,yax是单调增加的;
(2)当0a1时,yax是单调减少的;
以后我们经常遇到这样一个指数函数ye,e的意义以后讲,其图形大致如下图所示,特别地,x
yax与yax关于y轴对称。
2、对数函数:指数函数ya的反函数,记为ylogax(a为常数,a0,a1),称为对数函
x数,其定义域为(0,),由前面反函数的概念知:ya的图形和ylogax的图形是关于yx对x
称的,从此,不难得ylogax的图形,
ylogax的图形总在y轴右方,且过(1,0)点
(1) 当a1时,ylogax单调递增,且在(0,1)为负,(1,)上为正;
(2) 当0a1时,ylogax单调递减,且在(0,1)为正,(1,) 上为负;
特别当a取e时,函数记为ylnx,称为自然对数函数。
三角函数与反三角函数
1、 三角函数
三角函数主要是:
正弦函数:ysinx
余弦函数:ycosx
正切函数:ytanx
余切函数:ycotxx(,) x(,) xn2n0,1,2, xnn0,1,2,
正弦函数和余弦函数均为周期为2的周期函数,正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数,余弦函数为偶函数;另外还有两个:正割ysecx11和余割ycscx,其图形在此不做讨论了。 cosxsinx
2、 反三角函数:
反三角函数是三角函数的反函数,它们分别为:
反正弦函数:yArcsinx
反余弦函数:yArccosx
反正切函数:yArctanx
反余切函数:yArccotxx[1,1] x[1,1] x(,) x(,)
显然反三角函数都是多值函数,单我们可选取其一个单值分支,叫做主值,选法如下:
将yArcsinx限制在[,]上,得一单值函数,记为yarcsinx,它就是所取主值函数,22
[,]叫做主值区间,显然arcsinx, 2222
同理:将yArccosx限制在[0,]上,得yarccosx
将yArctanx限制在[,]上,得yarctanx 22
将yArccotx限制在[0,]上,得yarccotx
从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的,arccosx和arccotx是单调递减的。
复合函数和初等函数
1、 复合函数
设yf(u),定义域为D1,u(x),定义域为D2,值域为W2,且W2D1,这样对于
xD2,由u(x)可算出函数值uW2D1,所以uD1,由yf(u)又可算出其函数值y,因此对于xD2,有确定的值y与之对应,从而得一个以x为自变量,y为因变量的函数,我们称之为以yf(u)为外函数,记为yf((x)),u(x)为内函数复合成的复合函数,
其中u为中间变量。
【例1】 ysin2x就是yu2和usinx复合而成;
ycosx2就是ycosu和ux2复合而成。
注1:并非任何两函数都可以复合的,
2例如:yarcsinu和u2x不能复合;
2 y和u1x也不能复合。
2:复合可推广到三个或更多的函数上去,如:
ytan(lnx)2就是ytanu,uv2,vlnx复合成的。
3:在函数复合中,未必都有yf(u)、u(x)的形式,一般为yf(x)和yg(x),这时候就要注意哪个为外函数,哪个为内函数,从而复合后有yf(x)和yg(x)之分。
2、初等函数
我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数,称为初等函数。
【例2】 yx,y2,ysinx,ytan(lnx),y 本教材讨论的主要都是初等函数。
双曲函数和反双曲函数 x221sinx等都是初等函数。 1sinx
exex
双曲正弦:yshx2
exex
双曲余弦:ychx2
shxexex
双曲正切:ythxchxexex
x(,) x(,) x(,)
反双曲正弦:yarshxln(x
反双曲余弦:yarchxln(x
(多值函数yln(xx21)x21)x(,) x[1,) x21)取“+”号为主值)
反双曲正切:yarthx11xln21xx(1,1)
由于这类以后用得较少,只要掌握上面的内容就行了,其它的此外不细讲了。
§1.2 数列的极限
一、内容要点
(1)数列,数列极限的定义;
(2)收敛的性质:极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其子列的关系。
二、教学要求和注意点
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;
收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.
极限理论是高等数学的理论基础。极限概念比较抽象而且严谨,既是学习中的重点也
是学习中的难点。因此要逐字逐句地推敲务求领会它的精神实质。
主要内容:
定义:数列是定义在自然数集上的函数,记为xnf(n),n1,2,3,由于全体自然数可以从小到大排成一列,因此数列的对应值也可以排成一列:x1,x2,xn,这就是最常见的数列表现形式了,有时也简记为xn或数列xn。数列中的每一数称为数列的项,第n项xn称为一般项或通项。
n1【例1】 书上用圆内接正62边形的面积来近似代替该圆的面积时,得到数列
A1,A2,An, (多边形的面积数列)
【例2】长一尺的棒子,每天截去一半,无限制地进行下去,那么剩下部分的长构成一数列:11111,2,3,n, ,通项为n。 22222
1111,1,,(1)n1,; 【例3】1,,,;23n
34n12,,,,,; 2,4,6,,2n,;23n
1n1n1 都是数列,其通项分别为,(1),2n,。 nn
注:在数轴上,数列的每项都相应有点对应它。如果将xn依次在数轴上描出点的位置,我们能否
发现点的位置的变化趋势呢?显然,
11
是无限接近于0的;2n是无限增大的;,n
2n
n1
(1)的项是在1与1两点跳动的,不接近于某一常数;无限接近常数1。
n
n1
对于数列来说,最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态,这就是常说的数列的极限问题。
我们来观察
n1n1
的情况。从图中不难发现随着n的增大,无限制地接近1,亦即n充分
nn
大时,
n1n1n1
与1可以任意地接近,即1可以任意地小,换言之,当n充分大时1可以nnn
1n111
,由n100,即100nn100
小于预先给定的无论多么小的正数。例如,取
1021031n1
,x102,都满足不等式xn1,或者从第101项开始,以后的项x101101102100n
说,当
n10时0,有
1n11
。同理,若取1
10000n100
,由
n111n1
1n100,0即0从第10001项开始,以后的项nn10000nx10001
[1**********]
,x10002,都满足不等式xn1,或说,当n10000时,有
[**************]
n11
。一般地,不论给定的正数多么小,总存在一个正整数N,当nN时,有1
n10000n1n1
这就充分体现了当n无限接近1这一事实。这个数“1”称为当n。
nn
时,
定义:若对0(不论多么小),总自然数N0,使得当nN时都有xna成立,这
是就称常数a是数列xn的极限,或称数列xn收敛于a,记为limxna,或xna(n)。
n
n1
的极限。 n
如果数列没有极限,就说数列是发散的。
【例4】证明数列2,
34n1,,,,收敛于1。 23n
1n111
,只须n,所以取N,当nN时,有
nn
证明:对0,要使得
n1n11
1。 ,所以lim
nnnn
注1:是衡量xn与a的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制。然而,尽管具有任意性,但
一经给出,就应视为不变。(另外,具有任意性,那么
2
,2,2等也具有任意性,它们也可
代替)
2:N是随的变小而变大的,是的函数,即N是依赖于的。在解题中,N等于多少关系不
大,重要的是它的存在性,只要存在一个N,使得当nN时,有xna就行了,而不必求最小的N。
n2a2
【例5】证明lim1。
nn
n11
证明:对0,因为1,因为
nn
n2a2a2a2
22nnn(nan)
n2a2
(此处不妨设a0,若a0,显然有lim1)
nn
所以要使得
a2n2a2
就行了。 1,只须nn
a2
a2
即有n. 所以取N[] ,当nN时,因为有
n
a2
n2a2n2a2
,所以lim1。
nnn
注3:有时找N比较困难,这时我们可把xna适当地变形、放大(千万不可缩小!),若放大后小
于,那么必有xna。
【例3】 设q1,证明1,q,q2,,qn1,的极限为0,即limq
n
n1
0。
证明:若q0,结论是显然的,现设0q1,对0,(因为越小越好,不妨设1),要
n1
0,即q使得q
n1
,只须两边放对数后,(n1)lnqln成立就行了。因为
0q1,所以lnq0,所以n1
lnln
n1 。 lnqlnq
lnn1
取N1,所以当nN时,有q0成立。
lnq
收敛数列的有关性质:
定理1:(唯一性)数列xn不能收敛于两个不同的极限。 证明:设a和b为xn的任意两个极限,下证ab。
由极限的定义,对0,必分别自然数N1,N2,当nN1时,有xna…(1) 当nN2时,有xnb…(2)令NMaxN1,N2,当nN时,(1),(2)同时成立。
现考虑:
ab(xnb)(xna)xnbxna2 由于a,b均为常数ab,所以xn的极限只能有一个。 注:本定理的证明方法很多,书上的证明自己看。
【例4】证明数列xn(1)n1是发散的。
证明:(反证法)假设xn收敛,由唯一性,设limxna,按定义,对
1
,自然数N,当nN
n2
111
时,xna,考虑xn1xnxn1axna1,而xn,xn1总是
222
一个“1”,一个“1”,所以xn1xn1,所以矛盾,
所以 xn(1)n1 发散。
定理2. (有界性)若数列xn收敛,那么它一定有界,即:对于数列 xn,若正数M,对一切n,
有xnM。
证明:设limxna,由定义对1,自然数N,当nN时,xna1,所以当nN时,
n
令MM显然对一切nxnM。 xnxnaa1a,ax{x1,x2xN,1a,
注:本定理的逆定理不成立,即有界未必收敛。例如数列xn(1)n1是有界的(xn1),但函数
收敛。此点希望注意!
§1.3 函数的极限
一、内容要点
1. 函数极限的定义:趋于有限值与无穷、单侧极限;
2. 函数极限的性质:唯一性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系; 二、教学要求和注意点
极限概念比较抽象而且严谨,既是学习中的重点也是学习中的难点。因此要逐字逐句地推敲务求领会它的精神实质。同时还要注意与数列极限的定义与性质加以区别。
主要内容:
由上节知,数列是自变量取自然数时的函数,xnf(n),因此,数列是函数的一种特性情况。此处讲的是函数的极限,就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面:
1.自变量x任意接近于有限值x0,或讲趋向(于)x0(记xx0)时,相应的函数值f(x)的变化情况。
2.当自变量x的绝对值x无限增大,或讲趋向无穷大(记x)时,相应的函数值f(x)的变化情况。
一、自变量趋向有限值x0时函数的极限
与数列极限的意义相仿,自变量趋于有限值x0时的函数极限可理解为:当xx0时,f(x)A(A为某常数),即当xx0时,f(x)与A无限地接近,或说f(x)A可任意小,亦即对于预先任意给定的正整数(不论多么小),当x与x0充分接近时,可使得f(x)A小于。用数学的语言说,即
定义1:如果对0(不论它多么小),总0,使得对于适合不等式0xx0
的一切x所对应的函数值f(x)满足:f(x)A,就称常数A为函数f(x)当xx0时
的极限,记为
limf(x)A,或f(x)A (当xx0时)
n
注1:“x与x0充分接近”在定义中表现为:0,有0xx0,即xU(x0,)。显然
越小,x与x0接近就越好,此与数列极限中的N所起的作用是一样的,它也依赖于。一般地,越小,相应地也小一些。
2:定义中0xx0表示xx0,这说明当xx0时,f(x)有无限与f(x0)在x0点(是否有)
的定义无关(可以无定义,即使有定义,与f(x0)值也无关)。
3:几何解释:对0,作两条平行直线yA,yA。由定义,对此,0。当
x0xx0,且xx0时,有Af(x)A。即函数yf(x)的
图形夹在直线yA,yA之间(f(x0)可能除外)。换言之:当xU(x0,)时,f(x)U(A,)。从图中也可见不唯一!
【例1】
证明limCC (C为一常数)
xx0
证明:对0,可取任一正数,当0xx0时,f(x)ACC0,
所以limCC。
xx0
【例2】
证明lim(axb)ax0b
xx0
(a0)
证明:对0,要使得(axb)(ax0b)a(xx0)axx0,只须
xx0
a
, 所以取
a
0显然当xx0时,有(axb)(ax0b)。
【例3】
x212
。 证明lim2
x12xx13
x212x121x
证明:对0,因为a1,所以x10. 2
2xx132x133(2x1)
[此处x1,即考虑x01附近的情况,故不妨限制x为0x1,即0x2,x1]。
xx2121x
因为2x11,,要使,只须
3(2x1)32x2x13
x3
,当0x时,有1,3}(从图形中解释),即x3。取min{
x212
。 2
2xx13
定理1:(保号性)设limf(x)A,
xx0
(i) (ii)
若A0(A0),则0,当xU(x0,)时,f(x)0(f(x)0)。 若f(x)0(f(x)0),必有A0(A0)。
A证明:(i)先证A0的情形。取,由定义,对此,0,当xU(x0,)时,
2
AAAA3A
f(x)A,即0Af(x)Af(x)0。
22222
A
当A0时,取,同理得证。
2
(ii)(反证法)若A0,由(i)f(x)0 矛盾,所以A0。 当f(x)0时,类似可证。
注:(i)中的“”,“”不能改为“”,“”。 在(ii)中,若f(x)0,未必有A0。
在函数极限的定义中,x是既从x0的左边(即从小于x0的方向)趋于x0,也从x0的右边(即从大于x0的方向)趋于x0。但有时只能或需要x从x0的某一侧趋于x0的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样,就有必要引进单侧极限的定义:
定义2:对0,0,当x0xx0时,[当x0xx0时],有f(x)A.
这时就称A为f(x)当xx0时的左[右]极限,记为limf(x)A或f(x0)A。
xx00
[limf(x)A或f(x00)A]。
xx00
定理2:limf(x)Alimf(x)limf(x)A。
xx0
xx00
xx00
【例4】limsgn(x)1,limsgn(x)1,因为11,所以limsgn(x)不存在。
x00
x00
x0
【例5】设f(x)
1
2x1
x00
x0x0
,求limf(x)。
x0
解:显然limf(x)lim11
x00
limf(x)lim(2x1)1
x00
x00
因为limf(x)limf(x)1,所以limf(x)1。
x00
x00
x0
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
定义3:设f(x)当xa(a0)时是有定义的,若对0,X(a),当xX时,有
f(x),就称A为f(x)当x时的极限,记为limf(x)A或f(x)A(当
x
。 x时)
注1:设f(x)在[a,),((,b])上有定义,若对0,X0,当xX(xX)时,有
f(x),就称A为f(x)当x(x)时的极限,记为limf(x)A,或
x
(limf(x)A,或f(x)A(当x))。 f(x)A(当x)
x
2:limf(x)Alimf(x)limf(x)A。
x
x
x
3:若limf(x)A,就称yA为yf(x)的图形的水平渐近线(若limf(x)A或
x
x
x
limf(x)A,有类似的渐近线)。
【例6】 证明lim
sinx
0。
xx
证明:对0,因为
11sinxsinx1sinx
x,所以要使得只须0,0,
xxxxx
sinxsinx
0。 0,所以lim
xxx
故取X
1
,所以当xX时,有
§1.4 无穷小与无穷大
一、内容要点
1.无穷小、无穷小与函数极限的关系
2.无穷大、无穷小与无穷大之间的关系 二、教学要求和注意点
教学要求:
理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量与无穷大量的关系 教学注意点:
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
(1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数;
(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小; (3) 无界变量未必是无穷大.
主要内容:
一、无穷小
若f(x)当xx0或x时的极限为零,就称f(x)为当xx0或x时的无穷小,即有
定义1:对0,若0(X0),使得当0xx0(xX)时,有f(x)成立,就称
f(x)为当xx0(x)时的无穷小,记为limf(x)0(limf(x)0)。
xx0
x
注1:除上两种之外,还有x,x,xx00,xx00的情形。
2:无穷小不是一个数,而是一个特殊的函数(极限为0),不要将其与非常小的数混淆,因为任一
常数不可能任意地小,除非是0函数,由此得:0是唯一可作为无穷小的常数。 【例1】
因为lim(2x4)2240,所以2x4当x2时为无穷小;
x2
同理:lim
sinxsinx
0,所以当x时为无穷小,
xxx
而lim(2x4)40,所以2x4当x0时不是无穷小。
x0
定理1:当自变量在同一变化过程xx0(或x)中时:
(i)具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和,即:A为f(x)的极限f(x)A为无穷小。 (ii)若一函数可表示为一常数与无穷小之和,那么该常数就是其极限(证明在下一节)。
二、无穷大
若当xx0或x时f(x),就称f(x)为当xx0或x时的无穷大。 定义2:若对M0,0(X0),使得当0xx0(xX)时,有f(x)M,就称f(x)
当xx0(x)时的无穷大,记作:limf(x)(limf(x))。
xx0
x
注1:同理还有f(x),f(x)时的定义。 2:无穷大也不是一个数,不要将其与非常大的数混淆。
3:若limf(x)或limf(x),按通常意义将,f(x)的极限不存在。
xx0
x
【例2】
可证明lim
x0
11
x0,所以当时为无穷大。
x2x2
定理2:当自变量在同一变化过程中时, (i)若f(x)为无穷大,则
1
为无穷小。 f(x)
(ii)若f(x)为无穷小,且f(x)0,则(证明自己看)
1
为无穷大。 f(x)
§1.5 极限运算法则
一、内容要点
1. 无穷小的运算法则 2. 极限的四则运算法则 3. 复合函数的极限运算法则 二、教学要求和注意点
教学要求:
熟练掌握无穷小的运算法则, 极限的四则运算法则及其推论, 复合函数的极限运算法则,极限求法:
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 教学注意点:
要注意定理的条件与结论,要注意定理的条件的充分与必要性等.
主要内容:
由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。
定理1:有限个无穷小的和仍为无穷小,即设lim0,lim0lim()0(证明在后面)。
注1:u与都表示函数u(x)与(x),而不是常数。
2: “lim”下放没标自变量的变化过程,这说明对xx0及x均成立,但须同一过程。
定理2:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,即设u有界,lim0limu0。
证明:证明xx0时的情况,设函数u在x0的某邻域U(x0,1)内有界,即M0,当xU(x0,1)
时,有uM,又设
为当xx0时的无穷小,即lim0,故对
xx0
0,0(1),当xU(x0,)时,有
xx0
M
uuM
M
所以limu0,即u为无穷小;同理可证x时的情形。
推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小,即若k为常数,lim0limk0。 推论2:有限个无穷小的乘积仍为无穷小,设
lim1lim2limn0lim(12n)0。
定
理
3
:
若
lif(mx)A,lig(mx)B,则lim[f(x)g(x)]存在,且
lim[f(x)g(x)]ABlimf(x)limg(x)。
证明: 只证lim[f(x)g(x)]AB,过程为xx0,对0,10,当0xx01 时,
有f(x)A
2
,对此
,20,当0xx02时,有g(x)B
2
,取
min{1,2},当0xx0时,有
(f(x)g(x))(AB)(f(x)A)(g(x)B)f(x)Ag(x)B 所以lim(f(x)g(x))AB。
xx0
2
2
其它情况类似可证。
注1:本定理可推广到有限个函数的情形。
2:在本定理中,设limf(x)A,g(x)A(limg(x)A)lim(f(x)A)AA0,反
之,若f(x)A,其中lim0limf(x)lim(A)AlimA,即证§1.5定理1。
3:若令AA0,即证定理1。
定理4:若limf(x)A,limg(x)B,则limf(x)g(x)存在,且
limf(x)g(x)ABlimf(x)limg(x)。
证明:因为limf(x)A,limg(x)B,由§1.5定理1(i)f(x)A,g(x)B,
(,均为无穷小)f(x)g(x)(A)(B)AB(AB),记
AB,由定理2的推论1.2及定理1为无穷小,再由§1.5定理1(iii)
limf(x)g(x)AB。
推论1:lim[cf(x)]climf(x)(c为常数)。 推论2:lim[f(x)][limf(x)](n为正整数)。
定理5:设limf(x)A,limg(x)B0,则lim
n
n
f(x)Alimf(x)
。 g(x)Blimg(x)
证明:设f(x)A,g(x)B(,为无穷小),考虑差:
f(x)AAABA
g(x)BBBB(B)
其分子BA为无穷小,分母B(B)B20,我们不难证明
1
有界(详细
B(B)
过程见书上)
BAf(x)A
为无穷小,记为,所以,由§1.5定理1(ii)
B(B)g(x)B
lim
f(x)A。 g(x)B
注:以上定理对数列亦成立。
定理6:如果(x)(x),且lim(x)a,lim(x)b,则ab。 【例1】lim(axb)limaxlimbalimxbax0b。
xx0
xx0
xx0
xx0
【例2】limxn[limx]nx0。
xx0
xx0
n
推论1:设f(x)a0xna1xn1an1xan为一多项式,当
xx0
limf(x)a0x0a1x0
nn1
an1x0anf(x0)。
推论2:设P(x),Q(x)均为多项式,且Q(x0)0,由定理5,lim
【例3】lim(x5x1015113。
x1
2
2
P(x)P(x0)
。
xx0Q(x)Q(x0)
x37x9037095
30030)【例4】lim5(因为。 5x0xx3003
注:若Q(x0)0,则不能用推论2来求极限,需采用其它手段。
x2x2
【例5】求lim2。
x12xx3
解:当x1时,分子、分母均趋于0,因为x1,约去公因子(x1),
x2x2x23
lim。 所以 lim2
x12xx3x12x35
13
3)。
x1x1x1
13,3解:当x1,全没有极限,故不能直接用定理3,但当x1时, x1x1
【例6】求lim(
13(x1)(x2)x2
,所以 3
x1x1(x1)(x2x1)x2x1lim(
13x2123)lim21。 2x1x1x1xx1(1)(1)1
x1
x2
【例7】求lim。
x2x2
2
解:当x2时,x20,故不能直接用定理5,又x4,考虑:lim
x2
x222
0, 2
4x
x2
。 由§1.5定理2(ii)lim
x2x2
【例8】设a00,b00,m,n为自然数,则
a0b0
a0xna1xn1an
0 lim
xbxmbxm1b01m
当nm时当nm时。 当nm时
证明:当x时,分子、分母极限均不存在,故不能用§1.6定理5,先变形:
ana1
na0xna1xn1annmxx lim limx
xbxmbxm1bxbb01mb01m
xxm
a0
a000
1
b000a00
00
b000a000b000
【例9】求lim(
n
当nm时当nm时 当nm时
12n
)。 222nnn
解:当n时,这是无穷多项相加,故不能用§1.6定理3,先变形:
11n(n1)n11(12n)limlim。
nn2nn2n22n2
x1,x为x的整数部分。
【例10】证明lim
xx
xxx,因为xx是有界函数,且当x时,10,所以由
证明:先考虑1
xxx
xx1。 xx0lim(1)0lim§1.6定理2lim
xxxxxx
原式lim
§1.6 极限存在准则、两个重要极限
一、内容要点
1. 极限存在准则:单调有解原理,夹逼定理 2. 两个重要极限 二、教学要求和注意点
熟练掌握利两个重要极限求极限的方法
主要内容:
准则I:如果数列xn,yn,zn满足下列条件:
(i)对n,ynxnzn; (ii)limynlimzna
n
n
那么,数列xn的极限存在,且limxna。
n
证明:因为limynlimzna,所以对0,N10,当nN1时,有yna,即
n
n
ayna,对N2,当nN2时,有zna,即azna,又因为
ynxnzn,所以当nNMax{N1,N2}时,有aynxnzna,
即有:axna,即xna,所以 limxna。
n
准则I′如果函数f(x),g(x),h(x)满足下列条件:
(i)当xU(x0,r)(xM)时,有g(x)f(x)h(x)。 (ii)当xx0(x)时,有g(x)A,h(x)A。 那么当xx0(x)时,f(x)的极限存在,且等于A。 作为准则I′的应用,下面将证明第一个重要极限:lim证明:作单位圆,如下图:
sinx
1。
x0x
设
x为圆心角AOB,并设0x
2
见图不难发现:SAOBS扇形AOBSAOD,即:
111
sinxxtanx,即 sinxxtanx, 222
x1sinxcosx1 1
sinxcosxx
(因为0x
2
,所以上不等式不改变方向)
当x改变符号时,cosx,
x
x
及1的值均不变,故对满足0x的一切 sinx2sinx
1。 ,有cosxx
2
xx2x2
1 又因为cosx1(1cosx)12sin()12,
242x2
cosx1 所以 12
而limcosxlim11
x0
x0
limcosx1
x0
lim
sinx
1 ,证毕。
x0x
csinx令tarcsinxt1
limlim1。 【例1】lim
x0t0sintt0sintx
tsinxsin(x)sint
limlim1。
xxxtxt0xt
tan3xsin3x1
lim33113。 【例3】lim
x0x0x3xcosx
xx2sin2()sin
1cosx1lim()21。 【例4】limlimx0x02x0x2x2x2
2
【例2】lim
准则Ⅱ:单调有界数列必有极限
如果数列xn满足:x1x2xn,就称之为单调增加数列;若满足:
x1x2xn,就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减,以上通称为单减
数列和严格单减数列。
如果M,使得:xnM(n1,2,),就称数列xn为有上界;若M,使得:
xnM(n1,2,),就称{xn}有下界。
准则Ⅱ′:单调上升,且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降,且有下界的数列必有极限。
注1:由前已知,有界数列未必有极限,若加单调性,就有极限。
2:准则Ⅱ,Ⅱ′,Ⅱ″可推广到函数情形中去,在此不一一陈述了。
作为准则Ⅱ的一个应用,下面来证明极限lim(1
x
1x
)是不存在的。 x
先考虑x取正整数时的情形:lim(1
n
1n) n
bn1an1
(n1)bn,即:bn1an1(n1)bn(ba), 对于ba0,有不等式:
ba
即:an1bn[(n1)anb]
11
,b1,显然ba0,因为(n1)anbn11(n1)1将其n1n
1n111
)(1)n,所以{(1)n}为单调数列。 代入,所以(1
n1nn
111,(n1)anbn1(n) (ii)又令a1,b12n221n111)2(1)n 4(1)2n, 所以1(12n22n2n
12n11
)(1)2n24 即对n,x2n4, 又对(1
2n12n2
1n
所以{(1)}是有界的。
n
1m)n存在,并使用e来表示,即由准则Ⅱ或Ⅱ′知 li(1xn
1
lim(1)ne2.[1**********]4854 xn
(i)现令a1
注 1:关于此极限存在性的证明,书上有不同的方法,希望同学自己看!
2:我们可证明:lim(1x)lim(1)ne,具体在此不证明了,书上也有,由证明过程知:
x
n1x
1n
x
lim(1x)lim(1x)e。
x
1x1x
3:指数函数yex及自然对数ylnx中的底就是这个常数e。
211
【例1】 lim(1)xlim[(1)2]2[lim(1)2]2e2
xxxxxx
22
【例2】 lim(1x)
x0
1
1z
xx
xx
lim(1z)ze
z
【例3】 lim(1
x
1x11x111x111)lim[(1)](1)[lim(1)]lim(1)e11
xxxxxxxxe
2n1n2n
【例4】 lim()lim(1)lim(1
x2n1xx2n1
11
n
2
)
n
12
(1
11n
2
)
12
1112 ee
1
Cauchy 极限存在准则:数列xn收敛对0,N,当nN,mN时,有
xnxm。
注 1:此定理证明较繁,在此不证了。
2:本定理理论性较强,但不实用,故只须了解就行了。
§1.7 无穷小的比较
一、内容要点
1. 无穷小的比 2. 等价无穷小替换 二、教学要求和注意点
无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
主要内容:
在§1、6中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况,对于其商会出现不同的情况,例如:
a0bn
a0x0nma0limlimx0x0bxmx0b00
mn
mn (a0,b0为常数,m,n为自然数) mn
可见对于m,n取不同数时,为此有必要对无穷小进行比较或分类: a0xn与b0xm趋于0的速度不一样,定义:设与为x在同一变化过程中的两个无穷小,
0,就说是比高阶的无穷小,记为o();
(ii) 若lim,,就说是比低阶的无穷小;
(iii) 若limC0,,就说是比同阶的无穷小;
(i)
若lim
(iv)
若lim
【例1】
当x0时,x2是x的高阶无穷小,即x2o(x);反之x是x2的低阶无穷小;x2
1,就说与是等价无穷小,记为~。
与1cosx是同阶无穷小;x与sinx是等价无穷小,即x~sinx。
注 1:高阶无穷小不具有等价代换性,即:x2o(x),x2o(x),但o(x)o(x),因为o()不是一个量,而是高阶无穷小的记号; 2:显然(iv)是(iii)的特殊情况;
3:等价无穷小具有传递性:即~,~~;
4:未必任意两个无穷小量都可进行比较,例如:当x0时,xsin
1
与x2既非同阶,又无高低x
xsin
阶可比较,因为lim
x0
x2
1
不存在;
5:对于无穷大量也可作类似的比较、分类;
6:用等价无穷小可以简化极限的运算,事实上,有:
定理:若,,,均为x的同一变化过程中的无穷小,且~,~,及lim
,那么
lim
lim。
求lim
1cosx
。
x0sin2x
解:因为当x0时,sinx~x
【例2】
1cosx1cosx1
lim。
x0sin2xx02x2
arcsin2x
【例3】 求lim2
x0x2x
解:因为当x0时,arcsin2x~2x,
2x22
lim1。 所以 原式lim2
x0x2xx0x22
7:在目前,常用当x0时,等价无穷小有:
所以 lim
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1cosx~
8:用等价无穷小代换适用于乘、除,对于加、减须谨慎!
12
x; 2
§1.8 函数的连续性与间断点
一、内容要点
1. 函数的连续性 2. 函数的间断点 二、教学要求和注意点
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
主要内容:
一、函数的连续性
连续性是函数的重要性态之一,在实际问题中普遍存在连续性问题,从图形上看,函数的图象连绵不断。在数学上,我们有:
定义 1:设yf(x)在x0的某邻域内有定义,若limf(x)f(x0),就称函数yf(x)在x0 点处
xx0
连续。
注 1:f(x)在x0点连续,不仅要求f(x)在x0点有意义,limf(x)存在,而且要limf(x)f(x0),
xx0
xx0
即极限值等于函数值。
2:若
xx0
limf(x)f(x00)f(x),就称f(x)在x0点左连续。若
xx0
limf(x)f(x00)f(x),就称f(x)在x0点右连续。
3:如果f(x)在区间I上的每一点处都连续,就称f(x)在I上连续;并称f(x)为I上的连续函
数;若I包含端点,那么f(x)在左端点连续是指右连续,在右端点连续是指左连续。
定义1ˊ:设yf(x)在x0的某邻域内有定义,若对0,0,当xx0时,有
f(x)f(x0),就称f(x)在x0点连续。
下面再给出连续性定义的另一种形式:
先介绍增量:变量u由初值u1变到终值u2,终值u2与初值u1的差u2u1称为u的增量,记为u,即uu2u1;u可正、可负、也可为零,这些取决于u1与u2的大小。 我们称xx0为自变量
x在x0点的增量,记为x,即xxx0或xx0x;
xx0x0相应函数值差,f(x)f(x0)称为函数f(x)在x0点的增量,记为y,即yf(x)f(x0)yy0,即f(x)f(x0)y或yy0y, f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)0y0。
定义1″:设yf(x)在x0的某邻域内有定义,若当x0时,有y0,即limy0,或
x0
x0
lim[f(x0x)f(x0)]0,就称f(x)在x0点连续。
定理:f(x)在x0点连续f(x)在x0点既左连续,又右连续。 【例1】
多项式函数在(,)上是连续的;所以limf(x)f(x0),有理函数在分母不等于零
xx0
的点处是连续的,即在定义域内是连续的。
以上由§1.6【例2】的推论1、推论2即得。
【例2】不难证明ysinx,ycosx在(,)上是连续的。 【例3】证明f(x)x在x0点连续。
证明:limxlim(x)0,limxlimx0,又f(0)0,所以由定理 f(x)x在
x0
x00
x0
x00
x0点连续;
或由前§1.4习题5知limx0f(0),所以 f(x)x在x0点连续。
x0
x2
【例4】讨论函数y
x2
x00
x00
x0
在x0的连续性。 x0
,
x00
解:limylim(x2)022limylim(x2)022 ,因为22,
x00
所以该函数在x0点不连续,又因为f(0)2,所以为右连续函数。
二、间断点
简单地说,若f(x)在x0点不连续,就称x0为f(x)的间断点,或不连续点,为方便起见,在此要求x0的任一邻域均含有f(x)的定义域中非x0的点。间断点有下列三种情况:
(1)f(x)在xx0没有定义; (2)limf(x)不存在;
xx0
(3)虽然limf(x)不存在,也虽然在x0点有定义,但limf(x)f(x0)。
xx0
x0
n种常见的间断点类型:
【例5】设f(x)
1
,当x0,f(x),即极限不存在,所以x0为f(x)的间断点。因为2x
1
,所以x0为无穷间断点。
x0x2
1
【例6】ysin在x0点无定义,且当x0时,函数值在1与1之间无限次地振荡,而不超
x
lim
于某一定数,见书上图,这种间断点称为振荡间断点。
1.f(x)
01
1q
xQ
x均为振荡间断点。 xQ
p
xQ不连续,xQ连续。 q
x0,1或无理数
x
2、f(x)
0
【例7】 y
sinxsinx
1,所以若补充定义在x0点无定义,所以x0为其间断点,又lim
x0xx
f(0)1,那么函数在x0点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。
【例8】 [例4]的函数在x0点不连续,但左、右极限均存在,且有不等于f(0)的,这种间断点称
为跳跃间断点。例如ysgnx在x0处即为跳跃间断点。
归纳:(1)limf(x),x0为无穷间断点;
xx0
(2)limf(x)震荡不存在,x0为震荡间断点;
xx0
(3)limf(x)Af(x0),x0为可去间断点;
xx0
(4)limf(x)limf(x),x0为跳跃间断点。
xx00
xx00
如果f(x)在间断点x0处的左右极限都存在,就称x0为f(x)的第一类间断点,显然它包含(3)、(4)两种情况;否则就称为第二类间断点。
§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、内容要点
1. 四则运算的连续性
2. 反函数与复合函数的连续性
3. 初等函数的连续性
二、教学要求和注意点
1. 复合函数的连续性的两个意义:
(1)极限符号可以与函数符号互换;
(2) 变量代换(u(x))的理论依据
2. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;(定义区间与定义域
的区别)
3. 初等函数求极限的方法代入法
主要内容:
一、续函数的运算
定理1(连续函数的四则运算法则):若f(x),g(x)均在x0连续,则f(x)g(x),f(x)g(x)及
(要求g(x0)0)都在x0连续。
定理2(反函数的连续性):如果yf(x)在区间Ix上单值,单增(减),且连续,那么其反函数x(y)
也在对应的区间Iy{yyf(x),xIx}上单值,单增(减),且连续。
注1:y(x)亦为yf(x)的反函数,如上知:y(x)在Iy上有上述性质。
定理3:设u(x)当xx0时的极限存在且等于a,即lim(x)a,又设yf(u)在ua处xx0f(x)g(x)
连续,那么,当xx0时,复合函数yf((x))的极限存在,且等于f(a),即xx0limf((x))f(a)。
注2:可类似讨论x时的情形。
定理4:设函数u(x)在点xx0连续,且(x0)u0,函数yf(u)在u0点连续,那么,复合
函数yf((x))在点xx0处连续。
注3:定理3、4说明lim与f的次序可交换。
注4:在定理3中代入au0(x0),即得定理4。
【例1】 由于yx(m为正整数)在[0,)上严格单调且连续,由定理2,其反函数yx 在
进而:对于有理幂函数yx([0,)上也严格单调且连续,
在定义上是连续的。
【例2】求lim2x0m1mq,p0,p,q为正整数)psinx x
解:因为limsinx1,及2u在u1点连续,故由定理3,原式 x0x
2limsinx211。 x0x
二、 初等函数的连续性
我们已知道ysinx,ycosx在其定义域内是连续的,由§1.10定理2知garcsinx和yarccosx在其定义域也是连续的。
可证明指数函数yax(a0,a1),在其定义域(,)内是严格单调且连续的,进而有对数函数ylogax
又yxa(a0,a1)在其定义域(0,)是连续的。 logax(为常数),由定理4知:yx在(0,)内是连续的,当取有理数
时,见例1,总之yx在定义域内是连续的。
综合以上结果,得:基本初等函数在其定义域内都是连续的,由基本初等函数的连续性,及定理1~4,即得:
结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注1:定义区间为包含在定义域内的区间;
2:在§1.9,我们是用极限来证明连续,现在可利用函数的连续来求极限。
【例3】limex1sin(2arctanx)esin(2arctan1)e 。
11ln(1x)【例4】limlimln(1x)xlnlim(1x)xlne1。 x0x0x0x
【例5】limsinxsinalimxaxaxa2sinxaxaxacossinlimcosxa xaxaxa2
2
sintcos(ta)cosa。 xat0ttlim2
§1.10 闭区间上连续函数的性质
一、内容要点
本节主要讲四个定理:
最大值和最小值定理、有界性定理、介值定理(几何解释)以及零点定理。
二、教学要求和注意点
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
主要内容:
一、 最大值和最小值的定理
定义:设f(x)在区间I上有定义,若x0I,使得对xI,有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)) 就称f(x0)为f(x)在I上的最大值(最小值),称x0为最大点(最小点)。
注1:显然,最值是唯一的,而最点不一定唯一,如:ysinx;
2:最点必在I内;
3:若在I上,最大值与最小值相等,那么,在I上,f(x)为常数;
4:一般而言,最值未必存在,如:f(x)x在(1,1)上既无最大值,也无最小值;g(x)x 在2
(1,1)上有最小值,但无最大值;那么,究竟何时同时有最大值与最小值呢?
定理1(最大值与最小值定理):在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
注1:“闭区间”与“连续”二条件缺一不可;
2:f(x)若在I上取得最大、最小值,f(x)未必连续,I也未必为闭区间。
反例1:yxx(1,1)
x0
x0 x[1,1]
x01x反例2:y01x
定理2(有界性定理):闭区域上的连续函数在该区间一定有界。
二、 介值定理
零点:若x0使得f(x0)0,就称x0为f(x)的零点(或f(x)0的根)。
定理3(零点定理):设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)0,那么,在开区间(a,b)上, 至少存在一点,使得f()0,即f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
注1:本定理对判断零点的位置很有用处,但不能求出零点;
2:从几何上看(a,f(a))与(b,f(b))在x轴的上下两侧,由于f(x)连续,显然,在(a,b) 上,f(x)
的图象与x轴至少相交一次;
3:若f(a)f(b)0,则不能判定没有零点,须进一步考查。
定理4(介值定理):设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任
意常数C,在(a,b)内至少存在一点,使得f()C,(ab)。
注1:若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b),则有:[f(a),f(b)]f([a,b]);
2:由f()C说明是f(x)C的零点;
3:几何图象上看,曲线yf(x)与yC在(a,b)上至少有一个交点。
推论:设在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)有最大值M和最小值m,那么,对于C(m,M) 必(a,b),使得f()C。
注4:注1中的f([a,b])事实上就是[m,M]。
5:以上定理,若书上有证明,请自己看。
【例1】验证方程4x2有一根在0与
解:令f(x)4x2xx1之间。 2
1f(0)10 11f()422220 22
又f(x)在[0,]上是连续的,故由零点定理,知: 1
2
(0,),使得f()0,即42,
所以 方程4x2x有一根在0与
【例2】证明方程xasinxb,其中a0,b0,至少存在一个正根,并且它不超过ab。 证明:令f(x)xasinxb,显然,f(0)b0,又 121之间。 2
f(ab)abasin(ab)ba[1sin(ab)]0
(i)若f(ab)0,即ab是f(x)的零点,亦即方程xasinxb的根,此时得证;
(ii)若f(ab)0,必有f(ab)0,因为f(x)在[0,ab]上是连续的,所以由零点定理,至少(0,ab),使得f()0,即为xasinxb的根,所以此时也得证。