高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

一．选择题（共11小题）

1．（2014•湖南）若0＜x 1＜x 2＜1，则（ ） A ．C ．x 2

2．（2005•天津）若函数f （x ）=loga （x ﹣ax ）（a ＞0，a ≠1）在区间增，则a 的取值范围是（ ） A ．

3．（2009•上海）函数

的反函数图象是（ ）

B ．

C ．

D．

3

﹣＞x 1

＞lnx 2﹣lnx 1 B．

D ．x 2

﹣＜x 1

＜lnx 2﹣lnx 1

内单调递

A ． B ． C ．

D ．

2

4．（2008•天津）设a ＞1，若对于任意的x ∈[a，2a ]，都有y ∈[a，a ]满足方程log a x+loga y=3，这时a 的取值集合为（ ）

A ．{a|1＜a ≤2} B ．{a|a≥2} C ．{a|2≤a ≤3} D．{2，3} 5．（2005•山东）0＜a ＜1，下列不等式一定成立的是（ ） A ．|log（1+a）（1﹣a ）|+|log（1﹣a ）（1+a）|＞2； B ．|log（1+a）（1﹣a ）|＜|log（1﹣a ）（1+a）|； C ．|log（1+a）（1﹣a ）+log（1﹣a ）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a ）|+|log（1﹣a ）（1+a）|； D ．|log（1+a）（1﹣a ）﹣log （1﹣a ）（1+a）|＞|log（1+a）（1﹣a ）|﹣|log（1﹣a ）（1+a）|

6．（2005•天津）设f （x ）是函数f （x ）=（a ﹣a ）（a ＞1）的反函数，则使f （x ）＞1成立的x 的取值范围为（ ） A ．（

7．（2004•天津）函数A ．C ．

（﹣1≤x ＜0）的反函数是（ ） B ．

D ．

，+∞） B ．（﹣∞，

） C ．（

，a ） D．[a，+∞）

﹣1x ﹣x ﹣1

8．（2004•江苏）设k ＞1，f （x ）=k（x ﹣1）（x ∈R ）．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f（x ）的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f（x ）的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ ） A ．3

9．（2006•天津）已知函数y=f（x ）的图象与函数y=a（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x对称，记g （x ）=f（x ）[f（x ）+f（2）﹣1]．若y=g（x ）在区间实数a 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞） B ．（0，1）∪（1，2）

C ．

D ．

上是增函数，则

x

﹣1

B ． C ． D ．

10．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M （t ）=M

，其中M 0为t=0时铯137

的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M （60）=（ ） A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D．150太贝克 11．（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ） A ．

B ．

C ．

D．

﹣1

二．填空题（共12小题）

12．（2013•北京）函数的值域为．

13．（2011•湖北）里氏震级M 的计算公式为：M=lgA﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．

14．（2007•上海）函数 的反函数是

15．（2006•江苏）不等式

16．（2005•北京）设函数f （x ）=2，对于任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有下列命题 ①f （x 1+x2）=f（x 1）•f （x 2）；②f （x 1•x 2）=f（x 1）+f（x 2）；③

；

x

的解集为 ．

④

．

17．（2004•广东）函数

．其中正确的命题序号是

的反函数f （x ）= ．

﹣1

18．（2011秋•岳阳楼区校级期末）已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，如果x 的取值范围为．

19．（2005•天津）设

，则

＜1，那么

的定义域为．

20．（2008•天津）设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a，2a ]，都有y ∈[a，a ]满足方程log a x+loga y=c，这时a 的取值的集合为．

21．（2002•上海）已知函数y=f（x ）（定义域为D ，值域为A ）有反函数y=f（x ），则方

﹣1

程f （x ）=0有解x=a，且f （x ）＞x （x ∈D ）的充要条件是y=f（x ）满足 ．

﹣1

2

22．（2013•上海）对区间I 上有定义的函数g （x ），记g （I ）={y|y=g（x ），x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x ）有反函数y=f（x ），且f （[0，1））=[1，2），f （（2，4]）=[0，1）．若方程f （x ）﹣x=0有解x 0，则x 0= ．

23．（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|a﹣1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 ．

三．解答题（共7小题）

24．（2014秋•沙河口区校级期中）21、设的大小，并证明你的结论．

25．解不等式

26．（2006•重庆）已知定义域为R 的函数

是奇函数．

x

﹣1

﹣1

﹣1

（Ⅰ）求a ，b 的值；

22

（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t ）+f（2t ﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．

27．如果正实数a ，b 满足a =b．且a ＜1，证明a=b． 28．（2011•上海模拟）已知n 为自然数，实数a ＞1，解关于x

的不等式

b

a

．

29．（2010•荔湾区校级模拟）f （x ）=lg

是任意自然数且n ≥2．

（Ⅰ）如果f （x ）当x ∈（﹣∞，1]时有意义，求a 的取值范围； （Ⅱ）如果a ∈（0，1]，证明2f （x ）＜f （2x ）当x ≠0时成立．

30．（2010•四川）设

，a ＞0且a ≠1），g （x ）是f （x ）的反函数．

，其中a 是实数，n

（Ⅰ）设关于x 的方程求求t 的取值范围；

（Ⅱ）当a=e，e 为自然对数的底数）时，证明：

在区间[2，6]上有实数解，

；

（Ⅲ）当0＜a ≤时，试比较

|

|与4的大小，并说明理由．

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2014•湖南）若0＜x 1＜x 2＜1，则（ ） A ．C ．x 2

﹣＞x 1

＞lnx 2﹣lnx 1 B．

D ．x 2

﹣＜x 1

＜lnx 2﹣lnx 1

2．（2005•天津）若函数f （x ）=loga （x ﹣ax ）（a ＞0，a ≠1）在区间增，则a 的取值范围是（ ） A ．

B ．

C ．

3

内单调递

D．

3．（2009•上海）函数

的反函数图象是（ ）

A ． B ． C ．

D ．

4．（2008•天津）设a ＞1，若对于任意的x ∈[a，2a ]，都有y ∈[a，a ]满足方程log a x+loga y=3，这时a 的取值集合为（ ）

2

5．（2005•山东）0＜a ＜1，下列不等式一定成立的是（ ） A ．|log（1+a）（1﹣a ）|+|log（1﹣a ）（1+a）|＞2； B ．|log（1+a）（1﹣a ）|＜|log（1﹣a ）（1+a）|； C ．|log（1+a）（1

﹣a ）+log（1﹣a ）（1+a）|＜|log（1+a）（1﹣a ）|+|log（1﹣a ）（1+a）|；

6．（2005•天津）设f （x ）是函数f （x ）=（a ﹣a ）（a ＞1）的反函数，则使f （x ）＞1成立的x 的取值范围为（ ） A ．（

，+∞） B ．（﹣∞，

） C ．（

，a ） D．[a，+∞）

﹣1

x ﹣x ﹣1

7．（2004•天津）函数A ．C ．

（﹣1≤x ＜0）的反函数是（ ） B ．

D ．

8．（2004•江苏）设k ＞1，f （x ）=k（x ﹣1）（x ∈R ）．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f（x ）的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f（x ）的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ ） A ．3

B ．

﹣1

C ． D ．

9．（2006•天津）已知函数y=f（x ）的图象与函数y=a（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x对称，记g （x ）=f（x ）[f（x ）+f（2）﹣1]．若y=g（x ）在区间实数a 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞） B ．（0，1）∪（1，2）

C ．

x

上是增函数，则

D ．

10．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M （t ）=M0

，其中M 0为t=0时铯137

的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M （60）=（ ） 11．（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ） A ．

B ．

C ． D．﹣1

二．填空题（共12小题）

12．（2013•北京）函数的值域为．

13．（2011•湖北）里氏震级M 的计算公式为：M=lgA﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 6 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 10000 倍．

14．（2007•上海）函数 的反函数是．

15．（2006•江苏）不等式

的解集为 ．

16．（2005•北京）设函数f （x ）=2，对于任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有下列命题 ①f （x 1+x2）=f（x 1）•f （x 2）；②f （x 1•x 2）=f（x 1）+f（x 2）；③

；

x

④

．其中正确的命题序号是

17．（2004•广东）函数（x ∈R ） ．

的反函数f （x ）= e ﹣12x x

18．（2011秋•岳阳楼区校级期末）已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，如果

＜1，那么

x 的取值范围为．

19．（2005•天津）设

，则

的定义域为（1，4） ．

20．（2008•天津）设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a，2a ]，都有y ∈[a，a ]满足方程log a x+loga y=c，这时a 的取值的集合为． 2

21．（2002•上海）已知函数y=f（x ）（定义域为D ，值域为A ）有反函数y=f（x ），则方

﹣1﹣﹣1

程f （x ）=0有解x=a，且f （x ）＞x （x ∈D ）的充要条件是y=f（x ）满足 f （0）=a，

﹣﹣1﹣﹣1且f （x ）＜x （x ∈A ）/y=f（x ）的图象在直线y=x的下方，且与y 轴的交点为（0，a ）… ． ﹣1

22．（2013•上海）对区间I 上有定义的函数g （x ），记g （I ）={y|y=g（x ），x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x ）有反函数y=f（x ），且f （[0，1））=[1，2），f （（2，4]）=[0，1）．若方程f （x ）﹣x=0有解x 0，则x 0=

﹣1﹣1﹣1

23．（2004•湖南）若直线y=2a与函数y=|a﹣1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 0＜a ＜ ．

x

三．解答题（共7小题）

24．（2014秋•沙河口区校级期中）21、设

的大小，并证明你的结论．

25．解不等式

26．（2006•重庆）已知定义域为R 的函数是奇函数．

（Ⅰ）求a ，b 的值；

22

（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t ）+f（2t ﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围． 27．如果正实数a ，b 满足a =b．且a ＜1，证明a=b． b a

28．（2011•上海模拟）已知n 为自然数，实数a ＞1，解关于x 的不等式

．

29．（2010•荔湾区校级模拟）f （x ）=lg

，其中a 是实数，n

是任意自然数且n ≥2．

（Ⅰ）如果f （x ）当x ∈（﹣∞，1]时有意义，求a 的取值范围； （Ⅱ）如果a ∈（0，1]，证明2f （x ）＜f （2x ）当x ≠0时成立．

30．（2010•四川）设

，a ＞0且a ≠1），g （x ）是f （x ）的反函数．

（Ⅰ）设关于x 的方程求求t 的取值范围；

（Ⅱ）当a=e，e 为自然对数的底数）时，证明：

在区间[2，6]上有实数解，

；

（Ⅲ）当0＜a ≤时，试比较|

|与4的大小，并说明理由．