求积公式的设计
◆求积公式的设计
值得指出的是，在设计求积公式要充分考虑并利用对称性。对称性有巨大的威力。此外，利用对称性可以显著地减少待定参数的数目，从而使所归结出的代数方程组求解较为容易。某些具有对称性的结构的求积公式，其代数精度可能会获得额外的好处。
【例2-8】设计求积公式
⎰
1
⎛1⎫
f (x ) dx ≈A 0f ⎪+A 1f
⎝4⎭
2
⎛1⎫
⎪+A 2⎝2⎭⎛3⎫f ⎪⎝4⎭
解 令原式对于f =1, x , x 准确成立，可列出方程组
⎧
⎪A 0+A 1+A 2=1⎪
131⎪1
⎨A 0+A 1+A 2=4242⎪
191⎪1A +A +A =012⎪164163⎩
⎧
⎪2A 0+A 1=1⎪
11⎪
⎨A 0+A 1=
22⎪ 11⎪5
⎪8A 0+4A 1=3⎩
考虑到对称性，令A 2=A 0，则下列前两种方程是同解方程：
解之得
A 2=A 0=
这样构造出的插值公式是
23
,
A 1=-
13
⎛1⎫1⎛1⎫2⎛3⎫
f ⎪ ⎪-f ⎪+⎰0f (x ) dx ≈3f
⎝4⎭3⎝2⎭3⎝4⎭
1
2
f =x 时上式左端=4
1⎛1⎫2⎛3⎫1⎛1⎫
5，而右端=⨯ ⎪-⨯ ⎪+⨯ ⎪≠
3⎝4⎭3⎝2⎭3⎝4⎭5
2
444
，
其左右两端不等故所构造的求积公式具有3阶精度。
【例2-8】设计求积公式
⎰
2h
-2h
f (x ) dx ≈h [A -1f (-h ) +A 0f (0) +A 1f (h )]
解 不妨令h =1，否则作变换x =ht ，原式化为
⎰
3
2
-2
f (x ) dx ≈[A -1f (-1) +A 0f (0) +A 1f (1)]
考虑到求积公式的内在对称性，显然有A -1=A 1，这时对奇函数的
f =x , x 自然准确；令对
f =1, x 准确成立，可列方程
2
⎧2A 1+A 0=4
⎪⎨16
⎪2A 1=3⎩
因之有
A -1=A 1=
这样构造出的求积公式是
83
,
A 0=-
43
⎰
2h
-2h
f (x ) dx ≈h [f (-h ) -f (0) +f (h )]
333
4
848
易知它对于f =x 不准确，故所构造出的求积公式具有3阶精度。
高斯公是一类高精度的求积公式。这类求积公式还具备一系列优点，譬如数值稳定性好，适合于处理某些奇异积分等。不过，高斯公式的设计有实质性的困难：为了同时处理求积系数与求积节点，用代数精度方法归结出的代数方程组是非线性。
一个令人感兴趣的事实是：高斯求积公式具有内在的对称性。充分利用对称性能使处理过程大大地简化。
【例2-8】利用代数精度设计如下形式的的一点高期公式
⎰
解 令对于
1
-1
f (x ) dx ≈A 0f (x 0)
⎧A 0=2
⎨ A x =000⎩
f =1, x 准确成立，可列出方程
据此定出
A 0=2, x 0=0, 故有一点高斯公式
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈2f (x 0)
它的内在结构具有鲜明的对称性。
【例2-8】利用代数精度设计如下形式的的两点高斯公式
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈A 0f (x 0) +A 1f (x 1)
解 由对称性原理令A 0=A 1, x 0=-x 1, ，则所有设计的求积公式具有形式
⎰
2
1
-1
f (x ) dx ≈A 0[f (x 0) +f (-x 0)]
3
由于它对于f =x , x 自然准确，故对称性原理是正确的。再令它对于f =1, x 准确成立，可列方程组
⎧2A 0=2
⎪⎨2 2⎪2A 0x 0=
3⎩
据此知A 0=1, x 0=-
13
1
，因而有两点高斯公式
13) +f (
13)
⎰
-1
f (x ) dx ≈f (-
【例2-8】利用代数精度设计如下形式的的三点高期公式
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈A 0f (x 0) +A 1f (x 1) +A 2f (x 2)
解 对称性原理令A 0=A 1, x 0=-x 2, x 1=0，则所要设计的求积公式具有形式
⎰
1
-1
f (x ) dx ≈A 0[f (x 0) +f (-x 0)]+A 1f (0)
由于它对于
f =x , x , x 自然准确，故对称性原理是正确的。再
2
4
35
令它对f =1, x , x 准确的成立，可列出方程
⎧
⎪2A 0+A 1=2⎪
2⎪2
⎨2A 0x 0=
3⎪ 2⎪4
⎪2A 0x 0=
5⎩
将其中第2与第3两式相除，即可定出x 0，从而有
x 0=-
因而有三点高期公式
35
, A 0=
59
, A 1=
89
⎰
1
-1
⎛
f (x ) dx ≈f -
9 ⎝
53⎫85⎛
⎪+f (0)]+f
5⎪99⎭⎝3⎫
⎪ 5⎪⎭
【例2-8】套用三点高期公式计算积分
I =
⎰
3
1x
1
解 作变换x =2+t 将积分区间变到[-1, 1]，然后套用三点高斯公式有
I =
⎰
1
12+t
-1
≈
59
⨯
12-
35
+
89
⨯
12
+
59
⨯
12+
3 5