大学基础物理学答案(习岗)第8章

第八章 振动与波动

本章提要

1. 简谐振动的描述

● 物体在一定位置附近所作的无阻尼的等幅振动称简谐振动。

简谐振动的运动方程为

x =A cos(ωt +ϕ)

其中，A 为振幅、ω 为角频率、（ωt+ϕ）为简谐振动的相位， ϕ 为初相位。

● 简谐振动的速度方程

v =

● 简谐振动的加速度方程 d x =-ωA sin(ωt +ϕ) d t

d 2x a =2=-ω2A cos(ωt +ϕ) d t

● 简谐振动可用旋转矢量法表示。

2. 简谐振动的能量

● 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体的质量为m ，在某一时刻物体的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体的动能为

E k =

● 弹簧振子的势能为 12mv 2

E p =

● 弹簧振子的总能量为 12kx 2

E =E k +E P =111m ω2A 2sin 2(ωt +ϕ)+kA 2cos 2(ωt +ϕ)=kA 2 222

该结果表明，在简谐振动中，动能和势能不断转换（转换频率是位移变化频率的二倍），但总能量保持不变。

3. 阻尼振动

如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作 105

用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，这种振动称阻尼振动。

阻尼振动的动力学方程为

d 2x d x +2β+ω2x =0 2d t d t

其中，γ是阻尼系数，2β=

● 当ω2γm 。 >β2时，振子的运动是一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振 动。

=β2时，振动物体不再出现振荡，而是以负指数方式直接趋向

平衡点，并静止下来，这种情况称临界阻尼。

22● 当ω

更慢的方式趋于平衡点，这种情况称过阻尼。

4. 受迫振动

● 振动物体在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动。 受迫振动的运动方程为 ● 当ω2

d 2x d x F 2+2β+ωx =cos ωP t d t 2d t m

其中，ω2=k m ，为振动系统的固有频率；2β=C m ；F 为驱动力振幅。

● 当驱动力振动的频率ωp 等于ω时，振幅出现最大值，此时称共振。

5. 简谐振动的合成与分解

● 一维同频率的简谐振动的合成

若任一时刻t 两个分振动的运动方程分别为

x 1=A 1cos(ωt +ϕ1)

x 2=A 2cos(ωt +ϕ2)

合振动的运动方程为

x =A cos(ωt +ϕ)

其中，A 和ϕ 分别为合振动的振幅与初相位，它们由下式决定：

A =tan ϕ=A 1sin ϕ1+A 2sin ϕ2 A 1cos ϕ1+A 2cos ϕ2

● 二维同频率的简谐振动的合成

若一个质点同时参与两个同频率的简谐振动，其运动方程分别为

106

x =A 1cos(ωt +ϕ1)

y =A 2cos(ωt +ϕ2)

合振动满足如下方程：

x 2y 22xy +-cos(ϕ2-ϕ1) =sin 2(ϕ2-ϕ1) 22A 1A 2A 1A 2

该为一个椭圆方程，椭圆形状由振幅A 1、A 2及相位差(ϕ2-ϕ1) 决定。

● 二维不同频率的简谐振动的合成

如果两个不同频率的相互垂直的简谐振动的周期成简单的整数比，则根据它们特定的周期比，其合运动的轨迹出现特定的曲线，这种合成运动的轨迹图形称为李萨如图形。

根据李萨如图形可以进行振动频率（或周期）的测定。

6. 简谐波

● 若波源作简谐振动，那么当这种振动在介质中传播时，介质中的各点也作与此频率相同的简谐振动，这样形成的波动称为简谐波。

● 波动可以用波前和波线来定性表示。根据波前的形状，可分为平面波和球面波。

● 简谐波的波动方程为

x y =A cos ω(t -) u

或

y =A cos2π(t x -) T λ

或

y =A cos2π(νt -x

λ)

● 沿x 轴反向转播的简谐波的波动方程为

t x y =A cos 2π(+) T λ

7. 简谐波的能量密度

● 单位体积的介质中波的能量称能量密度，用w 表示。其数学表达为 w =∆E ⎛x ⎫=ρω2A 2sin 2 t -⎪ ∆V ⎝u ⎭

● 一个周期内能量密度的平均值称平均能量密度，其数学表达为

107

1T =⎰w d t T 0

1T x ⎫⎛=⎰ρω2A 2sin 2 t -⎪d t T 0⎝u ⎭

1=ρω2A 2

2

● 单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面上的平均能量称为能流密度，也称波的强度，用I 表示。其数学表达为

I =⋅u =1ρu ω2A 2 2

● 声波的平均能流密度叫声强，声强用声强级来量度。声强级定义为

L p =lg I I 0

其中，I 0=10-12W/m2为最低声强。声强级L p 的单位为贝耳（B ）。

在国际单位制中声强级以贝耳的1/10，即分贝（dB ）作为单位，此时，声强级定义为

L p =10lg I （dB ） I 0

8. 多普勒效应

当观察者或波源相对于传播的介质运动时，观察者接受到的频率与波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应。

● 波源静止，观察者相对于介质运动时，观察者接收到的频率为

ν1=v +u 0λ=v +u 0⎛u 0⎫= 1+⎪ν vT v ⎭⎝

其中，u 0为观察者向波源运动的速度，v 为波的传播速度，ν为波源的频率。

● 观察者静止，波源相对于介质运动时，观察者接收到的频率为

ν1=v λ1=v v v == λ-u s T vT -u s T v -u s

其中，u s 为波源向观察者运动的速度。

● 波源和观察者同时相对于介质运动，观察者接收到的频率为

ν1=

v +u 0v +u 0=ν λ-u s T v -u s

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思考题

8-1 什么是简谐振动？下列运动哪个是简谐振动？（1）拍皮球时球的运动；

（2）人的脉搏运动；（3）一个小球在球形碗底部的微小摆动。

答：简谐振动是物体在弹性力或准弹性力作用下的运动。据此，（1）不是简谐振动，它是在外力作用下的运动；（2）也不是简谐振动；（3）是简谐振动。

8-2 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？

答：若弹簧振子振动的振幅增大到原来的两倍时，振动的周期和频率不变，最大速度和最大加速度增加二倍，振动能量增加四倍。

8-3 如果不忽略弹簧的质量，一个弹簧振子的振动周期比忽略弹簧的质量时的振动周期是变大还是变小？

答：若不忽略弹簧的质量，弹簧振子的振动周期相对于忽略质量时的周期较大。

8-4 设向右的方向为正方向，试指出在怎样的位置时简谐振动的质点 （1）位移为零；（2）位移最大；（3）速度为零；（4）速度为负最大值；（5）加速度为零；（6）加速度为正最大。

答：（1）考虑简谐振动质点位移表达式

x =A cos(ωt +ϕ) 可得ωt +ϕ=π2时，位移为零。

（2） 同理，当ωt +ϕ=0时，位移最大。

（3） 考虑简谐振动质点速度表达式

v =-ωA sin(ωt +ϕ)

可得ωt +ϕ=0时，速度为零。

（4） 同理，当ωt +ϕ=π2时，速度为负最大值。

（5） 考虑简谐振动质点加速度表达式

a =-ω2A cos(ωt +ϕ) 当ωt +ϕ=π2时，加速度为零。

（6） 同理，当ωt +ϕ=π时，加速度为正最大。

8-5 弹簧振子的简谐振动方程为x =A cos(ωt +ϕ) ，指出振动物体在下列位置时的位移、速度、加速度和所受弹性力的大小和方向：（1）正方向端点；（2）平衡位置且向负方向运动；（3）平衡位置且向正方向运动；（4）负方向端点。

答：（1）振动物体位于正方向端点的状态如下：

位移最大，方向指向正方向，速度为零，加速度最大、方向指向负方向，所受弹性力最大、方向指向平衡位置。

（2）振动物体在平衡位置且向负方向运动的状态如下：

位移为零，速度最大、方向指向负方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。

（3）振动物体在平衡位置且向正方向运动的状态如下：

109

位移为零，速度最大、方向指向正方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。

（4）振动物体位于负方向端点的运动状态如下：

位移最大、方向指向负方向，速度为零，加速度最大、方向指向正方向，所受弹性力的大小最大、方向指向平衡位置。

8-6 要测定一个未知振动的频率，你有何办法？

答：由于两个垂直的简谐振动的合成根据不同的频率比形成不同的李萨如图形，因此，用一个已知频率的振动和未知振动叠加形成李萨如图形，根据出现该图形时特定的频率比可以确定未知振动的频率。

8-7 在波的表达式中，坐标原点是否一定要设在波源的位置？在简谐振动的表达式中有几个独立变量？简谐波的表达式中有几个独立变量？比较两个表达式的意义。

答：在波的表达式中，坐标原点不一定要设在波源的位置。

在简谐振动的表达式中有两个独立变量：x 和t 。

简谐波的表达式中有三个独立变量：x 、y 和t 。

简谐振动的表达式描述了某一个固定点的振动规律，简谐波的表达式描述了波转播的介质空间中任意点的振动规律。

8-8 当频率为ν，波长为λ的一列波由波速为u 的介质进入波速为u /3的介质后，波的频率和波长如何变化？

答：当频率为ν，波长为λ的一列波由波速为u 的介质进入波速为u /3的介质后，波的频率不变，波长为原波长的三分之一。

8-9 弦乐器上的一根弦的音调是靠什么调节的？演奏时一根弦发出不同的音调又是靠什么调节的？

答：弦乐器上的一根弦的音调是靠弦的长度来调节，演奏时一根弦发出不同的音调又是靠弦的不同长度来调节。

8-10 在声源运动、接收器不动和声源不动、接收器运动两种情况下，如果使运动速度一样，接收器接收到的声波是否相同？

答：在声源运动、接收器不动和声源不动、接收器运动两种情况下，如果使运动速度一样，根据多普勒效应公式可知，接收器相当于观察者，所以，接受器所接收到的声波的频率是不相同的。

练习题

8-1 如图8-1所示，对两个完全相同的弹簧振子，如将一个拉长10cm ，另一个压缩5cm ，然后放手，试问两物体在何处相遇。

解：设两个弹簧振子的振动方程分别为

x 1=A 1cos(ωt +ϕ)

110

x 2=A 2cos(ωt +ϕ) 当相遇时，x 1=x 2，此时只有ωt +ϕ=π2才能满足此条件。而当ωt +ϕ=π2时，由两振

动方程可知x 1=x 2=0，因此，两物体在平衡

位置处相遇。

8-2 经验证明，当车辆沿竖直方向振动

时，如果振动的加速度不超过1m/s2，乘客不图8-1

会有不舒服的感觉。若车辆竖直振动频率为

每分钟90次，为保证乘客没有不舒服的感觉，车辆允许振动的最大振幅为多少？

解：由已知可得

ω=90⨯2π=3π(rad/s) 60

当x =A cos (ωt +ϕ)时，加速度方程为

d 2x a =2=-ω2A cos (ω t +ϕ) d t

根据题意知，车辆允许振动的最大振幅为A m ，且A m ω2≤1 ，则

A m ≤1=1=0⋅011(m) 9⨯3⋅142ω2

8-3 放置在水平桌面上的弹簧振子，其简谐振动的振幅A =2. 0⨯10-2m ，周期T = 0.5s ，求起始状态为下列情况的简谐振动方程：

（1） 振动物体在正方向端点

（2） 振动物体在负方向端点

（3） 振动物体在平衡位置，向负方向运动

（4） 振动物体在平衡位置，向正方向运动

（5） 振动物体在x =1. 0⨯10-2m 处，向负方向运动

（6） 振动物体在x =-1. 0⨯10-2m 处，向正方向运动

解：设振动方程为

x =A cos(ωt +ϕ)

据题意知简谐振动的振幅A =2. 0⨯10-2m 、周期T = 0.5s ，由此可算出ω=2π=4π。于是，该简谐振动的振动方程可具体表达为

x =0. 02cos(4πt +ϕ)

（1） 当振动物体在正方向端点时，将t =0s 、x =0. 02m 带入上式得

0. 02=0. 02cos ϕ

此时，必有ϕ=0。于是，该状态下的振动方程为

x =0. 02cos4πt

（2）当振动物体在负方向端点时，将t =0s 、x =-0. 02m 带入上式得

111

-0. 02=0. 02cos ϕ，

此时，必有ϕ=π。于是，该状态下的振动方程为

x =0. 02cos(4πt +π)

（3）当振动物体在平衡位置向负方向运动时，将t =0s 、x =0m 带入上式得

0=0. 02cos ϕ 此时，有ϕ=±π2。由于振动物体向负方向运动

v =-0. 08πsin ϕ

x =0. 02cos(4πt +π2)

（4）当振动物体在平衡位置向正方向运动时，将t =0s 、x =0m 带入上式得

0=0. 02cos ϕ

由v =-0. 08πsin ϕ>0，可定得ϕ=3π2。于是，该状态下的振动方程为

x =0. 02cos(4πt +3π2)

（5）当振动物体在x =1. 0⨯10-2m 处向负方向运动时，将t =0s 、x =0. 01m 带入上式得

0. 01=0. 02cos ϕ 即ϕ=±π3，由v =-0. 08πsin ϕ

x =0. 02c o π 3) s t (+4π

x =-0. 01m （6）当振动物体在x =-1. 0⨯10-2m 处向正方向运动时，将t =0s 、

带入上式得

-0. 01=0. 02cos ϕ 由此可知ϕ=±4π3。由v =-0. 08πsin ϕ>0，可定出ϕ=4π3。于是，该状态下的振动方程为

x =0. 02c o πs t (+4π4 3)

8-4 如图8-2所示，一个立方形木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a ，用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为b ，然后放手让其运动。试证明，若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动，并求出振动的周期和振幅。

解：当木块浮于水中静止时，此时的水面即

为木块的平衡位置。以该平衡位置为坐标原点O ，向下的方向作为坐标轴正方向。当木块在某时刻向下位移为x 时，木块所受浮力增加，重力不变，

合外力等于浮力的增量。于是，木块所受的合力

为

F =-xS ρg 图8-2 其中，S 为木块的截面积，xS 为下沉的体积增量，

ρ为水的密度，g 为重力加速度，负号表示合力

112

与位移方向相反。

由牛顿第二定律可得

d 2x m 2=-xS ρg d t

由题意知木块的质量m =aS ρ，于是，上式可写为

d 2x aS ρ2=-xS ρg d t

整理得

d 2x g =-x d t 2a

将其与简谐振动的运动微分方程相比较可知木块的运动为简谐振动，并且其振动的圆频率为

ω=于是，周期为

T =2振幅为

A =b -a

8-5 一个质量为5g 的物体作简谐振动，其振动方程为

3π⎛x =6cos 5t +4⎝⎫⎪cm ⎭

求：（1）振动的周期和振幅；（2）起始时刻的位置；（3）在1s 末的位置；（4）振动的总能量。

解：（1）由振动方程可知振动的振幅为A =6cm ，振动的频率为

T =2π2=π=0⋅4π(s) ω5

（2） 将t =0带入振动方程得振动起始时刻的位置为

3x =6cos π=-4. 24(cm) 4

（3） 将t =1s 带入振动方程得振动物体在1s 末的位置为

3x =6cos(5⨯1+π) =2. 85(cm) 4

（4） 由振动方程可得速度方程为

113

3π⎛v =-6⨯5sin 5t +4⎝⎫⎪cm/s ⎭

由此可知最大速度为v m =6⨯5=30(cms) =0.3m/s。于是，振动的总能量为

E =1121KA 2=mv m =⨯5⨯10-3⨯0. 32=2. 25⨯10-4(J) 222

8-6 一个简谐波的波形曲线如图8-3所示。在该时刻波形曲线上各质点的振动方向如何？经过1/4周期后，该波形曲线形状如何？

答：波形曲线上各质点的振动方向为y 轴向。将t =0时的波形图向x 轴正向平移∆x =u ⋅T 4，即得到t =T 4时的波形曲线。

图8-3

8-7 波源作简谐振动，其振动方程为y =4⨯10-3cos240πt (m)，它所形成的波以30m/s的速度沿一条直线传播。（1）求波的周期和波长；（2）写出波动方程。

解：根据题意得该简谐波的振动方程为

y =4⨯10-3cos240π(t -x ) u

x =4⨯10-3cos240π(t -) 30

⎛⎫ t x ⎪-3=4⨯10cos2π -⎪11⎪ ⎪⎝1204⎭

（1） 将上式与简谐波的波动方程相比较可知该简谐波的周期为

T =1=0⋅0083(s) 120

波长为

λ=

（2） 该简谐波的波动方程为

1=0⋅25(m) 4

114

y =4⨯10-3cos240π(t -

x ) 30

8-8 有一个沿x 轴正方向传播的平面波，波速u =1m/s，波长λ=0. 04m ，振幅A =0. 03m 。若以坐标原点O 处的质点恰在平衡位置且向负方向运动为计时起点，试求：（1）此平面波的波动方程；（2）距原点x 1=0. 05m 处质点的振动方程和该点的初相位；（3）在t =3s 时，距原点x 2=0. 045m 处的质点的位移和速度。

解：由题意可知，该平面波的周期为

λ0. 04T ===0. 04(s)

u 1

角频率为

ω=

2π

=50π(rad⋅s -1） T

（1） 根据题设条件可知，O 点即振源的初相为为π2，于是，该平面波 的波动方程为

⎡⎛x ⎫π⎤π⎤⎡

y =A cos ⎢ω t -⎪+⎥=0⋅03cos ⎢50π(t -x )+⎥

2⎦⎣⎣⎝u ⎭2⎦

（2） 距原点x 1=0. 05m 的质点振动方程为

π⎤⎡

y =0⋅03cos ⎢50π(t -0⋅05)+⎥

2⎦⎣

=0⋅03cos(50πt -2π)

=0⋅03cos50πt

该点的初相位为ϕ=0。

（3） 当t =3s 时，距原点x 2=0. 045m 处的质点的位移为

π⎤⎡

y =0. 03cos ⎢50π(3-0. 045) +⎥

2⎦⎣

7⎫⎛

=0. 03cos 50π⨯3-π⎪

4⎭⎝(m) =0. 0212

该质点的速度为

v =

∂y ∂t

7⎤⎡

=-0⋅03⨯50πsin ⎢50π⨯3-π⎥

4⎦⎣

=-3⋅33(m⋅s -1)

8-9 有一个波在介质中传播，其波速u =102m/s，振幅A =1. 0⨯10-4m ，频率ν=103Hz 。若介质密度为ρ=800kg ⋅m -3，求：（1）波的能流密度；(2) 1min内垂直通过截面S =4⨯10-4m 2的总能量。

解：（1）由题意得，波在介质中传播的能流密度为

1

I =ρuA 2ω2

2

将ω=2πν带入，得

I ==

1

ρuA 24π2ν22

1

⨯800⨯102⨯1⨯10-8⨯4⨯3. 142⨯106 2

=1. 58⨯104(W ⋅m -2)

（2）根据能流密度的意义可知，1min 内垂直通过截面S =4⨯10-4m 2的总能量为

E =ISt =1⋅58⨯104⨯4⨯10-4⨯60=3⋅79⨯102(J)

8-10 人耳能分辨的声强级差别是1dB ，声强级有此差别的两个声波的振幅之比是多少？

解：若以贝尔为单位，声强级定义为

L =lg

I I 0

若以分贝（dB ）为单位，声强级定义为

L =10lg

I I 0

由题意，人耳能分辨的声强级差别是1dB ，即

L 2-L 1=1(dB)

则由上述声强级的定义得

10lg

化简后有

I 2I

-10lg 1=1 I 0I 0

I 2=100⋅1I 1

由于波在介质中传播的能流密度为I =

1

ρuA 2ω2，将此关系带入上式可得 2

A 22=100⋅1A 12

则

A 2

=1. 12 A 1

8-11 一只唢呐演奏的平均声强级为70dB ，五只同样的唢呐同时演奏的声强级有多大？

解：设一只唢呐演奏时声波的能流密度为I 1，五只同样的唢呐能流密度为I 2，则

I 2=5I 1

由声强级（dB ）的定义得

L 1=10lg

I 1

I 0I 2

I 0I 2

I 1

L 2=10lg

则

L 2-L 1=10lg

L 2=L 1+10lg5=70+10lg5=76. 98(dB)