第3讲 循环小数化分数

第三讲 循环小数化分数

一．纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化作分数呢？看下面的例题。

例1．把纯循环小数化成分数：

（1）0.6； （2）3.102。

解：（1）0.6×10=6.666…… ①

0.6=0.666…… ②

由①–②得到 0.6×9=6，

所以0.6=

62=。 93

（2）3.102先看小数部分0.102，

0.102×1000=102.102102…… ①

0.102=0.102102…… ②

由①–②得到 999×0.102=102， 所以0.102= 10234=。 999333

3.102=3 10234=3。 999333

从以上例题中可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的位数与循环节的位数相同，并且各位都是9. 注意能约分的一定要约分。

216812341 =4例如0.216=，4.123=4。 [1**********]

二．混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫做混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2．把混循环小数化为分数：

（1）0.215； （2）6.353。

解：（1）0.215×1000=215.151515…… ①

0.215×10=2.151515…… ②

由①–②得 990×0.215=251–2=213， 所以0.215= 215-221371==。 990990330

（2）对于6.353，先看小数部分0.353，

0.353×1000=353.3333…… ①

0.353×100=35.3333…… ②

由①–②得0.353×900=353–35， 所以0.353= 353-3531853==。 900300150

53。 150所以6.353=6

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数字是9，末几位数字是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

如①把0.276化成分数。 解：0.276=

276-2783=。 900300

②把7.42化成分数； 解：7.42=7 42-43819=7=7。 909045

三．循环小数的四则运算

循环小数化为分数后，循环小数的四则运算可以按分数的四则运算法则进行。从这种意义上讲，循环小数的四则运算和有限小数的四则运算一样，也是分数的四则运算。

例3．计算下列各题：

（1）2.45+3.13；（2）2.609-1.32；

（3）4.3⨯2.4； （4）1.24÷0.3。

解：先把循环小数化为分数后再计算。

（1）2.45+3.13=2 5297+3=5； 1115165

61322839-1=1； 100999900

4132228616=⨯==10； 9392727（2）2.609-1.32=2 （3）4.3⨯2.4=4⨯2 1

3

（4）1.24÷0.3=1 2418÷=3。 99311

例4．计算下列各题：

（1）0.6+ 1

0.6+ 0.6+ 1； （2）1.25⨯0.3+1.25⨯+1.25⨯0.6 3 0.6

（3）0.14+0.25+0.36+0.47+0.58。

解：（1）原式= 21 +3+3+33

21=+ 213+3+32

2121=+=+ 264433+31339

=23920573+==1。 344132132

（2）可以根据乘法对加法的分配率先把1.25提出，再计算。

原式=1.25⨯(+1125452+) =⨯==1。 3334333

（3）把循环小数化为分数，再根据乘法分配率和等差数列求和公式计算。 原式=1323334353++++ 9090909090

=1⨯(13+23+33+43+53) 90

1(13+53) ⨯5⨯ 902

1330115⨯==1。 90266 = =

练习题

1．把循环小数化为分数：

（1）0.2； （2）0.41； （3）0.205。

241205解：（1）0.2=； （2）0.41=； （3）0.205=。 999999

2．把下列混循环小数化成分数：

（1）0.21； （2）0.205； （3）6.142；

解：（1）0.21= 21-219=； 9090

205-2203=； 990990

142-141283232=6+=6+=6。 [1**********]5 （2）0.205= （3）6.142=6+

3．计算下列各题： （1）0.24+0.18； （2）2.74-2.16。

解：（1）0.24+0.18= 24184214+==； 99999933

741658-(2+) =。 999999 （2）2.74-2.16=2+

4．计算下列各题： （1）5.23⨯0.6； （2）8.46÷0.4。

解：（1）5.23⨯0.6=(5+ [1**********]145) ⨯=⨯==3； [1**********]7

7412793811) ÷=⨯==19. 1591542020 （2）8.46÷0.4=(8+