09年高考数学三角恒等变换复习
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二）
三角恒等变换
一、考点、要点、疑点：
考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点：
1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形
2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 y =A sin ωx +B cos ωx ⇒y =
A 2+B 2sin(ωx +ϕ)
4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点：
1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如β=(α+β) -α, β=(α-β) +α,
α+β⎛β⎫⎛α⎫
= α-⎪- -β⎪等） 22⎭⎝2⎝⎭
2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：a sin x +b cos x =号确定，θ角的值由tan θ=二、激活思维：
1、下列等式中恒成立的有
① sin(α-β) =sin α⋅cos β-cos α⋅sin β ② cos(α-β) =cos α⋅cos β-sin α⋅sin β
a 2+b 2sin (x +θ)(其中θ角所在的象限由a, b 的符
b
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a
1
[sin(α+β) +sin(α-β)] 21
④ sin α⋅sin β=[cos(α+β) -cos(α-β)]
2
③ sin α⋅cos β=2、化简：
① cos 58sin 37+sin 122sin 53＝
② cos(α-β) ⋅cos(α+β) +sin(α-β) sin(α+β) ＝ 3、已知cos θ=-, θ∈(
35
π
2
, π) ，则cos(
2
π
3
-θ) ＝ ，cos(
π
3
-2θ) ＝
α+β) ＝ 4、若tan α、tan β是方程x +5x -6=0的两根，则tan(
5、已知sin α=
4πα
, α∈(0, ) ，则sin 2α＝ cos 2α＝ ；sin ＝ ； 522
t a ＝ ；sin 3α＝ ；2+cos 2α-sin 2α＝ α
2
6、已知sin α-cos α=m -1，则实数m 的取值范围是。
三、典型例题解析： 例1、已知sin α=例2、若sin
25
，α是第二象限角，且tan(α+β) =1，求tan β
⎛π⎫1⎛2π⎫-α⎪=，则cos +2α⎪=
⎝3⎭⎝6⎭3
2cos 100-sin 200000
例3、求值：（1）sin 10cos 20cos 40；（2）；
cos 200
（3）(1+tan 10)(1+tan 440)
ππ⎫⎛
例4、（07安徽）已知0
48⎭⎝
12cos 2α+sin 2(α+β)
=(tan(α+β), -1) ，=(cosα, 2) ，且⋅=m ，求的值．
4cos α-sin α
11
例5、已知A , B ∈(0, π) ，且tan A =, tan B =，求角A ＋2B 的值。
73
π113
例6、已知cos α=, cos(α-β) =, 且0
2714
四、课堂练习：
44
，则sin α-cos α的值为 1π3π
2、已知sin θ+cos θ=，且≤θ≤，则cos 2θ的值是．
524
3ππ
3、若cos x =，则sin(-x ) sin(+x ) ＝
544cos 2α4
、若cos α+sin α的值为 =π⎫⎛
sin α-⎪
4⎭⎝
13
5、若cos(α+β) =，cos(α-β) =，则tan α⋅tan β＝_____．
55
1
、已知sin α=
6、已知sin α+sin β=a , cos α+cos β=b ，则cos(α-β) ＝ π⎫π⎫⎛⎛
-cos 2x +⎪ ⎪的最小正周期为 ，最大值为 63⎝⎭⎝⎭π⎫⎛π⎫⎛
8、函数y =sin x +⎪sin x +⎪的最小正周期T =
3⎭⎝2⎭⎝β1α1
α+β) 9、已知tan(α-) =, tan(β-) =-，求tan(
2223
7、函数y =sin 2x +
，x ∈R ．（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；10、已知函数f (x ) =2cos x (sinx -cos x ) +1
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢⎥上的最小值和最大值．
84参考解答：
⎡π3π⎤⎣⎦
54-37+243
激活思维：1、①③ 2、cos 5，cos 2β 3、
10, -
50
5、
24714433
25, -25, 5, 2, 125,
5
6、[-1, 3] 例题解析：1、－3 2、-
79 3、1π8, 3, 2 4、2(m +2) 5、4课堂练习：1、-35 2、-725 3、-750 4、12 5、225 7、π, 8、π 9、7
24
10、π, 2, -1
4、-7 6、-83π47
，36、a 2+b 2-2
2