提公因式法教学设计三

提取公因式法(三)

教学过程设计

一、复习

1．把下列各式分解因式：

(1)2am－3m； (2)100a2b－25ab2；

2．用乘法分配律计算下列各题：

(1)a(2b－3c)； (2)－4b(m－n+3)；

(3)(m+n)(a+b)； (4)(2a－3)(m－n)．

答案：

1．(1)m(2a－3)； (2)25ab(4a－b)；

2．(1)a(2b－3c)=2ab－3ac；

(2)－4b(m－n+3)=－4bm+4bn－12b；

(3)(m+n)(a+b)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn；

(4)(2a－3)(m－n)=m(2a－3)－n(2a－3)=2am－3m－2an+3n．

我们从第2题的第(3)小题可看出，

(m+n)(a+b)=a(m+n)+b(m+n)

如果把这个等式的左式和右式对调，我们得到

a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)

这实际上就是把多项式a(m+n)+b(m+n)进行因式分解了．

二、讲授新课

对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了．

例1 2a(b+c)－3(b+c)分解因式．

分析：这个多项式中的b+c是二项式，如果设b+c=m，则原式可变为

2a(b+c)－3(b+c)=2am－3m．

这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了．

解 设b+c=m，则

2a(b+c)－3(b+c)=2a·m－3·m=m(2a－3)=(b+c)(2a－3)

指出：在把形如例1的多项式因式分解时，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可，可以不写出辅助元．

(口答)说出下列各多项式中各项的公因式：

(1)2m(a－b)－3n(a－b)；

(2)(3m－2)x+3(3m－2)y；

(3)(y+5)(y－2)－(y+5)；

(4)4n(a+b)(a－b)－5(a+b)2；

答：(1)a－b；(2)3m－2；(3)y+5；(4)a+b．

问：多项式m(a－b)－5(b－a)是否有公因式？

答：如果把多项式的第二项中的(b－a)变为－(a－b)，则多项式就有公因式(a－b)了．

例2 把6(x－2)+x(2－x)分解因式．

分析：(x－2)与(2－x)只差一个符号，如果把2－x变号，即2－x=－(x－2)，原多项式就有公因式(x－2)了．

解 6(x－2)+x(2－x)=6·(x－2)－x·(x－2)=(x－2)(6－x)．

问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系？

(1)a+b与－a－b； (2)(a－b)2与(b－a)2；

(3)(a－b)3与(b－a)3； (4)(a－b)n与(b－a)n．

答：

(1)因为－a－b=－(a+b)，所以a+b与－a－b互为相反数；

(2)因为(b－a)2=[－(a－b)]2=(a－b)2，所以(a－b)2=(b－a)2；

(3)因为(b－a)3=[－(a－b)]3，所以(b－a)3=－(a－b)3；

(4)当n为偶数时，两式相等；当n为奇数时，两式互为相反数．

例3 把18b(a－b)2－12(a－b)3分解因式．

分析：如果把a－b设为m，则原式变形为18bm2－12m3．

问：这个多项式的公因式是什么？

答：公因式是6m2．

问：原多项式的公因式是什么？

答：是6(a－b)2．

解 18b(a－b)2－12(a－b)3 =6(a－b)2·3b－6(a－b)2·2(a－b)

=6(a－b)2[3b－2(a－b)]

=6(a－b)2(3b－2a+2b)

=6(a－b)2(5b－2a)．

(口答)指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)3m(x－y)－9m2(y－x)2；

(2)10(x－y)2+6(y－x)3；

(3)5m(x－y)2－10m2(y－x)2；

(4)12a3(m－n)3+10a2(n－m)3．

答：

(1)3m(x－y)；(2)2(x－y)2；(3)5m(x－y)2；(4)2a3(m－n)3．

例4 把5(x－y)3+10(y－x)2分解因式．

问：这个多项式两项的系数5与10的公因数是什么？有没有公因式？

答：5与10的公因数是5；因为(y－x)2=[－(x－y)]2=(x－y)2，所以(x－y)3与(y－x)2的公因式是(x－y)2．

解 5(x－y)3+10(y－x)2=5(x－y)3+10(x－y)2=5(x－y)2(x－y+2)．

三、课堂练习

1．把2(x－3)－(x2－3x)分解因式．

2．把(x－y)(x+2y)2－(y－x)2(x+2y)分解因式．

答案：

1． 2(x－3)－(x2－3x)

=2(x－3)－x(x－3)

=(x－3)(2－x)．

2． (x－y)(x+2y)2－(y－x)2(x+2y)

=(x－y)(x+2y)2－(x－y)2(x+2y)

=(x－y)(x+2y)[x+2y－(x－y)]

=(x－y)(x+2y)[x+2y－x+y]

=(x－y)(x+2y)·3y

=3y(x－y)(x+2y)．

四、小结

1．在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．

2．在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑．如果是整数系数，提取它们的最大公约数；如果是分数系数，提取它们分母的最小公倍数；相同的因式应提取次数最低的．

五、作业

1．把下列各式分解因式：

(1)15x3y2+5x2y－20x2y2；

(2)－16x4－32x3+56x2；

(3)－4a3b2+6a2b－2ab．

2．把下列各式分解因式：

(1)(m+n)(p+q)－(m+n)(p－q)；

(2)x(x－y)2－y(x－y)；

(3)(2a+b)(2a－3b)－3a(2a+b)；

(4)x(x+y)(x－y)－x(x+y)2．

3．把下列各式分解因式：

(1)m(a－3)+2(3－a)；

(2)(a+b)(a－b)－(b－a)；

(3)a(x－a)+b(a－x)－c(x－a)；

(4)10a(x－y)2－5b(y－x)；

(5)3(x－1)3y－(1－x)3x；

(6)x(a－x)(a－y)－y(x－a)(y－a)；

(7)－ab(a－b)2+a(b－a)2－ac(a－b)2；

(9)x2y(z－2)+xy2(2z－z2)；

(10)(x+y)(a－b－c)－(x+y)(b+c－a)．

答案：

1．(1)5x2y(3xy+1－4y)；(2)－8x2(2x2+4x－7)；(3)－2ab(2a2b－3a+1)；

2．(1)2q(m+n)； (2)(x－y)(x2－xy－y)；

(3)－(2a+b)(a+3b)； (4)－2xy(x+y)．

3．(1)(a－3)(m－2)； (2)(a－b)(a+b+1)；

(3)(x－a)(a－b－c)； (4)5(x－y)(2ax－2ay+b)；

(5)(x－1)3(3y+x)； (6)(a－x)(a－y)(x－y)；

(9)xy(z－2)(x－yz)； (10)2(x+y)(a－b－c)．

课堂教学设计说明

1．本节课的内容对学生来说是有一定难度的．当公因式是多项式时，采用设辅助元的方法，把问题化归为公因式是单项式的提取公因式法，达到化难为易，把不甚熟悉的问题化归为已熟悉的问题的目的．化归思想是数学中解决问题的重要思想方法．在解题时常作为把未知化为已知， 把繁难化为简易问题的手段，以寻求解题途径．教学中教师应结合具体问题有意识的向学生渗透化归的思想方法．

2．当多项式的公因式是隐含的时候，要引导学生认真观察和分析多项式中各项的特点，寻求把多项式进行适当的变形或改变多项式中某些项的符号的思路和方法．通过课堂练习达到这一目的．