比例的基本性质及应用
相似图形(一)
一、考点概况
1.线段比的含义:如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n,那么就说这两条线段的am
比是a:b=m:n,或写成=,和数的一样,两条线段的比a、b中,a叫做比的前项 b叫 做比 的
bn
后项. 注意:(1)针对两条线段,(2)两条线段的长度单位相同,但与所采用的单位无关;(3)其比值为一个不带单位的正数.
2.线段成比例及有关概念的意义:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么ac
这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.已知四条线段a、b、c、d,如果=或a:b=c:d,那么a、
bd
b、c、d叫做成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、d叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项,当比例内项相同时,即争
ab
或a:b=b:c,那么线段b叫做线段a和c的比例中项.
bc
两直角边的长分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为( )
B.5:4 C.5:12 D.25:12 如图4—1—1,已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b=1∶2,其斜边长为 4 cm,
那么这个三角形的面积是_____
图4—1—1 在比例尺为1:8000的南京市城区地图上,太平南路的长度约为
25 cm,它的实际长度约为( ) B.320m C.2000cm D.2000m
2500m,在一张平面图上的距离是5cm,这张平面地图的比例尺为__________. ,请你再添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_____________. 下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a=2,b=3,c=2,d=3 B.a=4,
b=6,c
=5,d=10 C.a=2,b=5,c=2,d= D.a=2,b=3,c=4,d=1 3.比例的性质
acbd
要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式,即由=推出=等,但无论怎样变化,它们都
bdac
保持ad=bc的基本性质不变.
4一条线段上有两个黄金分割点
5、断黄金分割的四个方法:已知线段AB,若C点是黄金分割点且(AC>BC) (1)、AC:BA=BC:AC (2)、AC2=AB:BC
(3)、较长部分:整体=
5-1 (4)、较短部分:整体
2
已知3x=4y,则
433x
= ( )A、 B、 C、-
344y
1、已知线段a、b、c、d满足ab=cd,把它改写成比例式,错误的是( )
A. a∶d=c∶b B. a∶b=c∶d C. d∶a=b∶c D. a∶c=d∶b 2、若ac=bd,则下列各式 一定成立的是( )
a2daca+db+c
=A.= B. C. 2=
bddccb
3.如图,点A,B是反比例函数y=
D.
aba
= cdd
k
图像上的两点,请写出关于图中的四条x
线段a,b,c,d的一个比例式
. 已知 x:y=3:2,则下列各式中不正确的是( )
x+y5x-y1x3x3
A、 = B、= C、 =
D、 =
y2y2x+y5y-x1若3x-5y=0,则 y∶x=________,已知
x+yx-y
=________.=________ xx
+y
a
===k,则直线y=kx+k一定过哪些象限?分 cab
如果
bcd
====k,试求k的值
b+c+da+c+da+b+da+b+c
如果点C为线段 AB
的黄金分割点,且AC>BC,则下列各式不正确的是( ) A.AB:AC=AC:BC
B.AC已知线段AB,点P是它的黄金分割点,PA>PB, 设以AP为边的正方形面积为S1,以PB、AB的矩形的面积为S2,则( ) A.S1 >S2 B. S1 =S2 C.S1< S2 D.S1、S2大小不能确定
以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取 AB的中点P,连结PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上(如图l-4-1). (1)求AM
、MD的长;
(2)你能说明点M是线段AD的黄金分割点吗?
如果一个矩形ABCD(AB<BC)
中,
AB C、AB
D.AC≈0.61 8AB AB5-1
≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以=
BC2
美感. 在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图1),请问矩形ABFE是否是黄
金矩形?请说明你的结论的正确性.
如图:已知A(0,-2),B(-2,1),C(3,2) (1)求线段AB、BC、AC的长.
(2)把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2,得到A′、B′、C′的坐标,
求A′B
′、B′C′、A′C′的长. (3)以上六条线段成比例吗?
(4)△ABC与△A′B′C′的形状相同吗?
已知abc≠0且
1、已知
a+2b
+c==,求的值 bcaa-2b-3c
cda-b+c-d===,求的值 bcdaa+b-c+d
(a+b)(b+c)(c+a)a+b-ca-b+c-a+b+c
==x=cbaabc2、若a,b,c是非零实数,并满足,且,求x的
值
3、已知
aa-c112=,求证+= bc-babc
强化练习 巩固提高
1.如果
aa-b3
=,那么=________.
bb5
2.若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________. 3.若=
x
3
x-y+zyz
=,则=________. 57x+y-z
4.在一张地图上,甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m,那么这张地图的比例尺为
________.
5.正方形ABCD的一边与其对角线的比等于________.
6..在△ABC中,D是BC上一点,若A B=15 cm,A C=10 cm,且BD∶DC = AB∶AC,
BD-DC =2 cm,求B C.
7.若
ABAC
=,且AB =12,AC =3,AD =5,则AE =________. ADAE
a5
b7
c8
8.若==,且3a-2b+c=3,则2a+4b-3c的值是( )
A.14
B.42 C.7
D.
14
3
9.如图,等腰梯形ABCD的周长是104 cm,AD∥BC,且AD∶AB∶BC=2∶3∶5,则这个梯形的中位线的长是( )cm.
A.72.8 B.51 C.36.4 D.28
10.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )
A.∶2 三、解答题
11.若点P在线段AB上,点Q在线段AB的延长线上,AB=10, 12.若 13.已知
14.在同一时刻物高与影长成比例,如果一古塔在地面上的影长为50 m,同时高为1.5 m的测杆的影长为2.5 m,那么古塔的高是多少?
平行线分线段成比例
a+2bc+5
,且2a-b+3c=21. 试求a∶b∶c. ==
346
B.
3∶1 C.2∶
D.1∶
APΑQ3
==,求线段PQ的长. BPBQ2
xx+y4
=,求. 2x3y
【例1】 如图,DE∥BC,且DB=AE,若AB=5,AC=10,求AE的长。
A
D
B
C
【例2】 如图,已知AB//EF//CD,若AB=a,CD=b,EF=c,求证:=+.
A
EF
D
1
c1a1b
B
【巩固】如图,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AC和
BD相交于点E,EF⊥BD,垂足为F.证明:
111
. +=
ABCDEF
C
A
E
B
F
D
【巩固】如图,找出S∆ABD、S∆BED、S∆BCD之间的关系,并证明你的结论.
C
EF
D
A
B