前沿讲座论文

《风险管理与精算前沿讲座》课程论文

专业班级： 统计学专业1101 姓 名： xxx 学 号： 20112798 指导教师： xxx

日 期： 2014-12-31

利用copula 函数度量违约相关性

摘要：

本文介绍了copula 函数的起源，发展；最基本的概念和定义；利用copula 函数度量违约相关性的一般方法。文中用二维正太copula 方法计算违约概率的相关性，进而计算资产的组合信用风险。

关键字：copula, 违约相关性，资产信用组合. Copula 函数的起源和发展

Copula函数被称为“相依函数”或者“连接函数”,它是把多维随机变量的联合分布用

其一维边际分布连接起来的函数。Copula 理论于1959年由Sklar 提出, 定义了一个联合分布分解为它的K 个边缘分布和一个Copula 函数, 其中Copula 函数描述了变量间的相关结构,Sklar 定理为Copula 方法体系的发展打下了基础。但直到上世纪90年代末期才被引入金融领

域,Nelson(1998)比较系统地介绍了Copula 的定义、构建方法, 并全面介绍了Copula 函数的各项性质以及几种重要的Copula 函数族。Embrechs(1999)把Copula 理论引入到金融领域中, 把金融风险分析推向了一个新的阶段。在我国, 对Copula 的研究起步较晚, 最早是张尧庭(2002)在理论上, 主要是从概率论的角度上探讨了Copula 方法在金融上应用的可行性。Copula 方法在金融风险测算中主要具有如下优势:①Copula 理论不限制边缘分布的选择, 结合Copula 函数可以更为灵活地构建多元分布函数; ②在运用Copula 理论建立模型时, 边缘分布反映的只是单变量的个体信息, 变量间的相关信息完全由Copula 函数来体现, 可以将随机变量的边缘分布和它们之间的相关关系分开来研究; ③通过不同形式Copula 函数的选择使用, 可以准确捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系, 特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系, 这有助于风险管理机构度量出现极端情况下的风险值。

copula 函数的定义

Copula 是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。

定义一、

n 维Copula 函数C :[0，1]n →[0, 1]，满足：∀u ⋃∈[0, 1]n ，若中至少有一个分量为0，则

n

C (u ) =u k ；若中除u k 外的分量均为1，则V c ([a , b ])≥0；∀a , b ∈[0, 1]，若a ≤b ，则

b b b b b

C (t ) =∆k ∆k -1 ∆2∆1C (t ) V ([a , b ])=∆ c a a k a k -1a 2a 1

V c ([a , b ])≥0，其中：b k

∆a k C (t ) =C (t 1, t k -1, b k , t k +1, , t n ) -C (t 1, t k -1, a k , t k +1, , t n )

定义二、

n 维函数C :[0，1]→[0, 1]为Copula 函数，若对n 个服从均匀分布的随机变量

n

U 1，U 2， , U n ，满足：C (u 1, u 2, , u n ) =P [U 1≤u 1, U 2≤u 2, , U n ≤u n ]即Copula 函数

是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。

Copula 函数的类型

常见的copula 函数分为椭球类Copula 函数和Archimedean Copula 函数，其中椭球类copula 函数包括正态Copula 函数、Student-t Copula 函数。Archimedean Copula 函数包括Gumbel Copula 、Clayton Copula、Frank Copula。

利用copula 函数度量违约相关性的研究背景

信用衍生产品则主要通过采用分解和组合技术来改变资产的整体风险特征，如信用互换、信用期权以及信用远期等。在过去的几年中，信用衍生产品以惊人的速度发展起来，逐渐形成了具有一定规模的市场和一套较为完整的交易机制，并不断地有大量的创新产品和技术涌现出来，信用衍生产品市场已经成为未来最有发展潜力的市场之一。

根据the British Bankers Association(BBA)的分析，世界范围内的信用衍生产品市场到2000年年底大约达到8930亿美元，2002年有可能增至15800亿美元，可见市场的发展极为迅速。而对亚洲及中国来讲，信用衍生产品可以说是一个全新的概念，现阶段亚洲市场仍是一个新兴市场，其规模较小，交易范围非常有限，参与者也仅少数机构投资者和大银行。近几年来，为了解决国有商业银行大量的不良资产问题，成立了四大国有资产管理公司。目前，它们处理不良资产的一种办法就是出售，类似一种信用衍生产品技术。同时，国内外许多金融学家都认为，要处理好国有中国各商业银行的不良资产，发展信用衍生产品市场是方向，只有这样才能彻底解决这些坏账问题。对信用衍生产品的定价也涉及到如何度量资产组合的信用风险问题。近两年来的国内外研究表明，违约相关性(Default Correlation) 度量方法是进行信用衍生产品定价的关键技术。

利用copula 函数度量违约相关性

组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引起的风险。 要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。 在度量资产组合的信用风险时，可以采用违约概率作为衡量资产信用的指标。在此基础上，可以采用Copula 函数来度量违约概率之间的相关性，并进一步计算组合的信用风险。 下面具体介绍这种度量资产组合信用风险的方式。 构建信用曲线

连续随机变量生存时间T （survival time），它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。F(t)表示在t 时刻已经违约的概率，S(t) 表示在t 时刻还没有违约的概率，它也被称为生存函数（survival function）。根据函数的定义，可以得到：

F （t ）=Pr(T ≤t ), S (t ) =1-F (t ) =Pr(T >t )

可以看出，F(t)其实就是生存时间T 的累积分布函数。资产在时刻没有违约的情况下，在时段∆x 内违约的概率：

Pr[x x ]=

F (x +∆x ) -F (x ) f (x ) ∆x

≈

1-F (x ) 1-F (x )

定义h (x ) =等式成立

h (x ) =

f (x )

可以称之为危险率函数，它表示条件违约概率密度，有下列

1-F (x )

f (x ) S '(x )

=-从而可以得到

1-F (x ) S (x )

t

-h (s ) ds

S (t ) =e

⎰

t

-h (s ) ds

而f (t ) =h (x )(1-F (x )) =h (x ) S (t ) =h (x ) e

⎰

现在定义信用曲线（credit curve），它是危险率函数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产的违约相关性。

获得信用曲线的方法

获得信用曲线的方法一般有三种：第一，从评级机构的历史数据中获得。第二，使用布莱克－舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期权，用这个架构可以获得n 期的违约概率，然后将其转换为危险率函数。第三，从现有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期收益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价差曲线（Yield Spread Curve），然后假设一个外生的恢复率（Recovery Rate），就可以推算出信用曲线。

布莱克－舒尔茨方法

假设公司的资产市值服从几何布朗运动，并假设其资本结构可简单地分为债务和股权，那么，股权就可以看作是以资产市值为标的物、执行价格为债务面值的看涨期权。

弱点：假设违约只在债务到期日才发生 。

First-Passage 模型

认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界的时候，而不是债务到期日。 根据First-Passage 模型，假设公司资产价值A t 服从对数正态分布，违约边界为固定值D （它不必是债务总额），则从目前到时刻t 这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：

S （t ）=p (X i ≥0, 0≤s ≤t X 0) =N (

其中

X 0+mt

) -e 2mx 0N (

-X 0+mt

)

X 0=

log A 0-log D

σ

, m =(μ-γ-

σ2

2

) /σ, 而h (t ) =

f (t ) S '(t )

=-

1-F (t ) S (t )

由此可以计算出资产的信用曲线。计算出公司资产的净收益，资产波动率，违约边界，公司初始资产 。

选择合适的copula

一般采用正太copula 和学生copula 。Copula 函数适合利用蒙特卡洛模拟来实现，这里模拟正太copula 函数。

模拟步骤如下:

1.

产生均值为0，相关系数矩阵为 ρ 的正态随机数向量

Z 1，Z 2， , Z N

1.

将正态随机变量转换为均匀随机变量：

U t =φ(Z t ), I =1, , N

1.

根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量：

X t =F t -1(U t ), I =1, , N

这里的Copula 函数为：

C (u 1, u n ) =φρ(φ-1(u 1), , φ-1(u N ))

得出Copula 函数的蒙特卡罗模拟结果. 计算联合违约分布的概率，采用二维正太分布copula 函数，把资产的危险率函数代入公式即可，由此可以画出资产的违约累计概率分布，和概率密度分布图。

Copula 函数可以广泛地应用于信用风险管理以及信用衍生品定价方面，它可以将各种边缘分布连接起来。

参考文献：

[1]朱世武. 基于copula 函数度量违约相关性[D]. [2]朱世武.copula 函数及其应用[M].

[3]百度. 试论金融风险测算技术[D].

[4]杨益党.copula 函数与广义copula 函数[D].