高等传热第五章习题答案
5-1
解：由于等截面矩形直肋关于中线是对称的，在对称面上为绝热边界条件，所以这里只研究其关于中心位置对称的一部分的温度场情况。其图形如下图所示：各个边界条
用有限差分法求解肋片中的二维稳态温度场
1. 将区域离散化，把原来在空间上连续的物理量的场，转化为有限个离散的网格单元节点。
沿x 方向和沿y 方向分别按间距∆x 和∆y ，∆x 和∆y 相等，将x 轴方向等划分为40段线段，y 方向等划分为20段线段，将用一系列与坐标轴平行的网格线，把求解区域分割成许多小的矩形网格。网格线的交点成为节点每个节点，每个节点可以看作是以它为中心的一个区域的代表。
δ
绝热
……
（21）
……
2. 建立离散方程，
41
区域内的所有点，包括内节点(i , j )都应满足以上的方程。把内节点，即i =2……n -1，
j =2……m -1处的二阶偏导数用对应的差商来近似，∂2t t i , j +1-2t i , j +t i , j -1∂2t t i +1, j -2t i , +j t -
== ， ∂y 2∂x 2∆y 2∆x 2则有：t i , j =
i 1, j
1
(t i +1, j +t i -1, j +t i , j +1+t i , j -1) 4
边界上的点：
当i =1，j =2……n-1时，为了使个节点的精度能够平衡，可以利用虚节点的概念对此边界节点进行处理，，则节点(1, j )可以按照内节点处理，得到：
t i , j =
1
t 1, j +1+t 1, j -1+2t 2, j ) (4
当i =1，j =1时，
t
i , j
=
1
t 1,2+t 2,1) (2
当i =2……n-1，j =1时，节点的处理也可以引进虚节点的概念，看成是内节点，则有：
t i ,1=
1
(t i -1,1+t i +1,1+2t i ,2) 4
当 i =n ，j =1……m ，根据边界条件则有：
t i , j =t 0
当j =m ，i =2……n-1，根据边界条件则有： -λ所以可以假想上部有一个虚节点t i , m +1，则有：
t i , m -t i , m -1
∆y
=h (t i , m -tf )，但其精度低，
t i , m =
将-λ
1
t i +1, m +t i -1, m +t i , m +1+t i , m -1) (4
2h ∆y
t i , m +1-t i , m -1
2∆y
⎛⎝
=h (t i , m -t f )，得到：t i , m +1=
2h ∆y
λ
(t
f
-t i , m )+t i , m -1将其带入上式，可
以得到：t i , m = t i +1, m +t i -1, m +2t i , m -1+
2h ∆y ⎫⎫t f ⎪ 4+⎪ λλ⎭⎭⎝
当j =m , i =1时，假想两个虚节点t 0, m 和t 1, m +1 则有：t 1, m =
1
(t 2, m +t 1, m -1+t 1, m +1+t 0, m ) 4
将式子t 0, m =t 2, m
= t 1m , +1
2h ∆y
λ
(t
f
-t
1m ,
)+t
-1m 带入上式可以得到：, 1
h ∆y ⎫⎛h ∆y ⎫⎛
t 1, m = t 2, m +t 1, m -1+t f ⎪ 2+⎪
λλ⎭⎝⎭⎝
温度的无量纲化： 令Θ=
t -t f t 0-t f
，其中令t f =0, t 0=1。Bi =
h δ
λ
，Y =
∆y
δ
节点方程如下：
当i =2……n -1，j =2……m -1时，Θi , j =
1
Θi +1, j +Θi -1, j +Θi , j +1+Θi , j -1) (4
当i =1，j =2……n-1时，Θi , j =当i =1，j =1时，Θ
i , j
1
(Θ1, j +1+Θ1, j -1+2Θ2, j ) 4
1
Θ1,2+Θ2,1) (2
1
当i =2……n-1，j =1时， Θi ,1=(Θi -1,1+Θi +1,1+2Θi ,2)
4
=
当 i =n ，j =1……m ，Θi , j =1
当j =m ，i =2……n-1， Θi , m =Θi +1, m +Θi -1, m +2Θi , m -1当j =m , i =1时， Θ1, m =Θ2, m +Θ1, m -13. 热量的计算：
第一种思路：传导的热量为根部的导入的全部的热量。用一阶朝后差分代替一阶导数，截断误差为O (∆x )
()4+2BiY )
()2+BiY )
t 0-t n , m ∆y m -1t 0-t n -1, j t -t ∆y
则有：Q 1=λ +∑λy +λ0n ,1
∆x 2j =2∆x ∆x 2
单位长度的换热量为：q l ,1=Q 1H
第二种思路：导入的热量在边界上全部传到出去。
∆x ∆x n -1
则有：Q 2=h (t 0-t f )+h (t 1, m -t f )+∑h (t i , m -t f )∆x
22i =2
单位长度的换热量为：q l ,2=Q 2H 将两者的平均换热量q l =q l ,1+q l ,2热量的无量纲化： 令Φ=
()
2作为作为单位管长的换热量。
h δ∆x Q (n -1) ∆x δ
= ，Bi =，X =, L =
λH (m -1) ∆y H h (t 0-t f )
1L L m -1
Φ1=(2-Θn , m -Θn ,1) +∑(1-Θn -1, j )
2Bi Bi j =2
⎛1+Θ1, m n -1⎫Φ2=X +∑Θi , m ⎪
i =2⎝2⎭
4. 温度场的求解：
此问题的求解为线性方程组的求解问题，采用简单的同步迭代法进行求解。
实现步骤：1）给定初值
1） 进行迭代计算，在计算机程序里默认的都是高斯-塞得而迭代，即计算出来的新的数值，
可以在计算写一个温度的时候使用。
2） 精度比较，将本次计算的数值与下一次计算的数值比较，当差值的绝对值小于设定的误
差时，即停止迭代
3） 输出迭代次数和计算的温度值
4） 绘出温度场本题中笔者采用的是Matlab 程序运算求得的温度场，当Bi 数为1时，L=0.5
时。见下图：
当Bi=0.001，L=0.01时，绘制的温度场如下图所示：
可以看出当肋片很薄很长，即厚度与长度的比值很小的时候，Bi 数很小的时候当X 一定的时候，在Y 方向上温度几乎是不变化的，所以完全可以把钢板内的温度当成一唯来处理。一般当Bi
5-2
1）数学描述为：
⎧⎪∂t τ
=a ∂2t
2τ>0,0
τ=0, t =to 0≤x ≤δ⎨∂t ⎪=0τ>0⎪∂x
x =0⎪⎪∂⎩
-λt
∂x =h (t x =±δ-tf )τ>0x =±δ2）求解区域离散化
∂t ∂2（1）对∂τ=a t
∂x
2τ>0,0
∂t t p +1p
对p 时刻采用朝前差分：p 时刻对时间的偏导数近似为， i -t ∂τ=i ∆τ
对坐标x 的二阶偏导数用p 时刻的中心差分近似为，∂2t t p p p
i -1-2t i +t i +1
∂x 2=(∆x )2
所以：t p +1-t p p p p
i i t i -2t ∆τ=a -1i +t i +1
(∆x )
2
，整理得内节点的朝前差分行式的节点方程为：
t p +1=f (t p p p
i i -1+t i +1)+(1-2f )t i
其中，f =
a ∆τ
(∆x )
2
(0.1)
(0.2)
∂t t i p +1-t i p
=对p+1时刻采用朝后差分：p ＋1时刻对时间的偏导数近似为， ∂τ∆τ
+1p +1p +1
-2t +t ∂2t t i p i i +1
对对坐标x 的二阶偏导数用p ＋1时刻的中心差分近似为，2=-1 2
∂x (∆x )+1p +1+1
t i p +1-t i p t i p +t i p -1-2t i +1
=a 所以：，整理得内节点的朝后差分形式的节点方程为： 2
∆τ(∆x )
-ft p +1p +1p +1p
i -1+(1+2f ) t i -ft i +1=t i
将（1.2）与（1.3）相加得内节点差分方程的六点差分格式：
-ft p +1+f )t p +1+1p p p
i 1+2(1i -ft p -i +1=ft i -1+2(1-f )t i +ft i +1
（2）对于x=0的边界处
对p 时刻采用朝前差分：
t p +1写出热平衡关系式得：λ2-t p 1∆x t p 1-t p
∆x =ρc 12∆τ
，整理得：
t p +11=(1-2f )t p p 1+2ft 2
对p ＋1时刻采用朝后差分：
t p +1p +1p +1写出热平衡关系式得：λ2-t 1∆x t 1-t p
∆x =ρc 12∆τ
，整理得：
t p +1p p +11=t 1+2f (t 2-t p +11)
将（1.5）与（1.6）相加整理得六点差分格式：
(1+f )t p +11-ft p +12=(1-f )t p 1+ft p 2
（3）对x=δ的右侧边界处
对p 时刻采用朝前差分：
(0.3)
(0.4)
(0.5)
(0.6)
(0.7)
t n p -1-t n p
+h t n p -tf 写出热平衡关系式得：λ(∆x
p
∆x t n p +1-t n p
)=ρc 2∆τ，整理得：
t n p +1=2f (t n p -1+bt f p )+(1-2f -2fb )t n p
(0.8)
对p ＋1时刻采用朝后差分：
t n p -+11-t n p +1
+h t n p +1-tf 写出热平衡关系式得：λ(∆x
p +1
∆x t n p +1-t n p
)=ρc 2∆τ，整理得：
1p +1
-2ft n p -+=2fbt f p +1+t n p 1+(1+2f +2fb ) t n
(0.9)
将（1.8）与（1.9）相加整理得：
1p +1
-ft n p -+=fb (t f p +1+t f p ) +ft n p -1+(1-f -fb ) t n p 1+(1+f +fb ) t n
(0.10)
3）节点温度的求解。
朝后差分法表示的各个节点的温度表述如下：
⎧(1+2f ) t 1p +1-2ft 2p +1=t 1p
⎪p +1p +1p +1p
⎨-ft i -1+(1+2f ) t i -ft i +1=t i
⎪p +1p +1p -2ft +(1+2f +2fb ) t =2fbt +t n -1n f n ⎩
可以看出每一个内节点有三个未知的温度，边界节点只有两个未知的温度。方程的形式为三对角矩阵的形式。采用简单的追赶法进行求解。 a. 追赶系数的求解：
b 1=1+2f ，c 1=-2f ，d 1=t 1
a i =-f ，b i =1+2f ，c i =-f ，d i =t i a n =-2f ，b n =1+2f +2fb ，d n =2fbt f +t n
则有：U 1=-c 1b 1，V 1=d 1b 1
t 1=U 1t 2+V 1
对于内部节点的追赶系数为：U i =-
c i aU i i -1+b i
，V i =
d i -aV i i -1
aU i i -1+b i
t i =U i t i +1+V i
b. ”逆追赶”：这样将t n -1=U n -1t n +V n 的表达式带入最后方程就可以求得最后节点的温度为：
t n =
d n -a n V n -1
a n U n -1+b n
最后可以利用式子t i =U i t i +1+V i ，确定各个节点的温度值
5-3
1）节点方程的建立
采用元体热平衡法进行分析：
单元格的划分，一唯问题可以看成其在r 方向上变化，在边界上，将其划分成∆r 2，中间的部分划分成∆r 为间隔。 节点方程的建立：
a) 当i ＝0时，对第一个元体进行热量平衡分析，元体内部的能量变化为i =1的元体
对其的导热量，采用朝前差分建立平衡方程式为：
2
t 0p +1-t 0p ⎛∆r ⎫t 1p -t 0p ρc π ⎪=λπ∆r
∆τ2∆r ⎝⎭
a ∆τ
设f =
(∆r )
2
，b =
h ∆r
λ
，将(1.1)整理得：
t 0p +1-t 0p =4f (t 1p -t 0p )
计算导热量的时候，可以将温度看成是p +1时刻的温度，于是可以得到朝后差分的平衡方程式：
t 0p +1-t 0p ⎛∆r ⎫t 1p +1-t 0p +1
ρc π ⎪=λπ∆r
∆τ∆r ⎝2⎭
2
设f =
a ∆τ
(∆r )
2
，b =
h ∆r
λ
，将(1.1)整理得：
t 0p +1-t 0p =4f (t 1p +1-t 0p +1)
则t 0p 可以表示为：
t 0p =(1+4f )t 0p +1-4ft 1p +1
六点差分格式：将式相加可以得到六点差分格式：
4ft 1p +(1-4f )t 0p =(1+4f )t 0p +1-4ft 1p +1
b) 当i ＝1……n-1时，元体i=1的朝前差分的热平衡方程的建立：
p p
t i p +1-t i p t i p t i p ∆r ⎫∆r ⎫⎛⎛-1-t i +1-t i ρc 2πr i ∆r =λ2π r i -⎪+λ2π r i +⎪
∆τ∆r 2⎭∆r 2⎭⎝⎝
设f =
a ∆τ
(∆r )
2
，b =
h ∆r
λ
，将(1.1)整理得：
(t
t i
p +1
i
∆r ⎫∆r ⎫p ⎛p p ⎛-t i p )r i =f (t i p -t r -+f t -t r +)()-1i i +1i i ⎪ i ⎪ 2⎭2⎭⎝⎝
朝后差分可得：
(
p +1
∆r ⎫∆r ⎫+1p +1⎛p +1p +1⎛-t i p )r i =f (t i p -t r -+f t -t r +)()-1i i +1i i ⎪ i ⎪ 22⎝⎭⎝⎭
两边同时除以r i ，可以得到：
1⎫1⎫p +1p p +1p +1⎛p +1p +1⎛t -t =f t -t 1-+f t -t 1+(i i )(i -1i ) ()i +1i ⎪ ⎪
⎝2i ⎭⎝2i ⎭
则t i p 可以表示为：
1⎫+1⎛
t i p =(1+2f )t i p +1-f 1-⎪t i p -1-
⎝2i ⎭1⎫+1⎛
f 1+⎪t i p +1 ⎝2i ⎭
将上面两式相加，可以得到六点差分格式整理可以得到：
(2r i +2fr i )t i p +1-f ⎛ r i -
⎝∆r ⎫p +1
⎪t i -1-2⎭∆r ⎫+1⎛
f r i +⎪t i p +1=
2⎝⎭
∆r ⎫⎛
f r i +⎪t i p +1
2⎭⎝
∆r ⎫p ⎛p
2r -2fr t +f r -(i i )i i ⎪t i -1+
2⎭⎝
两边同时除以2r i ，其中
∆r
=i 可以得到： r i
(1+f )t i p +1-f ⎛
11⎫p +1
-⎪t i -1-24i ⎭⎝⎛11⎫+1
f +⎪t i p +1=24i ⎝⎭
(1-f )t i p +f ⎛
11⎫p
-⎪t i -1+⎝24i ⎭⎛11⎫f +⎪t i p +1 ⎝24i ⎭
c) 当i =n 的时候，为第三类边界条件，边界元体内的热量的变化可以看成是元体
n -1和边界条件对其的影响。
采用p 时刻的朝前差分，列热平衡方程式为：
t n p +1-t n p ρc
∆τ
设f =
t n p -1-t n p ⎛⎡⎛∆r ⎫∆r ⎤∆r ⎫p
2πr -=λr - n ⎪2π+h (t f -t n )2πr n ⎢ n 4⎪2⎥∆r ⎝2⎭⎭⎦⎣⎝
，b =
a ∆τh ∆r
(∆r )
p
n
2
λ
，将上式整理得：
t
(
p +1n
⎡r n ∆r ∆r 2⎤∆r 2⎫p p ⎛p
-t )⎢-=f (t n -1-t n ) r n ∆r -⎪+fb (t f -t n )r n ∆r ⎥8⎦2⎭⎣2⎝
r r n ∆r ∆r 2
-两边同时除以，并将n =n 带入，可以得到：
∆r 28
2n -1n ⎫p 2n -1p n ⎛
t n p +1= 1-4f -8fb t +4f t +8fb t f n -1⎪n
4n -14n -1⎭4n -14n -1⎝
采用p +1时刻的朝后差分，采用上面的方法同样可以得到：
2n -1n ⎫p +12n -1p +1n ⎛
t n p = 1+4f +8fb t -4f t -8fb t f n -1⎪n
4n -14n -1⎭4n -14n -1⎝
六点差分格式，计算的结果如下：
2n -1n ⎫p +12n -1p +1⎛
1+2f +4fb t -2f t n -1= ⎪n
4n -14n -14n -1⎝⎭
2n -1n ⎫p 2n -1p n ⎛1-2f -4fb t +2f t +4fb t f n -1 ⎪n
4n -14n -1⎭4n -14n -1⎝
节点温度的求解也采用追赶法进行求解，具体的步骤可以参考上题。
2）不同的Bi 数和Fo 数下的温度场比较：
3）分析：
当Bi 数很大的时候，意味着表面传热系数趋于很大，这时表面的温度几乎从冷却一开始就立即降到等于流体的温度，如图，当Bi=10的情况。
当Bi 数很小的时候，意味着内部的导热热阻很小，趋向于零，这时温度的分布趋于趋于均匀一致。如图，当Bi=0.001的情况。
11