基本不等式的证明
沛县第二中学2014-2015第二学期高一数学必修5导学案 主备人: 甘向东 审核人: 张恒 课题:基本不等式的证明(1)
学习目标:
1. 探索基本不等式以及它的证明过程;体会证明基本不等式的基本方法。
2理解这个定理的几何意义,并掌握定理中不等号取等号的条件。
3. 渗透数形结合和等价化归的数学思想。
重点难点
教学重点:基本不等式的探索和证明过程。
教学难点:等号成立的条件。
学习过程:
活动一 自主先学
把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称的物体的质量为 a,如果天平制造的不精确,天平的两臂长略有不同,那么a 并非物体的实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘子上,此时称得物体的质量为b, 那么如何合理地表示物体的质量呢?
1、问题引领:
(1)什么是两个正数的算术平均数,什么是两个正数的几何平均数?
(2)如何证明两个正数 a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数
法一
法二
法三
我参与,我受益 我活动 我快乐 大家快乐
(3)运用基本不等式的条件是什么
(4)你能给出基本不等式的几何解释吗?
(5)能否推广到n 个正数的情况
2、牛刀小试:
(1)计算下列两个数的算术平均数与几何平均数(其中 p>0): 2 (1)2,8;(2)3,12;(3)p,3p ;(4)2,2p
(2)证明
(1)a 2+b 2≥2ab
(2)x 2+1≥2x
3、点评
活动二 应用与探究
设a , b 为正数,证明下列不等式成立
例题1. (1b
a +a
b ≥2; (2) a +1
a ≥2
巩固练习:1. 设x 是实数,求证:2x +2-x ≥2
2.设a ,b 是实数,求证:ab ≤(a +b
2) 2
例题2:证明:
我参与,我受益 我活动 我快乐
大家快乐
(1)a +1≥3(a ≥1) a -1
(2)x +1≤-2(x
思考:如何把所给的表达式进行恰当的变形和转化才能运用基本不等式
活动三. 学讲小结
当堂检测:
1、判断下列命题是否正确,若不正确,说明理由,若正确,请证明
(1)a +1≥2 a
b a (2)ab ≤0, +≤-2 a b
(3)sin 2x +2≥22 2sin x
(4)
x 2+3x +12≥2
a 2+b 2⎛a +b ⎫2、证明 ⎪≤22⎝⎭
我参与,我受益 我活动 我快乐 大家快乐 2
3、证明x +2
活动四 教学反思
1>1(x ≠0) x 2+1
我参与,我受益 我活动 我快乐 大家快乐