高数第五版答案1-8
习题18
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
x2 0x1 (1)f(x);
2x 1x2
x 1x1 (2)f(x). 1 |x|1
解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.
f(x)lim(2x)1 f(x)limx21, lim 在x1处, 因为f(1)1, limx1x1x1x1
所以limf(x)1, 从而函数f(x)在x1处是连续的. x1
综上所述,函数f(x)在[0, 2]上是连续函数.
(2)只需考察函数在x1和x1处的连续性.
在x1处, 因为f(1)1, limf(x)lim11f(1), limf(x)limx1f(1), 所以x1x1x1x1
函数在x1处间断, 但右连续.
f(x)limx1f(1), limf(x)lim11f(1), 所以函数在x1处 在x1处, 因为f(1)1, limx1x1x1x1
连续.
综合上述讨论, 函数在(, 1)和(1, )内连续, 在x1处间断, 但右连续.
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
x21 (1)y2, x1, x2; x3x2
(2)yx, xk, xk (k0, 1, 2, ); tanx2
1 (3)ycos2, x0; x
x1 x1 (4)y, x 1. 3 x x1
x21(x1)(x1) 解 (1)y2. 因为函数在x2和x1处无定义, 所以x2和x1是函数x3x2(x2)(x1)
的间断点.
x21, 所以x2是函数的第二类间断点; 因为limylim2x2x2x3x2
因为limylimx1(x1)2, 所以x1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x1处, x1(x2)
令y2, 则函数在x1处成为连续的.
(2)函数在点xk(kZ)和xk
因lim (kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 2x(k0), 故xk(k0)是第二类间断点; xktanx
x1, x0tanxlim
xk 因为
2x 0(kZ), 所以x0和xk(kZ) 是第一类间断点且是可tanx2
去间断点.
令y|x01, 则函数在x0处成为连续的; 令xk 时, y0, 则函数在xk处成为连续的. 22
11在x0处无定义, 所以x0是函数ycos2的间断点. 又因为xx (3)因为函数ycos2
1limcos2不存在, 所以x0是函数的第二类间断点. x0x
f(x)lim(x1)0limf(x)lim(3x)2, 所以x1是函数的第一类不可去间断 (4)因为limx1x1x1x1
点.
1x2n
x的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 3. 讨论函数f(x)limn1x2n
x |x|11x2nx0 |x|1. 解 f(x)limn1x2nx |x|1
在分段点x1处, 因为limf(x)lim(x)1, limf(x)limx1, 所以x1为函数的x1x1x1x1第一类不可去间断点.
f(x)limx1, limf(x)lim(x)1, 所以x1为函数的第一类 在分段点x1处, 因为limx1x1x1x1
不可去间断点.
4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0.
证明 不妨设f(x0)>0. 因为f(x)在x0连续, 所以limf(x)f(x0)0, 由极限的局部保号性定理, xx0存在x0的某一去心邻域U(x0), 使当xU(x0)时f(x)>0, 从而当xU(x0)时, f(x)>0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0.
5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:
11 (1)x0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 2n
(2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续;
(3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数f(x)csc(x)csc11在点x0, 1, 2, , , n, , 处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.
解(2)函数f(x)1
1
解(3)函数f(x)x
x
x2nxQxQ在R上处处不连续, 但|f(x)|1在R上处处连续. xQxQ在R上处处有定义, 它只在x0处连续.