费米狄拉克分布
物理实验 第 20 卷 第 10 期 7
费米-狄拉克分布的实验验证 X
鲁从勖 程向明 李 正
( 西安交通大学理学院实验物理中心 710049)
摘 要 通过理论推导, 用理想二极管外加磁场的方法, 验证了真空中热电子发射的电子动能分布也符合费米-狄拉克分布. 使量子统计学中的费米-狄拉克分布得到了推广. 经过适当的数据处理, 使复杂的微观量较容易地通过宏观量得以测量.
关键词 费米-狄拉克分布 费米能级 理想二极管
1 理论分析
在金属内部电子的能量遵从费米-狄拉克分布, 费米分布函数为
g ( E ) =( 1)
〔E E 〕 exp ( - f ) / kT + 1 式中E 是电子的能量, E f 是费米能级, k 是玻尔
兹曼常量, T 是K 氏温度. 对 g ( E ) 求导得
f g ′( E ) = = kT { e x p 〔( E - E f ) / kT 〕+ 1} 2 d E
( 2)
g ( E ) , g ′( E ) 的理论曲线如图 1 和图 2 所示.
E k = E - A ( 3)
另外, 电子脱离金属之后, 不再受到金属内部其他带电粒子的影响, E f 应该为零, 但由于真空与金属表面接触处, 存在有电子气形成的偶电层, 而该偶电层所产生的电位降的值为 E f / e . 也就 是说这个偶电层的势垒值, 等于该温度下的费
〔1〕
米能级 f . E
图 2
考虑到这两个因素之后, 我们可得出: 真空中热电子发射的电子在刚脱离金属表面后的动 能
图 1
分布应该遵从修正后的费米分布函数, 即 g ( E k ) =
对( 4) 式求导得
k g ′( E k ) =
d E k
由于无法直接测量金属内部电子能量的分 布, 我们对真空中热电子发射的电子动能分布
进行了测量. 电子在金属内部的运动与电子刚 脱离金属发射到真空中的运动条件是完全不相同的. 由于电子逸出金属表面时, 要消耗一部分 能量用作逸出功, 因此从金属内部电子的能量 E 减去其逸出功 A , 即可得到真空中热电子发射的动能 E k
ex p ( k - 1 f ) / kT 〕+
( 4)
k f
=2
kT { ex p〔( E k - E f ) / kT 〕+ 1}
( 5)
从( 4) , ( 5) 两式看出, 真空中热电子发射的电子动能分布规律, 与金属内部电子按能量分布的规律完全相同, 都遵从费米-狄拉克分布.
X 创刊 20 周年征文
8
物理实验 第 20 卷 第 10 期
2 实验方法及数据处理
用螺线管套在理想二极管的外面, 通以直流电流, 在理想二极管不加阳极电压的情况下, 直接测量阳极电流的变化情况. 其电路如图 3 所示.
由于理想二极管的特殊结构, 从灯丝发射出的电子沿半径方向飞向二极管的阳极. 因为阳极电压等于零, 所以电子不受外电场力的作用, 而保持着从金属表面逸出时的初动能, 飞向阳极形成饱和阳极电流. 因为电子从金属表面逸出时的初动能各不相同, 如何将它们按相等的动能间隔区分开来, 并且求出电子数目的相对值, 便成为该实验的关键.
( 8) 式中 L 0 是真空中的磁导率, N 是螺线管的总匝数, L 和 D 分别是螺线管的长度和直径, I B 是通过螺线管的电流强度. 将( 7) , ( 8) 式代入( 6) 式得真空中电子的动能为
m L mv 2 2 0 N R
E k = B ( 9)
= 2( L + D ) I 2 由图 4 可看出, 若 R 大于 d / 4( d 是圆柱面 阳极的直径) , 电子就能到达阳极, 形成阳极电流. 若 R 小于 d / 4, 电子就不能到达阳极, 这一部分电子对阳极电流无贡献. 可见电子作匀速圆周运动的半径( 决定于 I B ) 直接影响阳极电流的大小. 将 R = d / 4 代入( 9) 式得
E k = K I B 2 ( 10)
其中
K = 为一常量.
2
2
图 3
由图 3
可知
, 从理想二极管发射出的电子,
沿半径方向飞向二极管的阳极, 在螺线管所产
图 4
生的磁感应强度 B 的作用下, 电子将受到洛伦
可见真空中热电子发射的电子动能与螺线管
兹力 F = ev ×B , 而作匀速圆周运动, 洛伦兹力
中的电流强度的平方成正比, 而洛伦兹力不改
是向心力. 由于 v ⊥B , 洛伦兹力可用标积表示
变电子的动能, 它只影响电子作匀速圆周运动
f L = Bev = mv 2/ R ( 6)
的半径大小. 对于动能一定的电子, 向心力越大
式中 v 是电子在二极管的半径方向的速度, 或
匀速圆周运动的半径越小. 当动能增加 $ Ek 时,
者电子的速度在半径方向上的分量为
将有相应数量的电子, 因其圆周运动的半径
( 7) v = 小于 d / 4 而不能到达阳极, 所以阳极电流将减
m
小$ I P . 又因为 E k 与 I B 2 成正比, 所以可以用 I B 2
( 7) 式中 R 是电子作匀速圆周运动的半径, m
代替变量 E k 进行实验及数据处理. 是电子的质量, B 是螺线管中间部分的磁感应
实验中, 设灯丝电流稳定不变, 阳极电压等
强度, 其表达式为
于零, 理想二极管的阳极饱和电流为 0B
B = ( 8) 2 2 ( 11) I P 0 = n 0e L + D
物理实验 第 20 卷 第 10 期 9
式中的 n 0 以及下面的 n 1, n 2 , n 3 , 均为单位时
2
间内到达阳极的电子数目. 当 I B 以相等的改 变量依次增加下去, 将得到一组方程
I P 1 = n 1 e I P 2 = n 2 e
由( 11) , ( 12)
$ I P = I P 0 - I P = ( n 0 - n 1 ) e = $ n 1e 1 1
= I P 1 - I P $ I P = ( n 1 - n 2 ) e = $ n 2e ( 13) 2 2
方程组( 13) 中各式除( 11) 式得
$ I P / I P = $ n 1 / n 0
1 2
0 0
$ I P / I P = $ n 2 / n 0
( 12)
( 15)
为了适应理论上的要求, 在操作上我们事先选好 I B 2 的值, 使其等间隔的增加, 然后以其平方根的值, 作为实际测量时的电流值, 进行实 验测量.
3 实验结果与讨论
实验数据见表 1. 以 I P / I P 为 Y 轴, I B 2 的
i
( 12) 中各式除( 11) 式得
I P 1/ I P 0 = n 1/ n 0 I P 2/ I P 0 = n 2/ n 0
( 14)
值为 X 轴, 作图可得到费米分布函数 g ( E k ) ～E k 的曲线, 如图 5 所示. 以 $I P / I P 为 Y 轴, 相应 i 0
2 的 ( E k ) ～E k 的I B 的值为 X 轴, 作图可得到 g ′曲线图和直方图, 如图 6 所示.
表 1 一组实验数据
射的电子能量的最可几值在 1/ 2 附近, 且与理
论相符. 而且在g ( E k ) = 1/ 2 处所对应的 E k 应该是该材料在实验温度下的费米能级. 本实验所测钨的费米能级 f = 2. 06e V . ( 下转 12 页) E
经多次测量重复性较好. 从实验得到的两
条费米统计分布曲线与理论曲线相一致. 归一化的程度也较高, 实验值为 0. 996, 误差只有 0. 4%. 从两条实验曲线上都可看出: 热电子发
12
物理实验 第 20 卷 第 10 期
′
未修正前的测量值计算出的 E 0 随间距 d 的增
加而增加. 说明当平行板的实际电容量较大而分布电容又较小时, 分布电容的影响较小. 随平行板实际电容量的减少, 分布电容的影响则越显突出.
面提到的数据取值范围是一致的. 以上分析还证实, 在保持接线分布不变的情况下, 测量过程中, 只改变平行板电容器的间距 d , 可近似认为分布电容为一常量.
为保证测量数据准确, 实验中还应注意接线长度应尽可能短, 并在测量过程中保持布线位置不变, 以减小分布电容的变化所带来的影响. 在用交流电桥测量电容的过程中, 手不能接触电容的任何部位, 人体也应尽量远离电容, 以减少人体感应所引起的误差. 图 1 的实验装置与交流电桥配合还可以用来测量固体电介质的 介
2〕
电系数〔. 4 参考文献
1 T y ler F. A labo rato ry manual o f phy sics. Edw ard
A rno ld L imit ed, 1977. 107～ 108 2 王良才等 . 介电系数的测量 . 物理实验, 1988, 8
( 3) ∶110
( 2000-01-31 收稿, 2000-07-14 收修改稿)
图 2
其次, 可以看出, 由平行板电容修正后的测
量值计算的电容率 E 0 , 在 d 小于 2mm ( 或D / d 大于 50) 时基本上为一常量. 当 d 大于 2mm ( 或D / d 小于 50) 时, 由于边缘效应的影响, E 0 渐渐远离公认值, 这既符合电磁学理论, 也与上
( 上接 9 页)
图 5 图 6
2 黄昆, 谢希德 . 半导体物理学 . 北京: 科学出版社,
1958
3 梅逸 J 等 . 统计力学 . 北京: 高等教育出版社,
1957
4 参考文献
1
基泰尔 . 固体物理学导论 . 北京: 科学出版社, 1979
( 2000-07-03 收稿
)