动点问题(含答案)
动点问题
一、选择题:
1. 如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )A
D
P
y
B
DC
E
O
49
x
P
A
A、10 B、16 C、18 D、20
二、填空题:
1. 如上右图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
三、解答题:
1.(2008年大连)如图12,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A = 90°,CD = 3,AD = 4,tanB = 2,过点C作CH⊥AB,垂足为H.点P为线段AD上一动点,直线PM∥AB,交BC、CH于点M、Q.以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN,直线MN交直线AB于点E,直线PN交直线AB于点F.设PD的长为x,EF的长为y. ⑴求PM的长(用x表示);
⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图13为备用图); ⑶当点E在线段AH上时,求x的取值范围(图14为备用图).
B
MC
H
D
图 12
A
B
C
H
D
图 13
B
C
H
D
图 14
A
2.(2008年福建宁德)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒0<x<8,△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米. ⑴求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象;
⑵如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长;
⑶在图2中,点G是x轴正半轴上一点(0<OG<6=,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2于点E、F.
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义; ②当0<x<6时,求线段EF长的最大值.
C Q→ B
图1
图2
3.(2008年白银)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒). ..(1) 点A的坐标是__________,点C的坐标是__________; (2) 当秒或MN=
1
AC; 2
(3) 设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由.
参考答案
一、选择 A
二、填空:(1)(2)(3)(5) 三、解答:
2、解:⑴∵SDCQ
∴y1
1
CQCD,CD=3,CQ=x, 2
3x. 2
图象如图所示.
1
CQCP,CP=8k-xk,CQ=x, 2
112
∴y28kkxxkx4kx.
22
⑵方法一:SPCQ
∵抛物线顶点坐标是(4,12),
1
k424k412. 2
3
解得k.
2
3
则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.
2
∴
方法二:观察图象知,当x=4时,△PCQ面积为12. 此时PC=AC-AP=8k-4k=4k,CQ=4.
14k43
12.解得k. ∴由SPCQCQCP,得
222
3
则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.
2
方法三:设y2的图象所在抛物线的解析式是yaxbxc. ∵图象过(0,0),(4,12),(8,0),
2
3a,c0,4
∴16a4bc12, 解得 b6, 64a8bc0.c0.
32
∴y2x6x. ①
41
∵SPCQCQCP,CP=8k-xk,CQ=x,
212
∴y2kx4kx. ②
2
3
比较①②得k.
23
则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米.
2
⑶①观察图象,知
线段的长EF=y2-y1,表示△PCQ与△DCQ的面积差(或△PDQ面积). ②由⑵得 y2∵EF=y2-y1, ∴EF=
321333
x6x.(方法二,y28xxx26x) 42224
32339
x6xxx2x,
4242
∵二次项系数小于0,
<x<6范围,当x3时,EF∴在0
27
最大. 4
3、解:(1)(4,0),(0,3); ··············································································· 2分 (2) 2,6; ···················································································································· 4分 (3) 当0<t≤4时,OM=t. 由△OMN∽△OAC,得∴ ON=
OMON
, OAOC
33
t,S=t2. ········································· 6分 48
当4<t<8时,
如图,∵ OD=t,∴ AD= t-4. 方法一:
33
(t4),∴ BM=6-t. ··································· 7分 444
由△BMN∽△BAC,可得BN=BM=8-t,∴ CN=t-4. ·········································· 8分
3
由△DAM∽△AOC,可得AM=
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
3133
(t4)-(8-t)(6-t)-(t4) 222432
=t3t. ······································································································ 10分
8
=12-方法二:
易知四边形ADNC是平行四边形,∴ CN=AD=t-4,BN=8-t. ······································· 7分 由△BMN∽△BAC,可得BM=以下同方法一. (4) 有最大值.
方法一: 当0<t≤4时,
333
BN=6-t,∴ AM=(t4). ······················· 8分 444
32
t的开口向上,在对称轴t=0的右边, S随t的增大而增大, 8
32
∴ 当t=4时,S可取到最大值4=6; ······················································· 11分
8
∵ 抛物线S=当4<t<8时, ∵ 抛物线S=
32
t3t的开口向下,它的顶点是(4,6),∴ S<6. 8
综上,当t=4时,S有最大值6. ·············································································· 12分 方法二:
32
t,0t≤48
∵ S=
3t23t,4t88
∴ 当0<t<8时,画出S与t的函数关系图像,如图所示. ·································· 11分 显然,当t=4时,S有最大值6. ·········································································· 12分
说明:只有当第(3)问解答正确时,第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤,可给1分;否则,不给分.