江苏省 历年高考中的函数题型

2011年函数

2、函数f (x ) =log 5(2x +1) 的单调增区间是．

8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x ) =

2

的图象交于P 、x

Q 两点，则线段PQ 长的最小值是．

2012函数

5

、函数f (x ) 的定义域为．

【答案】0。

1]上， 10、设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，

(

-1≤x

⎪

f (x ) =⎨bx +2b ∈R ．若其中a ，

，0≤x ≤1，⎪⎩x +1

则a +3b 的值为 ▲ ．【答案】-10。

⎛1⎫⎛3⎫

f ⎪=f ⎪， ⎝2⎭⎝2⎭

+∞) ，若关于x 的不等式f (x )

2013函数

11．已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数。当x >0时，f (x ) =x 2-4x ，则不等式f (x ) >x

的解集用区间表示为 ．

【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)

2014年函数

m +1]，都有f (x )

取值范围是 ．

⎛⎫0⎪ 【答案】 ⎝⎭

3) 时，f (x ) =x 2-2x +1．若函13．已知f (x ) 是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，

数y =f (x ) -a 在区间[-3，4]上有10个零点(互不相同) ，则实数a 的取值范围是 ．

1 【答案】0

2014高考

()

19．(本小题满分16分) 已知函数f (x ) =e x +e -x 其中e 是自然对数的底数． （1）证明：f (x ) 是R 上的偶函数；

+∞) 上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的不等式mf (x ) ≤e -x +m -1在(0，

+∞) ，（3）已知正数a 满足：存在x 0∈[1，使得f (x 0)

的大小，并证明你的结论．

答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想

方法分析与解决问题的能力. 满分16分.

（1）∀x ∈R ，f (-x ) =e -x +e x =f (x ) ，∴f (x ) 是R 上的偶函数 （2）由题意，m (e-x +e x ) ≤e -x +m -1，即m (ex +e -x -1) ≤e -x -1

-x

e -1对x ∈(0，+∞) ，∴e +e -1>0，即m ≤x +∞) 恒成立 ∵x ∈(0，

e +e -x -1

x

-x

+∞) 恒成立 令t =e x (t >1) ，则m ≤21-t 对任意t ∈(1，

t -t +1

t -11∵21-t =-=-≥-1，当且仅当t =2时等号成立 2

t -1++1

∴m ≤-1

3

+∞) 上单调增 （3）f '(x ) =e x -e -x ，当x >1时f '(x ) >0，∴f (x ) 在(1，

令h (x ) =a (-x 3+3x ) ，h '(x ) =-3ax (x -1)

x >1，∴h '(x ) 0，

+∞) ，使得f (x 0) 1e +1 ∵存在x 0∈[1，

e 2e

()

∵ln a a -1=ln a e -1-ln e a -1=(e-1)ln a -a +1

e-1

设m (a ) =(e-1)ln a -a +1，则m '(a ) =e -1-1=e -1-a ，a >1e +1

当1e +10，m (a ) 单调增；

2e 当a >e -1时，m '(a )

()

()

∴当a >e 时，m (a )

2013年江苏高考

20．（本小题满分16分）

设函数f (x ) =ln x -ax ，g (x ) =e -ax ，其中a 为实数．

x

()

（1）若f (x ) 在(1, +∞) 上是单调减函数，且g (x ) 在(1, +∞) 上有最小值，求a 的取值范围； （2）若g (x ) 在(-1, +∞) 上是单调增函数，试求f (x ) 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）f '(x ) =

故：a ≥1．

11

-a ≤0在(1, +∞) 上恒成立，则a ≥，x ∈(1，+∞) ．

x x

g '(x ) =e x -a ，

若1≤a ≤e ，则g '(x ) =e x -a ≥0在(1, +∞) 上恒成立，

此时，g (x ) =e x -ax 在(1, +∞) 上是单调增函数，无最小值，不合；

若a ＞e ，则g (x ) =e x -ax 在(1，ln a ) 上是单调减函数，在(lna ，+∞) 上是单调增函数，g min (x ) =g (ln a ) ，满足． 故a 的取值范围为：a ＞e ．

（2）g '(x ) =e x -a ≥0在(-1, +∞) 上恒成立，则a ≤e x ，

1

故：a ≤．

e

f '(x ) =

11-ax -a =x x

(x >0) ．

11

(ⅰ) 若0＜a ≤ ，令f '(x ) ＞0得增区间为(0) ；

e a 1

令f '(x ) ＜0得减区间为( ，﹢∞) ．

a

当x →0时，f (x ) →﹣∞；当x →﹢∞时，f (x ) →﹣∞； 111

当x ＝时，f () ＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝时取等号．

a a e 11

故：当a ＝时，f (x ) 有1个零点；当0＜a ＜ 时，f (x ) 有2个零点．

e e (ⅱ) 若a ＝0，则f (x ) ＝﹣ln x ，易得f (x ) 有1个零点． (ⅲ) 若a ＜0，则f '(x ) =

1

-a >0在(0，+∞) 上恒成立， x

即：f (x ) =ln x -ax 在(0，+∞) 上是单调增函数， 当x →0时，f (x ) →﹣∞；当x →﹢∞时，f (x ) →﹢∞． 此时，f (x ) 有1个零点．

11

综上所述：当a ＝ 或a ＜0时，f (x ) 有1个零点；当0＜a ＜时，f (x ) 有2个零点．

e e

2012江苏高考

18．（2012年江苏省16分）若函数y =f (x ) 在x =x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y =f (x ) 的极值点。

已知a ，b 是实数，1和-1是函数f (x ) =x 3+ax 2+bx 的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数g (x ) 的导函数g '(x ) =f (x ) +2，求g (x ) 的极值点；

2]，求函数y =h (x ) 的零点个数． （3）设h (x ) =f (f (x )) -c ，其中c ∈[-2，

【答案】解：（1）由f (x ) =x 3+ax 2+bx ，得f' (x ) =3x 2+2ax +b 。 ∵1和-1是函数f (x ) =x 3+ax 2+bx 的两个极值点，

∴ f' (1)=3+2a +b =0，f' (-1) =3-2a +b =0，解得a =0，b =-3。 （2）∵ 由（1）得，f (x ) =x 3-3x ，

∴g '(x ) =f (x ) +2=x 3-3x +2=(x -1)(x +2)，解得x 1=x 2=1，x 3=-2。 ∵当x 0， ∴x =-2是g (x ) 的极值点。

∵当-21时，g '(x )>0，∴ x =1不是g (x ) 的极值点。 ∴g (x ) 的极值点是－2。

（3）令f (x )=t ，则h (x ) =f (t ) -c 。

先讨论关于x 的方程f (x )=d 根的情况：d ∈[-2, 2]

当d =2时，由（2 ）可知，f (x )=-2的两个不同的根为I 和一2 ，注意

到f (x ) 是奇函数，∴f (x )=2的两个不同的根为一和2。

当

2

d 0，

f (1)-d =f (-2) -d =-2-d

∴一2 , －1，1 ，2 都不是f (x )=d 的根。 由（1）知f' (x )=3(x +1)(x -1)。

① 当x ∈(2，+∞)时，f ' (x ) >0 ，于是f (x ) 是单调增函数，从而

f (x ) >f (2) =。2

此时f (x )=d 在(2，+∞)无实根。

② 当x ∈(1 2，)时．f' (x ) >0，于是f (x ) 是单调增函数。

又∵f (1)-d 0，y =f (x ) -d 的图象不间断， ∴f (x )=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，f (x )=d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当x ∈(-1 ，1)时，f' (x ) 0， f (1)-d

因此，当d =2时，f (x )=d 有两个不同的根x 1，x 2满足x 1=1 x 2=2；当

d

f (x )=d 有三个不同的根x 3，x 1，x 5，满足x i

现考虑函数y =h (x ) 的零点：

( i ）当c =2时，f (t )=c 有两个根t 1，t 2，满足t 1=t 2=2。

而f (x )=t 1有三个不同的根，f (x )=t 2有两个不同的根，故y =h (x ) 有5 个

零点。

( 11 ）当c

, 5t i

而f (x ) =t i (i =3, 4, 5)有三个不同的根，故y =h (x ) 有9 个零点。 综上所述，当c =2时，函数y =h (x ) 有5 个零点；当c

有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出y =f (x ) 的导数，根据1和-1是函数y =f (x ) 的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，f (x ) =x 3-3x ，求出g '(x ) ，令g '(x )=0，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分d =2和d

2011年江苏高考

19．（本小题满分16分）

2

已知a , b 是实数，函数f (x ) =x +ax ，g (x ) =x +bx ，f '(x ) 和g '(x ) 是f (x ) 和

3

g (x ) 的导函数．若f '(x ) g '(x ) ≥0在区间I 上恒成立，则称f (x ) 和g (x ) 在区间I 上

单调性一致．

（1）设a >0，若f (x ) 和g (x ) 在区间[-1, +∞) 上单调性一致，求实数b 的取值范围；

（2）设a

|a -b |的最大值．