最新波利亚解题论文.doc

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摘 要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 关键词„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 Abstract „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 Key Words„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 引 言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5

1．怎么样解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5

1.1弄清问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6

1.2拟定计划„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6

1.3实现计划„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6

1.4回顾„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6

2．解题的实践„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7

2.1弄清问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 7

2.2明白怎么样解决问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7

2.3解决问题的具体实现„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8

2.4验证问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 8

3． 波利亚的解题观念„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9

3.1程序化的解题系统„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9

3.2启发式的过程分析„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10

3.3开放型的念头诱发„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10

3.4探索性的问题转换„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11

4． 波利亚的数学教育观„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11

4.1主动学习原则„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12

4.2最佳动机原则„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12

4.3循序渐进原则„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12

4.4波利亚给数学老师的“十条建议” „„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13

浅谈波利亚解题理论

学生姓名：杨静 学号：[1**********]

数学与计算机科学系 数学与应用数学专业

指导教师：张伯平 职称：教授

摘 要：为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，G . 波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书，改变数学一直以来在人们心目中枯燥无味的形象。这本书的核心是他分析解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，是整本书的精华部分。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，即：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。如果能在平时的解题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”

波利亚毕生从事数学研究和数学教学工作，他一生发表了200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣。人们从不同的角度阐述了波利亚解题理论的内在核心和具体体现，归结成四个要点：程序化的解题系统、启发式的过程分析、开放型的念头诱发、探索性的问题转换。给人们处理数学问题提供了一个合理的框架。

在数学教育过程中，波利亚形成了自己的数学教育观。认为教师在教学时，要遵循学习过程的三个原则，即：主动学习，最佳动机，循序渐进。如果能把以上三项原则贯彻到教师的日常工作中，那么会使老师在今后的教育道路上彰显数学魅力。

关键词： 波利亚；解题观念；数学教育观

In order to answer "a good solution how to think out of this perplexing question, G. Abstract ：

The Polya specializes in the thinking process of problem solving and research written in a book of" how to solve problem, change the mathematics has beensince the dull image in people's minds. The core of this book is his analysis of the problem-solving thought process of a "how to solve problem" table is the essence of the whole book. Polya "of how to solve problem solving process is divided into four steps, namely: understand the problem, a plan to achieve the plan and review. If you can continue to practice in the usual problem-solving and experience to the table, will be able soon to issue and Polya sigh: "Learning mathematics is a pleasure!"

Polya his life engaged in mathematical research and mathematics teaching, his life and published over 200 papers and monographs, his deep knowledge in the broad areas of mathematics. People from different perspectives described the inner core and a concrete manifestation of the Polya problem solving theory can be summarized into four points: procedural problem solving system, the heuristic process of analysis, open the idea of induced exploratory problem into . To provide a reasonable framework for people to deal with mathematical problems.

In mathematics education process, Polya concept of mathematics education. That teaching, the teacher should follow the three principles of the learning process, namely: active learning, the best motivation, step by step. If you can above three principles into the daily work of teachers, then make the highlight mathematics teacher education on the road charm.

Key Words：Polya ；Problem-solving theory；Mathematics education concept。

引言

乔治·波利亚(George Polya，1887-1985) 美籍匈牙利数学家。先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读法律、语言、数学、物理和哲学，获布达佩斯大学哲学博士学位，是法国巴黎科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。

“学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。数学学习者大多都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”作为数学教授的波利亚为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他很早就开始探索数学中的发明创造，利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，直到1944年才发展为名著《怎样解题》一书。该书出版后，被译成多种文字，直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典，波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜，在全世界广为流传。

《怎样解题》这本书的核心是波利亚自己分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，达到“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”的结果。

波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。

波利亚的《怎样解题》被译成17种文字，仅平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。

1. 怎么样解题

波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”在这部《怎样解题》著作中，波利亚用简明扼要用一张“怎样解题”表呈现了在解决数学问题是的思维过程，“慢镜头”式让我们在渐进的理解下搞定数学题。

“怎样解题”表的呈现

1.1弄清问题

1.2拟定计划

1.3实现计划

1.4回顾

从以上几步看来，弄清问题的本质就是对题目中出现的信息进行深加工；制订计划的关键是将条件与结论进行沟通；实现计划的过程是选择合理、简捷的解法；回顾是检验每一个步骤，力求解答简捷、完整。在开展整个数学解题过程的时候，弄清问题要慎之又慎；拟定计划要盯着未知数，方法取决于目的；实现计划要善于转化；回顾要到位，温故而知新，再思则明。

“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性。不仅适用于不能独立解题的人，而且更适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科。

下面是实践波利亚解题表的一个示例，借以展示波利亚解题风格的心路历程。

2. 解题的实践

例1 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下图）。由于地形限制，长、宽都不能超过16米。如果池周围四壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁厚度不计。试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

2.1弄清问题．

问题1．你要求解的是什么?

本题说的是拟建一个三级污水处理池，怎样设计长和宽，使总造价最低的问题。由题意可知，关键信息应是各部分造价的计算。我们象征性地用平面图形表示这个处理池。

问题2．你有些什么?

⑴污水处理池矩形的面积：200m 2; ⑵池底建造单价：80元/m2; ⑶污水处理池矩形的长和宽：不超过去16m; ⑷池四周围壁的建造单价：400元/m;⑸中间两道隔墙建造单价248/m;⑹总造价。这个问题中涉及到6个量，分别如上。（在做题时，在草纸上把这些量记录下来，以便于分析）。由上面的记录可知：矩形池的长和宽、总造价是未知量。可设出矩形的长为x m,总造价为Q(x)元

.

2.2明白怎么样解决问题

问题3．怎样才能求得最低造价?

在这一步的时候，我们就是考虑怎样把实际问题，转化成数学问题。在上一步，我们分析出了问题中涉及到的量，现在进一步研究各个量之间的关系，进行数学化设计，建立数学模型。本题我们不难得到矩形池的长、宽和面积的关系。设长为x m, 则

200宽为() m. 再由题意可知，总造价由三部分组成：①围壁的造价=围壁建造单价×x

200围壁的长度，即为400×(2x+2×) 元；②两道隔墙的造价=隔墙的单价×隔墙的x

200长度，即为(248×2×) 元；③池底的造价=池底建造单价 x

×池底面积，即为80×200 元。而总造价=围壁的造价+两道隔墙的造价＋池底的

造价。我们把这些自然语言转译成数学语言，即可得

200200Ｑ(x)= 400×(2x+2×)+ 248×2×+80×200 x x

324 =800×(x +)+16000. x

至此，我们得到了矩形的长x 与总造价Q(x)之间的函数关系，函数模型建立起来了。

2.3解决问题的具体实现

实施计划是对已建立起来的数学模型用数学方法求解的过程。本题要求污水池的长和宽，使总造价最低。虽然是两个问，但我们要抓住问题的主要方面，即求最低造价。相应地矩形的长和宽亦可求出了。那么，现在问题就转化为求函数Q(x)的最小值。有同学是这样做的：

324Q(x) =800×(x +)+16000 x

324≥800×x +16000 x

324(x>0),即当x=18时，上式等号成立。 x

这位同学的解答是错误的，是同学当中普遍存在的错误。这些同学只注意了题目形式上的特点：符合用均值不等式求最值的形式。而忽略了用均值不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。由题意知，

0

2525∴函数Q(x)的定义域为[，16]，而18∉[，16]，所以Q(x)取不到最小值44800。 22

错误的原因在于两个方面：一是思维方面的原因，受思维定势的影响，产生了负迁移。另一方面是解题上的疏漏，没有求出函数Q(x)的定义域。

那么如何来求函数Q(x)的最小值呢？有的同学注意到这是求函数在闭区间上最

25值，提出是否可以考虑函数Q(x)在[，16]上的单调性。作为尝试，我请同学们用2

2525函数单调性定义判断函数Q(x) 在[，16]上的单调性。同学们判断出Q(x) 在[，22

16]上是减函数，从而求得当x=16 m，宽为12.5 m时，Q(x)min=45000 元。

本题求解完成。

2.4验证问题．

①对解题的每一步进行检验，包括对数学模型的求解和结论是否符合问题的实当且仅当x =

际。比如本题，在利用均值不等式求函数Q(x)的最小值时，x=18与x ∈[25，16]的2实际相矛盾，所以解法有误，因此我们有必要对求解进行检验。

②反思对信息是如何加工的，深化解题方法；

③反思这个问题涉及到哪些知识点，这些知识点是否熟练掌握了，还有哪些欠缺？ ④解决这个问题用了什么数学思想方法？

⑤这个问题还有没有其它的解法，哪一种更简洁，哪一种是通法？培养学生的发散思维和创造性。我们在解题时，应和学生的思维特点联系起来，寻求通法，少用特殊技巧。例如本题只要对Q(x)作分析处理，就可用均值不等式和缩小技巧来求Q(x)的最小值。

25668Q(x)=800×[(x +)+]+16000 x x

25668 ≥800×[2×x +]+16000 16x

=45000 256，即x =16时，Q(x)min=45000. x

虽然这种解法简洁，但技巧性强，因此建议用第一种解法，它是通法。

⑥能否把这个问题加以引申推广？⑦能否把这种方法用于其它的问题？

作为知识、方法的迁移和强化，可给出下面这道题。

（97’GK）甲乙两地相距Ｓkm, 汽车从甲地匀速行驶到乙地。速度不得超过Ｃkm/h。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度V （km/h） 的平方成正比，比例系数为b, 固定部分为a 元。

（1） 把全程运输成本y(元) 表示为速度V(km/h)的函数，并指出这个函数的定义

域；

（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

这道题跟上面的例题运用的知识是一样的，同样用四个步骤解题。

当且仅当x =

3. 波利亚的解题思想

对于波利亚的解题表及有关著作，人们从不同的角度阐述了波利亚解题思想的本质、真谛、核心等。我们归结为4个要点：程序化的解题系统、启发式的过程分析、开放型的念头诱发、探索性的问题转换。

3.1程序化的解题系统

怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，设计了一个4步骤的程序——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完善的解题教学系统。

就如波利亚本人所指出的，这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成。我们在实施计划时，要考虑它是什么样

的数学问题，在自己的信息块中提取相关的信息，进行模式识别，逐渐把未知转化为已知；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程. 我们在分析题意时，要对背景信息进行深加工，而不能只停留在问题的表面。要善于从数学的思维角度去分析题意，抽象出题目所提供的信息中的各种量和数值, 这一步是成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容．

“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等) ；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化方法，一般化方法，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．

于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体

3.2启发式的过程分析

就“问题解决“的现代研究而言，波利亚关于数学启发法的研究无疑具有特别的重要性，他在这方面的工作被看成“问题解决”现代研究的直接先驱。

波利亚本人在《怎样解题》一书的序言中说过：“作者还记得自己的学生时代，那时他是一个有雄心的学生，渴望去弄懂数学和物理。他听课、读书，尝试去了解所提出的种种解答与事实，但有一个问题却一再使他感到困扰，这就是：‘是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢？是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实的？而且我自己怎样才能想出或发现它们呢？’

由此可见，按照波利亚的这段自述，我们可以清楚的知道波利亚是相当重视“数学启发法“的。他所要进行的工作正是，剖析解题的思维过程，通过了解解题过程来研究“发现和发明的方法和规则”。波利亚问“怎样才能想出这样的解答呢？”“我自己怎样才能想出或发现它们呢？”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律。

3.3开放型的念头诱发

在平时的解题过程中，可能会出现这样的一种现象，即：有的人想到了一个有用的念头，跳过所有的预备步骤，直接得到答案。如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即数学学习者通过上述4阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头”。波利亚强调指出：“老师为学生所做的最多的好事是通