总复习----圆的有关概念和性质

第七章第十八讲圆一、中考考试说明 1．理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的定义；了解弧、弦、圆心角的关系. 2． 了解圆的对称性， 垂径定理以及圆周角与圆心角的关系.直径所对的圆周角 的特征. 3．了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 4．了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的 概念. 5．了解切线的概念，切线与过切点的半径之间的关系，掌握识别切线的方法. 6．了解切线长及切线长定理，会过圆上一点画圆的切线. 二、自主学习 知识梳理：读书完成下列内容 静态 定义 动态 轴对称性→垂径定理 圆的认识 圆心角、弦、弧之间的关系 旋转不变性 圆周角与圆心角的关系 三角形的外接圆与内切圆的画法 点在圆内→ 点与圆的位置关系 点在圆上→ 点在圆外→ 直线与圆相离→ 直线与圆的位置关系 直线与圆相切→ 直线与圆相交→ 与圆有关的 性质 圆 位置关系 切线 判定切线长定理 弧长公式： 与圆有关的计算 扇形面积公式 第一 单元 圆的有关概念和性质 一：读书回顾（考点详解） 1．与圆的有关概念 （1）圆的定义： （2）圆的有关概念： 《1》弦： 《2》 ：直径：2：圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是 （2）圆具有旋转不变性，即 圆是中心对称图形，其对称中心为 3 垂径定理 （1） ：垂径定理： （2） ：推论： 4．弧、弦、圆心角的关系 （1） ：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 （2） ：推论：5．与圆有关的角 （1） ：定义:《1》圆心角： 《2》圆周角： 性质： 圆心角的度数等于 一条弧所对的圆周角等于 同弧或等弧所对的圆周角 ； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦 6．三角形的外接圆与内切圆 （1）确定圆的条件： （2）三角形的外接圆：定义： 外接圆的圆心是 （3）三角形的内切圆：定义： 内切圆的圆心是；。 ； 交点，叫作三角形的 ；； 的交点， 叫作三角形的内心；二．典型例题 考点一 圆心角与圆周角 1． （2012 河北）如图 2， CD 是 ⊙O 的直径， AB 是弦（不是直径） ， AB  CD 于 点 E ，则下列结论正确的是（ ） 1 A．AE  BE Ｂ．AD  BC Ｃ．∠D  ∠AEC Ｄ．△ ADE ∽△CBE 2(2) (3) 2、2013•内江）如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为（ ） A． cm B． cm C． cm D．4cm3、 （2013•苏州）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，∠ABC=50°， 则∠DAB 等于（ ） 55° A ． 4、 （2013•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦 AB⊥CD 于 F，连接 BC，DB，则下列 结论错误的是（ ） A． B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90° B．60° C．65° D． 70°5、 （2013•宁波）如图，AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4 OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 ．，弦 CD=DE=4，连结6. （ 2014 珠海） 如图， 线段 AB 是⊙O 的直径， 弦 CD 丄 AB， ∠CAB=20°， 则∠AOD 等于（ A．160° ） B．150° C．140° D．120°7. 已知：⊙O 的弦 AB 把⊙O 分成 1：3 两部分，则弦 AB 所对的圆周角的∠ACB 是 度8.如图，点 A、B、P 在⊙O 上，点 P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有 符合条件的点 P 有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 考点二 垂径定理及其推论 1. 如图，圆弧形桥拱的跨度 AB＝12 米，拱高 CD＝4 米， 则拱桥的半径为（ A.6.5 米 ） ． B.9 米 C.13 米 D.15 米1 题图2.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 （ ）A．2cm B． 3 cm C． 2 3 cmD． 2 5 cm第 2 题图3、 （2013•嘉兴）如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，连结 EC．若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（ ） A．2 B．8 C．2 D．23 题图 4.（2014•孝感）如图，在半径为 6cm 的⊙O 中，点 A 是劣弧 优弧 上一点，且∠D=30°，下列四个结论： ；③sin∠AOB= ） ；④四边形 ABOC 是菱形． 的中点，点 D 是①OA⊥BC；②BC=6其中正确结论的序号是（A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④5. (2011 江苏)如图，海边有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形 （弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船 P 与 A、 B 的张角∠APB 的最大值为______°．y PC DO A BAOBx(第 5 题)（第 6 题）6. （2011 江苏）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交 y 轴的 正半轴于点 C， D 为第一象限内⊙O 上的一点， 若∠DAB = 20°， 则∠OCD = ____． 7 .已知：⊙O 的半径为 13cm，该圆的弦 AB//CD，且 AB=10cm，CD=24cm ，则 AB 与 CD 之间的距离是多少？（画图）8. 如图： 已知点 A 是半圆一个三等 分点，B 是弧 AN 的中点，点 P 是半 径 ON 上的动点。若⊙O 的半径长为 1，则 AP+BP 的最小值是 。A B OO P N二．能力生成： （一） ：选择题． 1.（2010 河北中考） ．如图 3，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A B A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 MC P Q M 图3 R2.(08 河北)如图 3，已知的⊙0 半径为 5，点 O 到弦 AB 的距离为 3，则⊙0 上 到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3、 （2013•泸州）已知⊙O 的直径 CD=10cm，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M， 且 AB=8cm，则 AC 的长为（ ） A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm 4、 （2013•莱芜） 将半径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后， 圆弧恰好能经过圆心 O， 用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A．B．C．D． 325、 （2013 甘肃）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果 水面 AB 宽为 8cm，水面最深地方的高度为 2cm，则该输水管的半径为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cmC 是⊙0 上的一点， OD  BC 6.． 如图 8，AB 是⊙0 的直径， 若 AC  8 ，AB  10 ， 于点 D ，则 BD 的长为（ ） 3 C． 5cm A． cm B．3cm 2 D． 6cm CAOB图86图7．如图，已知ＡＢ是半圆 O 的直径，弦 AD、BC 相交于点 P，若∠DPB=α ，那么CD 等于（ AB） B．COSα C．tanα D．1 tan A．sinα8 、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该 半圆的半径为（ ） ． A． (4  5) cm B．9 cm C． 4 5 cm D． 6 2 cmC O A B 第 10 题图9．如图， △ ABC 内接于⊙0， C  30 ， AB  2 ，则的⊙0 半径为（ A． 3 B． 2 C． 2 3 D． 4）10、（2011 河北）如图 7，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．二、填空题 1、如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在 格点上，则∠AED 的正切值等于 ．2 、如图，在⊙O 中，∠AOB=60°，AB=3cm，则劣弧 AB 的长为______cmE O D （第 1 题 ）A CB3、 如图， ⊙0 是等边三角形 ABC 的外接圆， ⊙0 的半径为 2， 则等边三角形 ABC 的边长为（ ） A． 3 B． 5 C． 2 3 D． 2 54 、 （2008 年泰州市）若 O 为△ABC 的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC= ° 2 5、如图， AB 是⊙0 的弦， 半径 OA  2 ， sin A  ，则弦 AB 3 的长为 （ ）O A B （5 题图）6、如图，点 P 是半径为 5 的⊙O 内的一点，且 OP＝3，设 AB 是过点 P 的⊙O 内的弦，且 AB⊥OP，则弦 AB 长是________。COCDAO DBB A 图 8ACOE（第 9 题）BD7 题图8 题图7 、 （2007 四川） 如图， 已知 AB 是⊙0 的直径， 弦 CD  AB ，AC  2 2 ，BC  1 ， 那么 sin ABD 的值是 ． 8 ．如图 8，△ABC 内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则 BC 等于 。 9．如图 9， AB 是⊙0 的直径，点 C，D，E 都在 O 上，若∠C  ∠D  ∠E ， 则 ∠A  ∠B  º． 10. （08河南）中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆 ，则 A  B  C  D  E 等于（ A. 360  B. 180  C. 150  ） D. 120 三、解答题 1、 （2013•黔西）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 与点 E，点 P 在⊙O 上， ∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； 3 （2）若 BC=3，sin∠P= ，求⊙O 的直径． 52. 如图 10 所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB  CD 于点 E．连接 AC、 OC、BC． （1）求证：  ACO=  BCD． （2）若 EB= 8cm ，CD= 24cm ，求⊙O 的直径．AO E C B D图 103．如图，已知点 A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD， ∠ADC＝120°，四边形 ABCD 的周长为 10。 ⑴求此圆的半径； A D ⑵求图中阴影部分的面积。B C第 2 题图四：检测 1 （威海市）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，OD∥AC，下列结 论错误的是 A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠DB D O A2 ．如图 9，已知圆心角 BOC  78 ，则圆周角 BAC 的度数是（ A． 156 B． 78 C． 39 D． 12C）CO A D B3、高速公路的隧道和桥梁最多．如图 15 是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分， 路面 AB =10 米， 净高 CD =7 米， 则此圆的半径 OA = （ ） 37 37 A．5 B．7 C． D． 5 7OD  AB ， 4 ． 如图 16 所示，AB 是⊙O 的一条弦， 垂足为 C ， 交于⊙ O 点 D ，点 E 在⊙ O 上．O A B C D 第 8 题图 E（1）若 AOD  52 ，求 DEB 的度数； （2）若 OC  3 ， OA  5 ，求 AB 的长．5、（2011 湖北黄冈）在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧 AD 上一点，BC=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 E． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证 AC•AF=DF•FEM DCFB 第 9 题图AE