7面积问题

面积问题

【知识精讲】

1、求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法： ①有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形； ②“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积．

2、对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积．

3、如果底边与坐标轴的夹角是特殊角，把过顶点的垂线段平移到端点在坐标轴上，则围成一个直角三角形，可求得顶点到该底边的距离，即求得高．

4、已知抛物线的一条弦，在抛物线的闭合部分上找一点使与该弦组成的三角形面积最大，即把弦所在直线平移至与抛物线只有一个交点的情况，解平移后直线与抛物线的解析式联立所得的方程组，此时判别式等于0．

5、底或高不明显，但已知边的关系，可用由面积比为相似比的平方，间接求得． 6、运动过程中所求图形要分情况讨论．

【典型例题】

例题1：2009年芜湖市第24题

，

0) ，B (0，如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (-1

O (0，0) ，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到△A 'B 'O ．

（1）如图，一抛物线经过点A 、B 、B '，求该抛物线解析式；

（2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．

1/10

x

如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－

1

x ＋b 交折线OAB 于点E ． 2

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

变式练习2：2009年益阳市第25题

阅读材料：

如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ) ，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅

1

垂高”(h ). 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC ＝ah ，即三角形面积等于

2

水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4) ，交x 轴于点A (3，0) ，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

9

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）

△CAB ，若存在，求出P

图1

2/10

如图，矩形ABCD 中，AB = 6，AD = 3，点E 在边DC 上，且DE = 4．动点P 从点A 开始沿着A →B →C →E 的路线以2单位/s的速度移动，动点Q 从点A 开始沿着AE 以1单位/s的速度移动，当点Q 移动到点E 时，点P 停止移动．若点P 、Q 从点A 同时出发，设点Q 移动时间为t （s ），P 、Q 两点运动路线与线段PQ 围成的图形面积为S ，求S 与t 的函数关系式．

例题4：2008年广州市第25题

如图，在梯形ABCD 中，AD BC ， AB = AD = DC =2，BC = 4．在等腰∆PQR 中，∠QPR =120，底边QR = 6．点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，且C 、Q 两点重合．如果等腰∆PQR 以1单位长度 / 秒的速度沿直线l 按箭头所示方向匀速运动，

t 秒时梯形ABCD 与等腰∆PQR 重合部分的面积记为S ． （1）当t =4时，求S 的值；

（2）当4≤t ≤10时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

3/10

A D

P

l B C （Q ）R

图12

【真题演练】

1．2009年恩施自治州第24题

如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝10，△ABC 的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设DE ＝x ，以DE 为折线将△ADE 翻折（使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的△A ′ DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． A （1）用x 表示△ADE 的面积；

（2）求出0＜ x ≤5时y 与x 的函数关系式；

E

（3）求出5＜ x ＜10时y 与x 的函数关系式；

（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ A ′

2．2008年丽水市第24题

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x =2与x 轴相交于点

B ，连结OA ，抛物线y =x 2从点O 沿OA 方向平移，与直线x =2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．

（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短？ （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

4/10

专题七参考答案

例题1：

（1）y =-x +1) x

（2）解法一：如图1，∵

P

设P (x ，y ) ，则x >0，y >0．

2

P 点坐标满足y =-x +1) x

．连接PB ，PO ，PB ′

∴S 四边形PBAB ′=S △BAO +S △PBO +S △POB ′

2

=x +y =x +y +1) 图1

2

⎛⎡2

- x x -x +1) x 1⎤=+⎣⎦ ⎢⎝⎭⎥⎣⎦

当x =时，S 四边形PBAB ′最大．此时，y =

12+P 即当动点的坐标为时，S 四边形PBAB ′最大，最大面积为． 8⎝⎭

解法二：如图2，连接BB ′，∵P ∴S 四边形PBAB ′=S △ABB ′+S △PBB ′ ，

且△ABB ′的面积为定值，

∴S 四边形PBAB ′最大时，S △PBB ′必须最大． 而BB ′长度为定值，∴S △PBB ′最大时点P 到BB ′将直线BB ′向上平移到与抛物线有唯一交点时，

P 到BB ′的距离最大．

设与直线BB ′平行的直线l 的解析式为y =-x +m ，

⎧⎪y =-x +m 联立⎨ 2

⎪⎩y =-x +1) x 2

图2

得x +m =0．令∆=2-4(m =0．解得m =此时直线l 的解析式为：y =-x +

3

+ 4

3

代入y =-x 2+1) x + 4

⎧⎪x =⎪2解得⎨，∴直线l 与抛物线唯一交点坐标为P

⎝⎭⎪y =⎪⎩

5/10

设l 与y 轴交于E ，则BE =

33

+=． 44

过B

作BF ⊥l 于F ， 在Rt △BEF 中，∠FEB =45°．BF =过P 作PG ⊥BB ′于G ， 则P 到BB ′的距离d =BF =

3 sin 45°=48

8

此时四边形PBAB ′的面积最大．∴S 四边形PBAB ′的最大值为：

1111 AB ·'OB +BB ·'d =1) =2222例题2：

（1）由题意得B （3，1）．

若直线过A （3，0）时，b ＝

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时， 即1＜b ≤

35

；过B （3，1）时，b ＝；过C （0，1）时，b ＝1． 23

，如图1， 2

此时E （2b ，0）， ∴S ＝

11

OE ·CO ＝×2b ×1＝b ． 22

②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，

35

＜b ＜，如图2 22

3

此时E （3，b -），D （2b －2，1），

2

即

∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE ) ＝ 3－[

115(2b－1)×1＋×(5－2b ) ·(-b ) ＋×3()]＝． 222222

3⎧

b 1

535⎪b -b 2

（2）如图3，设O 1A 1与CB 交于M ，OA 与C 1B 1交于则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 即为四边形DNEM 的面积．

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形． 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED ， 又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ， ∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形．

6/10

过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，由题意知，tan ∠DEN ＝设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt △DHM 中，

1

，DH ＝1，∴HE ＝2， 2

55，∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝ 44

5

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

4

由勾股定理知：a 2=(2-a ) 2+12，∴a =变式练习2：

（1）y 1=-(x -1) 2+4=-x 2+2x +3；直线AB ：y 2=-x +3． （2）C 点坐标为（1，4），∴当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2，即CD ＝4-2＝2．

∴S △CAB =

（3）假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x (0

则h =y 1-y 2=(-x 2+2x +3) -(-x +3) =-x 2+3x ．

1

⨯3⨯2=3（平方单位）． 2

1992

S △CAB ，得：⨯3⨯(-x +3x ) =⨯3． 828

32

化简得：4x -12x +9=0，解得，x =．

2

3315将x =代入y 1=-x 2+2x +3中，解得P 点坐标为() ．

224

由S △P AB =例题3：

Rt △ADE 中，AE =AD 2+DE 2=32+42=5. ．

①当0＜t ≤3时，过点Q 作QM ⊥AB 于M ，连接QP ．∵AB ∥CD ，∴∠QAM =∠DEA ， 又∵∠AMQ =∠D =90°，∴△AQM ∽△EAD ．∴

1133

AP ⋅QM =⨯2t ⨯t =t 2. 2255

9

②当3＜t ≤时，过点Q 作QM ⊥AB 于M ， QN ⊥BC 于N ， 连接QB ．

2

QM AQ AD ⋅AQ 3AM AQ

由①知△AQM ∽△EAD ．∴， ，∴QM ====t ．

AE 5AD AE DE AE

DE ⋅AQ 44

QN =BM =6-AM =6-t ． AM ==t ，∴

AE 551139

∴S ∆QAB =AB ⋅QM =⨯6⨯t =t ,

2255114442

S ∆QBP =BP ⋅QN =(2t -6)(6-t ) =-t 2+t -18.

22555

4424519

∴S =S ∆QAB +S ∆QBP =t +（-t 2+t -18）=-t 2+t -18.

55555S =

QM AQ AD ⋅AQ 3

，∴QM ===t ．

AE 5 AD AE

7/10

③当

9

＜t ≤5时．连接QB 、QC ， 2

QH QE AD ⋅QE 3

=, ∴QH ==(5-t ). AD AE AE 5

过Q 分别作QH ⊥DC 于H ，QM ⊥AB 于M ，QN ⊥BC 于N ． 由题意得QH ∥AD ，∴△EHQ ∽△EDA ∴S ∆Q AB =

例题4：

（1）如图1、过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，

则AG //DE 且AG =DE ．∴ 四边形AGED 为矩形，从而AD = GE ． 在梯形ABCD 中，∵AB =AD =DC =2，BC =4，∴CE =BG =1． ∴在Rt △CDE 中，DE ．在等腰∆PQR 中，过点P 作PH ⊥QR 于点H ．

∵∠QPR =120，QR =6cm ，∴∠PQR =30．

在Rt ∆PQH 中，PH =QH tan30=DE =PH ．即点P 在直线AD 上． ∵EC +CH =1+3=4=DP ，

∴如图2，当t =4时，点D 与点P 重合，点B 与点Q 重合．重合部分为△BCD ． ∴S =S ∆DBC =

1139AB ⋅QN =⨯6⨯t =t . 22551146

S ∆Q BC =BC ⋅QN =⨯3(6-t ) =9-t .

[1**********]7

S ∆Q CP =PC ⋅QH =(2t -9)(3-t ) =-t 2+t -.

2255102

3639

∴S =S ∆Q AB +S ∆Q BC +S ∆Q CP =-t 2+t -.

5102

1

⨯BC ⨯DE =

G E

图1

（2）①当4≤t

设PQ 与AB 交于点M ，PR 与CD 交于点N ．在∆BQM 中，

∵∠BQM =30，可求得∠ABC =60，∴∠BMQ =30，BM =QB =t -4．

过点M 作MS ⊥BC 于点S ．在Rt ∆BSM 中，MS =BM sin 60= ∴S ∆BQM =

t -4)．

2

122⨯QB ⨯MS =t -4)．同理可得，S ∆CRN =6-t )． 222

∴S =S ∆PQR -S ∆BQM -S ∆CRN =-+-=-(t -5)

22

8/10

∴当t =5时，S =

5

． 2

②当6≤t ≤10时，如图4，则RC =t -6，BR =10-t ．设PR 与AB 交于点F ， 在∆BFR 中，∵∠FBR =60，∠FRB =30，∴∆BFR 为直角三角形．

11BR =(10-

t )，RF ==10-t )． 2212

∴S =S ∆FBR =⨯BF ⨯RF =t -10)．

2 ∵6≤t ≤10，∴当t =

6时，S =．

5

． 综上所述，当t =5时，S 有最大值 ∴BF =

（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ．∴△ADE ∽△ABC ．

∴

S ∆ADE 1DE 2

=() ，即S ∆ADE =x 2．

4S ∆ABC BC

12

x ． 4

（2）∵BC =10，∴BC 边所对的三角形的中位线长为5，

∴当0﹤x ≤5 时，y =S ∆ADE =

（3）当5≤x ﹤10时，点A ' 落在三角形的外部，其重叠部分为梯形．

∵S △A'DE =S △ADE =

121

x ．∴DE 边上的高AH =AH' =x ．

24

由已知求得AF =5，∴A'F =AA' －AF =x －5．

由△A'MN ∽△A'DE 知，

S ∆A' MN A' F 2

=() ，∴S ∆A ' M N =(x -5) 2．

S ∆A' DE A' H

12322

∴y =x -(x -5) =-x +10x -25．

44

1225

（4）在函数y =x 中，∵0＜x ≤5，∴当x =5时，y 的最大值为．

4432b 2025

=在函数y =-x +10x -25中，当x =-时，y 的最大值为．

42a 3325252025

综上所述，∵＜，∴当x =时，y 的最大值为．

4333

9/10

2．

（1）设O A 所在直线的函数解析式为y =kx ，∵A （2，4），∴2k =4，即k =2．

∴O A 所在直线的函数解析式为y =2x .

（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段O A 上移动，∴y =2m （0≤m ≤2）.

2

∴顶点M 的坐标为(m , 2m ) . ∴抛物线函数解析式为y . =(x -m ) +2m 2

=m -2m +4∴当x =2时，y （0≤m ≤2）. =(2-m ) +2m

2

2

∴点P 的坐标是（2，m ）. -2m +4

2②∵PB =m =(， 又∵0≤m ≤2，∴当m =1时，PB 最短. m -1) +3-2m +4

2

()+=x -12（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为y .

2

2假设在抛物线上存在点Q ，使S Q （x ，x ）. -2x +3S M A =P M A . 设点Q 的坐标为

①当点Q 落在直线O A 的下方时，过P 作直线PC //AO ，交y 轴于点C ， ∵P ，∴O P =1C =1，∴C 点的坐标是（0，-1）. B =4，∴A B =3，A

∵点P 的坐标是（2，3），∴直线PC 的函数解析式为y =. 2x -1∵S Q ，∴点Q 落在直线y =上. S P 2x -1M A =M A

2∴x =2x -1. -2x +3

2, x 2解得x ，即点Q （2，3）. ∴点Q 与点P 重合. 1=2=

∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M ②当点Q 落在直线O A 的上方时， 作点P 关于点A 的对称称点D ，

过D 作直线DE //AO ，交y 轴于点E ，

OD =A =1∵A ，∴E ， P =1

∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线DE 函数解析式为y =. 2x +1

∵S Q ，∴点Q 落在直线y =上. 2x +1S P M A =M A

2∴

x =2x +

1. -2x . x 解得x 2

=21=2

5- 代入y

=，得y 5+

y 2x +12

=1=

22, 52，Q ∴此时抛物线上存在点Q 212

使△QMA 与△P M A 的面积相等.

(

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