牛顿迭代法求方程的根实例浅析
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牛顿迭代法求方程的根实例浅析
作者:苏正君
来源:《读与写·上旬刊》2014年第03期
摘要:牛顿迭代法是方程求根中的一种较快捷的迭代方法,但遇到较复杂的方程时计算量较大。文章采用了MATLAB 编程来实现牛顿迭代法,并给出了具体的计算例子。在Visual C++6.0环境下的数值运算结果表明,近似效果良好。
关键词:牛顿法;近似根;迭代公式;计算数学
中图分类号:G648 文献标识码:B 文章编号:1672-1578(2014)05-0011-02
近些年来,科学技术和计算机的快速发展有力地推动着非线性问题的发展。有些经典的方法经过严格的实践检验后,显露出若干缺陷。例如,收敛阶高,但计算效率低下,或者收敛阶低,可计算效率高等,尤其是在大规模计算中,计算效率显得至关重要,为此人们通常根据具体的问题选择相应的迭代算法,以尽量提高计算效率[1]。在工程实践中,有许多问题往往归结为求一元非线性方程的实根、求函数的定积分、求线性方程组的解等。而即使对于求一元方程实根这类问题,也只有在少数简单的情况下,才可以用传统的方法得到根的数学表达式。多数情况下是得不到一般数学方法所需的函数表达式,或难以找到原函数。线性方程组的求解更是让人望而生畏,往往因为计算机工作量太大而无法实施。对这些问题,都可以利用数值方法来求解,在计算机中实现的数值方法也称为数值算法。牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。
1.算法理论
牛顿迭代法也称为牛顿切线法,是解非线性方程的一种方法[2]。牛顿迭代法是取x0之后,在这个基础上,找到比x0更接近的方程的根,一步一步迭代,从而找到更接近方程根的近似根。方法使用函数f (x )的泰勒级数的前面几项来寻找方程f (x ) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f (x ) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。
1.1 牛顿迭代法原理。设已知方程f (x )=0的近似根x0,则在x0附近f (x )可用一阶泰勒多项式p (x )=f(x0)+f'(x0)(x-x0)近似代替。因此, 方程f (x )=0可近似地表示为p (x )=0。用x1表示p (x )=0的根,它与f (x )=0的根差异不大。
设,
由于满足解得
重复这一过程,得到迭代格式