数列习题及答案

n -1

1. 已知数列{a n }满足a 1=1, a n =3+a n -1(n ≥2) .

（1）求a 2, a 3；

3n -1a n =

2. （2）证明：

2. 数列{

a n }的前n 项和记为S n , a 1=1, a n +1=2S n +1(n ≥1)

a n }的通项公式；

（Ⅰ）求{

（Ⅱ）等差数列{成等比数列，求T n . 3. 已知数列{⑴求数列{

b n }的各项为正，a +1, 22b 3, a 3+b 其前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b

a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1+2a 2+22a 3+...

+2n -1a n =8n 对任意的n ∈N *都成立，数列b n +1-b n 是等差数列.

{}

a n }与{b n }的通项公式；

*

⑵是否存在k ∈N ，使得b k -a k ∈(0,1)，请说明理由.

4. 设各项均为正数的数列{an }和{bn }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 5.

n

已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =a ⋅2+b ，且a 1=3.

（1）求a 、b 的值及数列{a n }的通项公式；

n b n =

a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . （2）设

6. 已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项. （1）求{a n }的通项公式a n ；（2）若b n =a n log 1a n ，S n =b 1+b 2+ +b n 求使

2

S n +n ⋅2

n +1

>30成立的n 的最小值.

n

*

{a }n ∈N , a 1=1. 函数-1, S , a n n n +1 7. 已知数列的前n 项和为S ，且成等差数列，

f (x ) =log 3x .

（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）设数列{b n }满足

b n =

1

(n +3)[f (a n ) +2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较

T n 与

52n +5-

12312的大小.

【模拟试题】

一、填空题

1. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2，a 2+a3=13，则a 4+a5+a6等于= . 2. 已知数列的通项a n =-5n +2，则其前n 项和S n =

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是 .

2

4. 在等比数列{a n }中，a 3和 a 5 是二次方程 x +kx +5=0 的两个根，则a 2a 4a 6 的值为 .

5. 等差数列{an }中，a 1=1，a 3+a5=14，其前n 项和S n =100，则. 6. 等差数列{an }的前m 项和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为

A n 7n +45a 7

=

{a }{b }B B n +3，b 7 7. 已知两个等差数列n 和n 的前n 项和分别为A n 和n ，且n

a n

b n 为正整数，n 的取值个数为___________。

8. 已知数列{

a n }对于任意p ，q ∈N ，有a p +a q =a p +q ，若

S S 9. 记数列{a n }所有项的和为(1) ，第二项及以后各项的和为(2) ，第三项及以后各项的

*

a 1=

1

9，则a 36=.

和为

S (3) , ，第n 项及以后各项的和为S (n ) ，若S (1) =2，S (2)

1S (n ) =n -2,

2，则a n 等于 .

10. 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项

1S ==1，(3)2, ，

为_____.

2

11. 等差数列{a n }中，a n ≠0，若m >1且a m -1-a m +a m +1=0，S 2m -1=38，则m 的值为 .

12. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和. 已知S 6=36, S n =324, S n -6=144(n >6) ，则n 等于

13. 已知函数f (x ) 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有f (x +2) =2f (x +1) -f (x ) ，且f (1)=2, f (3)=6，则f (2005)=

14. 三个数a , b , c 成等比数列，且a +b +c =m (m >0) ，则b 的取值范围是 . 15. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，首项a 1=4, S 9=0. （1）若a n +S n =-10，求n （2） 设b n =2

a n

，求使不等式b 1+b 2+ +b n >2007的最小正整数n 的值.

点拨：在等差数列中a n , S n , n , d 知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项a 1与公差d ，把a n , S n 分别用首项a 1与公差d ，表示即可. 对于求和公式S n =

n (a 1+a n )

，2

n (n -1)

d 采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更2

简单一些. 例如：已知a 9>0, a 100, 判断S 17, S 18, S 20的正负. 问题2在思考时要注S n =na 1+

意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{a n }的前n 项和为S

n ，a 1=1

，S 3=9+ （I ）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和为S n ； （II ）设

b n =

S n

*

n （n ∈N ），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) , P n (x n , y n ) ，对一切正整数n ，点P n 位17. 在直角坐标平面上有一点列P

于函数

y =3x +

513

-

4的图象上，且P n 的横坐标构成以2为首项，-1为公差的等差数列{x n }.

⑴求点P n 的坐标；

⑵设抛物线列c 1, c 2, c 3, , c n , 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线c n 的

2

顶点为P n ，且过点D n (0,n +1) ，设与抛物线c n 相切于D n 的直线的斜率为k n ，求：111++ +k 1k 2k 2k 3k n -1k n .

, ∈N n , ≥⑶设S ={x |x =2x n n

}1T , ={y

y =|y n 4n ≥, }，1等差数列{a n }的任一项

a n ∈S ⋂T ，其中a 1是S ⋂T 中的最大数，-265

*

a {}a =1, a =2a +1(n ∈N ) ， n 1n +1n 18. 已知数列满足

（1）求数列{a n }的通项公式；

b -1b -1b -1

=(a n +1) b (n ∈N *) （n ∈N *）（2）若数列{a n }满足44 4，证明：{b n }是等差

1

2

n

n

数列.

【试题答案】

1. 42

n (5n +1) 22. 8(,3]3. 3

-

4. ± 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个

解法一：点拨 利用等差数列的求和公式

*

“若2m =p +q , m , p , q ∈N ，则

S n =

(a 1+a n ) n

2及等差数列的性质

”

a m =

a p +a q

2

(a 1+a 13)

⨯13

A 1317=a 7(b +b ) ⨯13=B 211313

2解析：b 7=

2

a S =an +bn ”这个结论，根据条件 n n 解法2： 点拨 利用“若{}为等差数列，那么

找出a n 和b n 的通项.

解析：可设A n =kn (7n +45) ，B n =kn (n +3) ，则a n =A n -A n -1=k (14n +38) ，

a 7k (14⨯7+38) 17

=2 b n =k (2n +2) ，则b 7=k (2⨯7+2)

a n k (14n +38) 1212=7+

n +1，显然只需使n +1为正整数即可， 由上面的解法2可知b n =k (2n +2)

故n =1,2,3,5,11，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k 可以直接设为1. 8. 4

11=

2n -22n -12n -1. 9. 解：

⎧(n +1) a n +1=319⎨

na n +1=290解得a n +1=29. a 10. 解：依题意，中间项为n +1，于是有⎩

a n =S (n ) -S (n +1) =

-

2

a =a m -1+a m +1=2a m ，而a m ≠0，∴a m =2，又 S 2m -1=38，m 11. 解：由题设得

(a +a )(2m -1) 2a m (2m -1) ∴38=12m -1==2(2m -1)

22，m =10.

1

12. 解：S 6+(S n -S n -6) =6(a 1+a n ) =36+(324-144) =216， a 1+a n =36，

S n =

n (a 1+a n )

=3242. ∴n =18。

*

13. 解：由f (x +2) +f (x ) =2f (x +1) 知函数f (x )(x ∈N ) 当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f (1),f (3), , f (2005)形成一个首项为2，公差为4的

等差数列，f (2005)=2+(1003-1) ⨯4=4010.

a =b , c =bq b +b +1m 14. 解：设q bq =m , b ≠0, ∴+q +1=

，则有q

q b . m b =1q +q +1≥3m 当q >0时，，而b >0，

∴0

3； m 0=1+q +1≤-1m 当q

，而m >0，∴b

b ∈[-m ,0) ⋃(0,3]

. 15. 解：（1）由S 9=9a 1+36d =0，得：d =-1, a n =5-n ，

又由a S n (n -1)

n +n =-10,4+(n -1)(-1) +4n +

2

⨯(-1) =-10. 即n 2-7n -30=0，得到n =10. （2）由b n =2

5-n

若n ≤5，则b 1+b 2+ +b n ≤b 1+b 2+ +b 5=31，不合题意

故n >5，b b +2(2n -5-1)

1+2+ b n =312-1

>2007

即2n -5>989，所以n ≥15，使不等式成立的最小正整数n 的值为15 ⎧⎪⎨

a 1=1，16. 解答：（I

）由已知得⎩⎪

3a 1+3d =9+∴d =2，

故a n =2n -1S n =n (n +.

S n

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

b n =

n =n .

假设数列{b n }中存在三项b p , b q , b r （p , q , r 互不相等）成等比数列，则b 2

q

=b p b r . 即(q +2

=(p r .

∴(q 2-pr ) +(2q -p -r 0

p ，q ，r ∈N *，

∴⎧⎨q 2-pr =0，⎩2q -p -r =0， ∴(p +r 2) 2=pr ，(p -r ) 2=0，∴p =r .

与p ≠r 矛盾.

17. 解：（1）

x =-52+(n -1) ⨯(-1) =-n -

3n 2 ∴y =3⋅x 13535

n n +4=-3n -4, ∴P n (-n -2, -3n -4)

（2） c n 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n . ∴设c n 的方程为：

y =a (x +

2n +3212n 2) -+54, 把D 2=1，∴c n 的方程为：y =x 2+(2n +3) x +n 2

n (0, n +1) 代入上式，得a +1.

k n =y ' |∴

1

=

1x =0=2n +3，k n -1k n

(2n +1)(2n +3) =12(12n +1-1

2n +3)

∴

1k +1+ +1=1[(1-1) +(1-1) + +(12n +1-12n +3)]1k 2k 2k 3k n -1k n 25779 111=2(5-2n +3) =110-

14n +6.

（3）S ={x |x =-(2n +3), n ∈N , n ≥1}，

T ={y |y =-(12n +5), n ∈N , n ≥1}={y |y =-2(6n +1) -3, n ∈N , n ≥1} ∴S T =T , T 中最大数a 1=-17.

设{a n }公差为d ，则a 10=-17+9d ∈(-265, -125) ，由此得

-

248

9

∴d =-24, ∴a n =7-24n (n ∈N *)

18. （1）解： a *

n +1=2a n +1(n ∈N ), ∴a n +1+1=2(a n +1),

∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.

∴a n +1=2n . 即 a n =2n -1(n ∈N *).

（2）证： 4

k 1-14

k 2-1

...4k n -1=(a n +1) k n . ∴4(k 1+k 2+... +k n ) -n =2nk n .

∴2[(b 1+b 2+... +b n ) -n ]=nb n , ①

2[(b 1+b 2+... +b n +b n +1) -(n +1)]=(n +1) b n +1. ② ②－①，得2(b n +1-1) =(n +1) b n +1-nb n , 即(n -1) b n +1-nb n +2=0, ③ nb n +2-(n +1) b n +1+2=0. ④

③－④，得 nb n +2-2nb n +1+nb n =0,

即 b n +2-2b *

n +1+b n =0, ∴b n +2-b n +1=b n +1-b n (n ∈N ), ∴{b n }是等差数列.

数列：

2

1. 解：（1） a 1=1, ∴a 2=3+1=4, a 3=3+4=13.

n -1

a -a =3n n -1（2）证明：由已知，故a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1)

+a 1=3

n -1

+3

n -2

3n -13n -1+ +3+1=a n =

2， 所以证得2.

2. 解：（Ⅰ）由a n +1=2S n +1可得a n =2S n -1+1(n ≥2) ， 两式相减得：a n +1-a n =2a n , a n +1=3a n (n ≥2) ，

a 又a 2=2S 1+1=3∴a 2=3a 1 故{n }是首项为1，公比为3的等比数列

n -1

a =3n ∴

（Ⅱ）设{b n }的公比为d ，由T 3=15得，可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5 故可设b 1=5-d , b 3=5+d ，又a 1=1, a 2=3, a 3=9，

2

由题意可得(5-d +1)(5+d +9) =(5+3) ，解得d 1=2, d 2=10

∵等差数列{∴

b n }的各项为正，∴d >0 ∴d =2

T n =3n +

n (n -1)

⨯2=n 2+2n 2

n -1

2n -12

3. 点拨：（1）a 1+2a 2+2a 3+... +2a n =8n 左边相当于是数列{

a n }

前n 项和的形式，

可以联想到已知S n 求a n 的方法，当n ≥2时，S n -S n -1=a n .

（2）把b k -a k 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究b k -a k 的取值情况.

2n -1

a +2a +2a ++2a n =8n (n ∈N *）① 123解：（1）已知„2n -2

n ≥2时，a 1+2a 2+2a 3+„+2a n -1=8(n -1) (n ∈N *）②

①－②得，2

n -1

4-n

a n =8，求得a n =2，

4-1

在①中令n =1，可得得a 1=8=2

，

4-n

a =2(n ∈N*）. 所以n

由题意b 1=8，b 2=4，b 3=2，所以b 2-b 1=-4，b 3-b 2=-2， ∴数列{b n +1-b n }的公差为-2-(-4) =2， ∴b n +1-b n

=-4+(n -1) ⨯2=2n -6，

b n =b 1+(b 2-b 1) +(b 3-b 2) + +(b n -b n -1)

24-k

（2）b k -a k =k -7k +14-2，

=(-4) +(-2) + +(2n -8) =n 2-7n +14(n ∈N *）.

77

f (k ) =(k -) 2+-4-k

242单调递增，且f (4)=1， 当k ≥4时，

2

f (k ) =k -7k +14-24-k ≥1， k ≥4所以时，

又f (1) =f (2)=f (3)=0，

所以，不存在k ∈N *，使得b k -a k ∈(0,1). 4. 解： 依题意得：

2b n+1 = an+1 + an+2 ① a 2n+1 = bn b n+1 ② ∵ a n 、b n 为正数， 由②得代入①并同除以∴

a n +1=b n b n +1, a n +2=b n +1b n +2，

n +1得： 2b n +1=n +n +2 ，

{n }∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，

2a 2=b 1b 2, 则b 2=

9

2 ，

92(n +1) 2

n =2+(n -1)(-2) =(n +1), ∴b n =

222 ， ∴

n (n +1)

a n =b n b n -1=

2， ∴当n ≥2时，

又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴

a n =

n (n +1) 2

n -11-1

{a }a =S -S =2⋅a a =2⋅a =a ，n n n n -1n ≥215. 解：（1）时，. 而为等比数列，得 n -1

a =3⋅2a =3n a =3又1，得，从而. 又 a 1=2a +b =3, ∴b =-3.

（2）

b n =

n n 123n =T n =(1++2+ +n -1) n -1

a n 3⋅2， 3222

11123n -1n 11111n

T n =(+2+3+ +n -1+n T n =(1++2+ +n -1-n ) 2322222） ，得232222， 1

1⋅(1-) 2-n ]=4(1-1-n ) T n =[

31-12n 32n 2n +1

2.

6. 解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由

1

a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =2

（－）

∴a n =2·2n 1=2n

（舍）

2（2） ∵，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5. 7. 解：（I ） -1, S n , a n +1成等差数列，∴2S n =a n +1-1① 当n ≥2时，2S n -1=a n -1②.

b n =a n log 1a n =-n ⋅2n

①－②得：2(S n -S n -1) =a n +1-a n ，∴3a n =a n +1，当n =1时，由①得∴2S 1=2a 1=a 2-1， 又a 1=1,

∴

a n +1

=3. a n

∴a 2=3, ∴

a 2

=3, a 1

∴{a n }是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n =3n -1.

n -1

∴f (a ) =log a =log 3=n -1， ()f x =log x n 3n 33（II ）∵，

b 1n =

(n +3)[f (a =1=1(1-1

)

n ) +2](n +1)(n +3) 2n +1n +3， ∴T =[1**********]11n 2(2-4+3-5+4-6+5-7+ +n -n +2+n +1-n +3)

=12(12+13-1n +2-1n +3)

=52n +512-2(n +2)(n +3) ,

比较T 52n +5n 与12-

312的大小，只需比较2(n +2)(n +3) 与312 的大小即可. 又2(n +2)(n +3) -312=2(n 2+5n +6-156) =2(n 2+5n -150) =2(n +15)(n -10)

∵n ∈N *, ∴当1≤n ≤9且n ∈N *时，

2(n +2)(n +3)

n

当n =10时，

2(n +2)(n +3) =312, 即T n =12-312;

当n >10且n ∈N *时，

2(n +2)(n +3) >312, 即T 52n +5

n

>12-312.