初等函数的判定方法
面Ｅ明‘．‘ｒｃｘ，＝｛釜ｉ三是孑ＩｘＩ：￣，＜ｒ
３
ｃ一＊：ｘ＜＋＊，
．・．ｆ（ｘ）＝ＩｘＩ理解为基本初等函数“；＿和ｕ＝ｘ２复合运算的结果，根据初等函数的定义知函数ｆ（ｘ）＝ＪｘＩ为初等函数
把Ｙａｎｚｕ引理中ｘ推广为初等函数ｆ（ｘ）则有：推论１设ｆ（ｘ）为初等函数，则Ｉｆ（ｘ）Ｉ也为初等函数．
推论２基本初等函数，绝对值函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数都是初等函数．
应用ＹａｎＺｕ引理判断分段函数是否为初等函数
例３下列分段函数哪些为初等函数？
嘶，＝簋㈧…乜蠹三２
鲫加Ｅ：。④吣，＝Ｅ等。
分析许多初学者认为这４个函数既不是常见的几个基本初等函数，也不是基本初等函数有限次四则运算或复合运算的结果，从而认为它们都是非初等函数．其实不然，运用绝对值的含义，通过观察和不完全归纳法把分段函数化为一个由基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的解析表达式，再应用ＹａＩｌＺｕ引理推论２进行判断．
解①ｆ（ｘ）＝怯置＞１＝川ｘ－ｌＩ＇ｘ∈Ｒ
ｆ一２ｘ一７，ｘ＜一５
（参ｇ（ｘ）＝｛３，一５曼ｘ≤一２＝Ｉｘ＋２ｌ＋ｌｘ＋５
Ｉ
Ｊ，ｘ∈Ｒ．
Ｌ２ｘ＋７．ｘ＞一２
…＝Ｅ：。＝掣∥。．④吣，＝Ｅ等。《竞删．
由ＹａＩｌｚｕ引理推论２可知①②③是初等函数，④不是初等函数，是非初等函数．
例４假设ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都是Ｒ上的初等函数．规定：‘ｐ（ｘ）＝，麟｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝，Ｍ（ｘ）＝ｍ训ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝，ｘ
和Ｍ（ｘ）是否为Ｒ上的初等函数．
Ｅ
Ｒ．试问‘Ｐ（ｘ）
解’．‘‘Ｐ（ｘ）＝，麟｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝＝｛一［ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＋Ｉｆ（ｘ）一ｇ（ｘ）Ｉ］，
Ｍ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝＝÷［ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）一Ｉｆ（ｘ）一ｇ（ｘ）１］，
又已知ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）为初等函数，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）一ｇ（ｘ），Ｉｆ（ｘ）一ｇ（ｘ）ｌ均为初等函数，由ＹａｌｌＺｕ引理推论２，
．’．‘Ｐ（ｘ）＝，麟｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝，Ｍ（ｘ）＝ｍ伽｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝，均匀为Ｒ上的初等函数．
综上所述，判断分段函数为初等函数时，若可通过变形化为含基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的一个表达式，从而运用ＹａｒＩＺｕ引理或推论，就可判断它是初等函数．．
参考文献：
［１］赵树螈．微积分［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２００４．
［２］蔡仪声．数学解题方法与技巧［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社。１９９５．
［３］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．
［责任编辑孙胜利］
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初等函数的判定方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
徐俊芳， XU Jun-fang
商丘职业技术学院,河南,商丘,476000
商丘职业技术学院学报
JOURNAL OF SHANGQIU VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE2005，4(5)0次
参考文献(3条)1. 赵树嫄 微积分 2004
2. 蔡仪声 数学解题方法与技巧 19953. 华东师范大学数学系 数学分析 2004
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