克莱姆法则的几种证明方法
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克莱姆法则的几种证明方法
作者：胡清洁,陈玉
来源：《教育教学论坛》2013年第29期
摘要：本文就克莱姆法则的证明给出了几种不同的证明方法。
关键词：克莱姆法则；行列式；矩阵；线性方程组
克莱姆法则在线性方程组理论研究上具有十分重要的作用，它不仅给出系数行列式不等于零的n元线性方程组有唯一解的条件，而且还将线性方程组的系数与常数项组成的行列式与解之间的关系简洁明了的表示出来。克莱姆法则，如果线性方程组
a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b2 ………………a■x■+a■x■+…+a■x■=b■ （*）的系数行列式D=a■ a■ … a■a■ a■ … a■… … … …a■ a■ … a■≠0，则线性方程组（*）有唯一解xj=■（j=1，2，…，n），其中
Dj=a■ … a■ b■ a■ … a■a■ … a■ b■ a■ … a■… … … … … … … a■ … a■ b■ a■ … a■.克拉姆法则的证明可以分两步：第一步证明解的存在性，即证明xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解，第二步证明解的唯一性，即证明xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的唯一解。本文就解的存在性和解的唯一性分别列出了三种不同的证明方法，在这三种方法中各选一种即可证明克莱姆法则.
一、解的存在性
证法一：将Dj按第j列展开得Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj（j=1，2，…，
n）.ai1■+ai2■+…+ain■=■[ai1（b1A11+b2A21+…+bnAnl）=■[b1（ai1A11+ai2A12+…+ainAln）+…+bi（ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin）+ai2（b1A12+b2A22+…+bnAn2）+…+ain
（b1A1n+b2A2n+…+bnAnn）]+…+bn
（ai1An1+ai2An2+…+ainAnn）]=■[0+…+biD+0+…+0]=bi.这说明xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解.
证法二：验证xj=■（j=1，2，…，n）是线性方程组（*）的解，只需证明
ai1■+ai2■+…+ain■=bi（i=1，2，…，n）为此，考虑有两行相同的n+1阶行列式bi a■ … a■b1 a■ … a■… … … …bn a■ … a■，显然，它的值为零，把它按第一行展开，由于第1行aij的代数余子式为（-1）1+j+1b1 a■ … a■ a■ … a■… … … … … … … b■ an1 … a■ a■ … a■=（-1）j+2（-1）j-1Dj=-Dj，所以，0=biD-ai1D1-…-ainDn，即ai1■+…+ain■=bi（i=1，2，…，n） 证法三：将线性方程组（*）写成矩阵形式：AX=b，因为 D=A=a■ a■ … a■a■ a■ … a■… … … …a■ a■ … a■≠0，所以x=x■x■┇x■=A-1b=■A■b=■A■ A■ … A■A■ A■ … A■… … … …A■ A■ …