集值离散动力系统的传递性_混合性与混沌

第7卷 第5期 大 连 民 族 学 院 学 报 V ol.7 No.5 2005年9月 JOURNAL OF DALIAN NATIONALITIES UNIVERSITY Sept. 2005

集值离散动力系统的传递性、混合性与混沌

王立冬1 黄桂丰2 廖公夫3

（1. 大连民族学院，辽宁 大连 116600；2. 海军舰艇学院，辽宁 大连 116008；3. 吉林大学，吉林 长春 130012）

摘 要：考虑连续映射f ：X →X 以及f 诱导的k （X ）到自身的连续映射

f

，其中X 为度量空间，k （X ）

为X 的所有非空紧子集赋予Hausdorff 度量所得空间. 对集值离散动力系统的混沌、拓扑混合、拓扑弱混合之间的关系进行了探讨，得到了几个有意义的结果. 关键词：混沌；拓扑混合；拓扑弱混合；拓扑传递

中图分类号：O189 文献标识码：A 文章编号：1009-315X （2005）05-0058-02

本文总假设f 为度量空间( X, d ) 到自身的连续映射，

N (A , ε) ={x |x ∈X , d (x , A )

f

为

f

诱导的集值映射，亦即

f

到k ( X ) 的自然扩张，

d (x , A )=inf d (x , a )，在k (X )上定Hausdorff 度量为

a ∈A

其中k ( X ) 为X 的所有非空子集赋予由d 诱导的.

众所周知，动力系统是确定性系统的一种数学模型，而动力系统中的混沌现象则是一种确定系统中出现的无规则运动. 它通过探讨典型系统的复杂动力性态，寻求发现一类复杂系统普遍遵循的共同规律. 离散动力系统理论的基本目标是了解系统( X, f ) 中所有点的轨迹

H (A , B )=inf{ε|A ⊂N (B , ε)且B ⊂N (A , ε)}.

注：H 的等价形式是

H (A , B )=max sup d (a , B ),sup d (b , A ).

引理1 (k (X ), H )是紧致的（完备的、可分的）度量空间的充分必要条件是( X, d ) 是紧致的（完备的、可分的）度量空间.

证明见[1]. 定义1 设上的映射

a ∈A

b ∈B

{}

x , f (x ), , f n (x ), 的性质. 这可看作某一确定性系

统变化过程中的时间离散取样，通过对时间离散取样的研究，可提供系统状态在未来一串离散时刻的变化趋势. 然而在一些实际问题中，仅知道X 中点如何运动是不够的，还必须了解X 中子集的轨迹的变化性质. 如物种的迁移现象，人口统计学等等. 这就说明研究与( X, f ) 相关的集值离散动力系统(k (X ), 本文的目的是研究

f ：X →X 是连续映射，我们定义k ( X )

f

为f (A )=f (A )={f (a )|a ∈A }.

引理2 设

(X , d 1), (Y , d 2)是两个紧致度量空间，

是一致连续的充要条件是

f :X →Y 是连续映射，则f

f :k (X )→k (Y )是一致连续的.

证明见[2]. 推论：设

) 是有意义的.

与

f f

的拓扑传递、拓扑混合以

f ：X →X 是一个映射，则f 是一致连

及混沌之间的关系，一个映射是混沌的意指文[4]给出的混沌.

续的充要条件是

f 在H —度量下是一致连续的.

由此可知(k (X ), f ) 是集值离散动力系统.

k ( X ) 是X 中所有非空紧设( X, d ) 是紧致度量空间，

致子集类，A ∈k (X )，我们定义收稿日期：2005 - 07 - 03.

定义2 设f ：X →X 是连续映射，{p i }是正整数增加序列，

A 的‘ε

邻域’为

X

的子集C 称为关于序列{p i }是混沌的，如

作者简介：王立冬（1955-），男，吉林德惠人，大连民族学院理学院教授. 研究方向：拓扑动力系统.

第5期 王立冬，黄桂丰，廖公夫：集值离散动力系统的传递性、混合性与混沌 59 果对于

∀A ⊂C

和任何连续映射F :A →X ，

i

f

是拓扑传递的. 2）如果

∃{q i }⊂{p i }使得对于∀x ∈A ,lim f q (x )=F (x ).

这时也称

若

f 在C 上关于序列

{p i }是混沌的.

i →∞

f ×f

是拓扑传递的，则称

f

是弱拓扑混

合的.

3）如果

X 的子集C 关于序列1,2,3, 是混沌的，则C ∃N >0

使得对

∀n >N

有

称为混沌的，也称

定义3 设

f 关于C 是混沌的.

f n (U )∩V ≠φ，则称f 是拓扑混合的.

在本文我们证明了如下几个定理： 定理1 设

f ：X →X 是连续映射，{p i }是正整

数增加序列，k ( X ) 的子集ℜ称为关于序列的，如果对于

{p i }是混沌

f ：X →X 是连续映射，如果存在X

∀ℑ⊂ℜ

和任何连续映射

的稠密混沌子集Y ，则

定理2 设增加序列则

f

是拓扑混合的.

F :ℜ→k (X )，∃{q i }⊂{p i }子列使得对于∀A ∈ℑ

有lim i →∞

q i

f ：X →X 是连续，如果对任何正整数

(A )=(A )，也称f

在ℜ上关于序列

{p i }{p n }都存在关于{p n }的稠密混沌子集Y ⊂X ，

是混沌的.

则称若k (X )的子集ℜ关于序列1,2,3, 是混沌的，

f

是拓扑混合的.

定理3 设f :[0,1]→[0,1]，则下述条件等价： 1） 2） 3） 4） 5）

ℜ为混沌的，也称f

设ϕ1(X

在ℜ上关于序列

{p i }是混沌的.

f f f f f f

拓扑混合； 拓扑弱混合； 拓扑传递； 拓扑混合； 拓扑弱混合； 混沌.

)为X 的所有单点集组成的k ( X ) 的子空

间，则显然(X , τd ) 和ϕ1(X )是同胚的.

定义4 设两个非空开集，

1）若存在整数n

f ：X →X 是连续映射，U , V ⊂X 是

>0使得f n (U )∩V ≠φ，则称

6）

参考文献：

[1] Heriberto Roman-Flores. A note on transitivity in set-valued discrete systems[J]. Chaos, Solitons and Fractals. 2003, (17)： 99-104.

[2] Heriberto Roman-Flores, Y.Chalco-Cano. Robinson’s chaos in set-valued discrete systems[J]. Choas, Solitons and Fractals. 2005, (25)：33-42.

[3] Devaney R. An introduction to chaotic dynamical systems[M]. Redwood City: Addison-Wesle, 1989.

[4] Xiong J, Yang Z. Chaos caused by a topologically mixing map. In dynamical systems and related topics[M]. Singapore： World Scientific Press, 1992.

Transitivity, Mixing and Chaos for Set-Valued Discrete Dynamical Systems

WANG Li-dong1 HUANG Gui-feng 2 LIAO Gong-fu 3

(1.Dalian Nationalities University, Dalian Liaonig 116600, China; 2.Dalian Naval Academy Dalian Liaonig 116008, China;

3.Jilin University, Changchun Jilin 130012, China)

Abstract: Let (X , d ) be a compact metric space and f : X→X a continuous map. We consider the space (k (X ), H ) of all nonempty compact subsets of X endowed with the Hausdorff metric induced by d and

f

：k (X ) →k (X ), in this paper, we investigate the

relationships among the chaoticity of some set-valued discrete dynamical associated to f , weakly topologically mixing, topologically mixing and topologically transitivity.

Key words: chaos; topologically mining; weakly topolpgically mining; topologically tuansitivity （责任编辑 王 莉）