罗默[高级宏观经济学](第3版)课后习题详解(第8章 投 资)

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第8章 投 资

跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里

查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。

8.1 考虑一个厂商，它采用包括资本和劳动的柯布—道格拉斯生产函数来生产产品Y =K αL 1-α，即，0

（a ）在给定P 、Y 、W 和K 时厂商如何选择L ？

（b ）根据选择的L ，把利润表示为P 、Y 、W 和K 的函数。 （c ）求利润最大化下K 的一阶条件，二阶条件是否得到满足？

（d ）由（c ）部分的一阶条件求解K ，把它表示为P 、Y 、K 和r K 的函数，这些变量的变化如何影响K ？

答：（a ）给定K 和固定数量的需求Y ，企业将雇佣足够的劳动来满足需求。给定生产函数：

Y =K αL 1-α （1）

则企业将雇佣的劳动L 为：

L =Y 1/(1-α)K -α/(1-α) （2）

（b ）将方程（2）代入利润函数π=PY -WL -r K K ，得：

1/(1-α)-α/(1-α)⎤-r K K （3） π=PY -W ⎡Y K ⎣⎦

（c ）企业对K 的选择的一阶条件是：

∂πα⎡-α/(1-α)⎦⎤-11/1-α

=WY ()K ⎣-r K =0 （4） ∂K 1-α

α1/1-α-1/1-α

WY ()K ()=r K （5） 1-α

要使资本K 有最大值，要求∂2π/∂K 2是负值。

简化为：

∂2π⎛-1⎫α1/1-αα-21-α

= WY ()K ()()

∂K ⎝1-α⎭1-α

所以当α

（d ）从方程（5）中解出K 得：

K

-1/(1-α)

⎛α⎫WY = ⎪

r K ⎝1-α⎭

1/(1-α)

（7）

方程（7）两边同时取指数(1-α)，得到公司对资本K 的选择：

⎛α⎫K =Y ⎪

⎝1-α⎭

1-α

⎛W ⎫ ⎪⎝r K ⎭

(1-α)

（8）

因此，尽管公司产品价格P 的变化很可能会改变Y ，但P 不会直接改变利润最大化时对为正值。K 对资本的租用价格r E 的弹性是-(1-α)，K 的选择。K 对工资W 的弹性是(1-α)，

为负值。最终，K 对需求数量的弹性是1。

8.2 美国允许公司从其应税收入中减去允许的折旧金。折旧金以资本的购买价格为基础；公司在t 时购买了一项新资本品，它可以从其t +s 时的应税收入中减去的折旧金相当于资本品购买价格中的D (s )的份额。折旧通常采用直线折旧的形式：当s ∈[0 ，T ]时，D (s )等于1/T ；当s >T 时，D (s )等于0，其中T 为资本品的税收寿命。

（a ）假设直线折旧。若边际公司所得税率固定为τ，利率固定为i ，那么以价格P K 购买1单位资本将使公司所得税负的现值（该现值为T 、τ、i 和P K 的函数）减少多少？因此，对公司来讲，资本品的税后价格是多少？

（b ）假设i =r +π，且π增加时r 无变化。这将如何影响资本品对公司的税后价格？ 答：（a ）在从时间t 到时间t +T ，企业被允许从其税收收入中减去P K /T ，这使得企业在t 到t +T 的任意时点从税收中储蓄τ(P K /T )，其中τ是边际税率。如果i 是不变的利率，则企业的公司所得税负债中的扣除品的现值为X ，得到：

t +T

X =

s =t

⎰e

-i (s -t )

τ(P K /T )d s （1）

可以推出：

X =τ(P K /T )

t +T

s =t

⎰

e

-i (s -t )

⎡1-i (s -t )s =t +T ⎤⎡1-e -iT

d s =τ(P K /T )⎢-e ⎥=τ(P K /T )⎢

s =t i ⎣i ⎣⎦⎤

⎥ （2） ⎦

因为资本品的税后价格为P K AT ，等于其税前价格P K 减去税收储蓄的折现值，得到：

P

AT K

⎡1-e -iT

=P k -τ(P K /T )⎢

⎣i ⎤⎥=P k ⎦⎡⎛1-e -iT ⎫⎤⎢1-(τ/T ) ⎪⎥ （3）

i ⎝⎭⎦⎣

（b ）通货膨胀率π的增加，并保持实际利率r 不变，则名义利率i 增加。由方程（1），

资本品的贴现值为：

X =τ(P K /T )

t +T s =t

⎰

e -i (s -t )d s （4）

因此由于名义利率的变化带来的公司税收降低的贴现值的变化：

∂X

=τ(P K /T )⎰-(s -t )e -i (s -t )d s =-τ(P K /T )⎰(s -t )e -i (s -t )d s

t +T

t +T

利率增加降低了购买资本品的税收节省的贴现值，因此增加了资本品的税后价格。

8.3 在房主自用的情形下，美国税法中影响资本使用者成本的主要特征是，名义税收

支付是可以减税的，因此，与家庭所有权相关的税后真实利率为r -τi ，其中r 为税前真实利率，i 为名义利率，τ为边际税率。在这种情形下，当r 给定时，通货膨胀的增加如何影响资本使用者成本和合意资本存量？

答：资本的实际使用成本为：

⎡⎛ ⎫⎤

r K (t )=⎢r (t )+δ- P K (t )/P K (t )⎪⎥P K (t ) （1）

⎝⎭⎦⎣

其中r (t )是实际税率，δ是折旧率，P K (t )是资本的实际价格。此处资本指的是所有者的住房。税后实际利率为r (t )-τi (t )，其中τ是边际税率。这是因为名义利率是可以扣税的。

如果一个人自用他的房屋，他会损失r (t )P K (t )——他能得到的利率和储蓄。他会收到

τi (t )P K (t )的税收节省，因此对于房屋所有者来讲，方程（1）变为：

⎡⎛ ⎫⎤

r K (t )=⎢r (t )-τi (t )+δ- P K (t )/P K (t )⎪⎥P K (t ) （2）

⎝⎭⎦⎣

将i (t )=r (t )+π(t )代入（2）式得：

⎡⎛ ⎫⎤

r K (t )=⎢r (t )-τr (t )-τπ(t )+δ- P K (t )/P K (t )⎪⎥P K (t ) （3）

⎝⎭⎦⎣

简化为：

⎡⎛ ⎫⎤

r K (t )=⎢(1-τ)r (t )-τπ(t )+δ- P K (t )/P K (t )⎪⎥P K (t ) （4）

⎝⎭⎦⎣

将r K (t )对π(t )求导得：

∂r K (t )/∂π(t )=-τP K (t )

通货膨胀率增加减少了自有住房使用者的使用成本，因此通货膨胀率的增加提高了房屋

所有者的合意资本存量。

8.4 应用变分法求解拉姆齐模型中的社会计划者问题。考虑在第2.4节中分析的社会计划者问题：计划者根据k (t )=f (k (t ))-c (t )-(n +g )k (t )希望最大化

1-θ-βt ⎡e c t /(1-θ)⎤d t ()⎰t =0⎣⎦∞

（a ）写出当期值汉密尔顿函数。指出其中的控制变量、状态变量和协态变量。

（b ）写出类似于第8.2节中方程（8.21）、（8.22）和（8.23）的描述最优化行为的三个条件。

（c ）证明由（b ）部分中的前两个条件以及f '(k (t ))=r (t )可得出欧拉方程（方程［2.20］）。

-βt

（d ）令μ表示协态变量。证明⎡μ(t )/μ(t )⎤-β=(n +g )-r (t )，从而e μ(t )与⎢⎥⎣⎦

e -R (t )e (n +g )t 成正比。证明这意味着，当且仅当预算约束（2.15）以等号形式成立时，（b ）

max U =

∞

Born to win

经济学考研交流群

部分中的横截性条件才成立。

答：（a ）计划者的问题是最大化代表性个人终生效用的贴现值：

t =0

⎰e

-βt

c (t )

1-θ

1-θ

t β≡ρ-n -(1-θ)g （1）

s .. t k (t )=f (k (t ))-c (t )-(n +g )k (t ) （2）

控制变量是可以被计划者自由控制的变量，即每单位有效劳动的消费c (t )。状态变量是由计划者过去的决策所决定的变量，即每单位有效劳动的资本k (t )。最后，状态变量的影子价格是协态变量，记为μ(t )。

因此，当期值汉密尔顿函数为：

H (k (t ) ，c (t ))=

c (t )

1-θ

1-θ

+μ(t )⎡⎣f (k (t ))-c (t )-(n +g )k (t )⎤⎦ （3）

（b ）最优化的第一个条件为当期值汉密尔顿函数关于控制变量求导等于0：

∂H (k (t ) ，c (t ))

∂c t =c (t )-μ(t )=0 （4）

-θ

第二个条件是当期值汉密尔顿函数关于状态变量求导，等于折现率乘以协态变量减去协态变量关于时间的导数：

∂H (k (t ) ，c (t ))

∂k t =μ(t )f '(k (t ))-μ(t )(n +g )=βμ(t )-μ(t ) （5）

最后一个条件是横截性条件：

lim e -βt μ(t )k (t )=0 （6）

t →∞

（c ）从（4）式可得：

μ(t )=c (t ) （7）

等式（7）两边同时对时间求导：

-θ

μ(t )=-θc (t )

从等式（5）可得：

-θ-1

c (t )=-θc (t )

-θ

c (t )c t

（8）

μ(t )=μ(t )⎡⎣β-f '(k (t ))+(n +g )⎤⎦ （9）

将关于μ(t )的（8）和（9）联立：

-θc (t )

-θ

c (t )c t

=μ(t )⎡⎣β-f '(k (t ))+(n +g )⎤⎦ （10）

Born to win

经济学考研交流群

把等式（7）和f '(k (t ))=r (t )代入等式（10）得：

c (t )

-θc (t )

-θ

-θ

=c (t )⎡⎣β-r (t )+(n +g )⎤⎦ （11） c t -θ

消去c (t )，两边同除以-θ，并将β≡ρ-n -(1-θ)g 代入得：

c (t )c t

=

r (t )-(n +g )-ρ+n -(1-θ)g

θ

c (t )c t

（12）

化简为： 方程（13）为欧拉方程。

=

r (t )-ρ-θg

θ

（13）

（d ）在（9）式两边除以μ(t )得到：

μ(t )

=β+(n +g )-r (t ) （14） μt 上步使用了f '(k (t ))=r (t )。因此（14）式可以推出：

∂ln μ(t )/∂t =β+(n +g )-r (t ) （15）

等式（15）两边同时从时间τ=0到τ=t 积分，得：

=t t

ln μ(t )-ln μ(0)=⎡⎣β+(n +g )⎤⎦τ=0-⎰r (τ)d τ

τ=0使用R (t )的定义得到：

ln μ(t )=ln μ(0)+βt +(n +g )t -R (t ) （16）

对（16）式两边取指数函数：

μ(t )=μ(0)e βt e (n +g )t e -R (t ) （17）

因此e

-βt

μ(t )与e -R (t )e (n +g )t 成比例。

这意味着横截性条件，方程（6）等价于：

lim e

t →∞

-R (t )

e (

n +g )t

k (t )=0 （18）

家庭的预算约束线为：

lim e (

t →∞

n +g )t

k (t )≥0 （19）

比较方程（18）和（19），只有预算约束线是等式时，横截性条件成立。在拉姆齐模型中，社会计划者问题的解等价于分散均衡问题的解。因此，分散均衡一定是帕累托最优的。

Born to win

经济学考研交流群

8.5 考虑第8.2～8.5节中的投资模型。描述下面各种变化对K =0轨迹和q =0轨迹的影响，以及变化发生时对K 和q 与K 和q 随时间的行为影响。在所有情形下，假设K 和q 一开始处于长期均衡值上。

（a ）一半的资本存量毁于战争。

（b ）政府以税率τ对来自公司所有权的收益征税。

（c ）政府对投资征税。具体来说，厂商每得到1单位资本就向政府支付γ；每减少1单位资本就获得补贴γ。

答：资本的市场价值q 的运动方程为：

q (t )=rq (t )-π(K (t )) （1）

此时π'( ⋅ )

q =π(K )/r （2）

资本K 的运动方程为：

K (t )=f (q (t )) （3）

此时f (q )=NC '-1(q -1)，f (1)=0和f '( ·)>0，要求K =0，则有：

q =1 （4）

（a ）一半的资本存量被摧毁并不会导致K =0轨迹和q =0轨迹的移动。在资本被摧毁时，K 下降为K 0=K /2。如图8-1所示。

图8-1 一半资本被毁的投资模型

对于经济返回到稳定状态，q 必须调整以确保经济在鞍点路径上。因此q 必须跳到q 0，使得经济位于图8-1中的A 点上。因为当资本降低时，利润会上升，在图左边的资本更加有价值，因此资本的市场价值更高了。

随着q 下降和K 上升，经济沿着鞍点路径向下移动。当资本的市场价值提高时便会吸引投资，因而资本存量开始回升，同时利润开始下降，进而资本市场价值开始下降。这一过程一直持续到资本的市场价值返回到长期均衡价值并且资本存量返回到原先的水平。因此经济最终返回到E 点。

（b ）给定资本K 时，利润为(1-τ)π(K )而不是π(K )。条件q =0变为：

q =(1-τ)π(K )/r （5）

在给定K 时，使得q =0的q 的价值降低了，因此新的q =0位于原来的图线下面。除此以外，q =0曲线的斜率为∂q /∂K =(1-τ)π'(K )/r ，而不是π'(K )/r 。因为(1-τ)

图8-2 对所有权收益征税的投资模型

在税收开始执行时，资本存量K 不会跳跃。因此q 必须向下跳跃以保证经济在新的均衡增长路径的A 点。因为政府拿走了利润的一部分，现存资本的市场价值变小。随着K 下降而q 上升，经济向上移动到新的鞍点路径上。资本的市场价值的降低会阻碍投资，因此资本存量下降，利润开始回升，而资本的市场价值也开始回升。这一过程一直持续到资本的市场价值返回到长期均衡值，而资本存量在一个永久性低的水平上。经济保持在E NEW 点上。资本存量的降低和资本税前利润的升高抵消了政府取走一部分利润的影响。

（c ）一个最优化的条件是：公司投资资本的成本等于资本的价值。对于投资税，取得一单位资本的成本为购买价格（固定为1）加上税收γ，加上边际调整成本C '(I )。因此有：

1+γ+C '(I (t ))=q (t ) （6）

因为C '(0)为0，当q =1+γ时，方程（6）意味着I (t )=0即K =0。因此K =0位于：

q =1+γ （7）

因此投资税γ将K =0向上移动了γ。而q =0的位置不受影响。如图8-3所示。

图8-3 政府对投资征税的投资模型

在税收开始执行时，资本存量K 不会跳跃。因此q 必须向上跳跃以保证经济在新的均衡增长路径的A 点。因为税收将降低投资，这意味着产业的利润将提高，因此现存的资本更加有价值。经济移动到新的均衡增长路径直到到达点E NEW 。资本存量永久性的降低，资本的税前价值等于1+γ，税后价值仍为1。

8.6 考虑第8.2～8.5节中的投资模型。假设在某个时间人们知道政府将征收一次性税收；具体来说，政府将在未来某T 时向资本持有者征收税收，其数量占资本持有量的比例为f 。假设行业一开始处于长期均衡。当人们获知此消息时会发生什么情况？在消息公布和实施征税之间，K 和q 如何变化？在征税时，K 和q 会发生什么变化？征税后K 和q 如何变化？（提示：在征税时，q 是否被预期会不连续地变化？）

答：在未来某个时刻T ，随着资本税的实施，q 被预测到发生非连续的变化。考虑税收实施前的一个小的时间ε和税收实施后的一个小的时间ε，观察随着ε趋于0将会发生什么情况。关键的是在税收实施前的一个小的时间ε内，资本的市场价值q (T -ε)必须等于(1-f )乘以税收实施后的一个小的时间ε的资本的市场价值。如果不是这样，在税收实施后，公司的股东会预期到资本损失，因此q (T -ε)必须等于(1-f )q (T +ε)，即：

q (T -ε)/q (T +ε)=(1-f )

比如，如果f =0.1或10%，则在税收实施前的一个小的时间ε内q 的价值必须等于税收实施后的一个小的时间ε的价值的90%。因此，在时间T ，q 向上跳动10%。除此以外，跳动必须使经济返回到鞍点路径上，从而使经济返回到稳定的均衡。

因此在税收实施消息发布时，q 必须向下跳动，使得经济位于图8-4中的A 点，则经济处于q 和K ，资本的市场价值和资本存量都下降。在知道税收将实施后，公司开始降低资本存量。必须选择点A 使得税收实施时q 向上跳动，使经济位于鞍点路径上。在实施时资本存量不发生变化。因此在时间T ，经济从B 点跳动到C 点，满足q B /q C =(1-f )。

图8-4 投资模型

在实施时，经济沿着鞍点路径向下移动，最终返回到原先的均衡点E 。一旦一次性税收结束，K 变低，利润变高，投资再次变的有吸引力。因此，资本存量返回到原先的水平。

8.7 住房市场模型（本题依据帕特巴1984）。令H 表示住房存量，I 表示投资率，p H 表示住房的真实价格，R 表示房租。假设I 随p H 递增，故有I =I (p H )，I '( ·)>0，并假设·H =I -δH 。同时假设房租是H 的递减函数：R =R (H )，R '( )

⎛资本增值之和必须等于外生的所需收益率r ： R +p H ⎫⎪/p H =r 。 ⎝⎭

（a ）在(H ，p H )空间中画出使得H =0的点集，并画出使得p H =0的点集。

（b ）H 和p H 在所得图像的各个区域中的动态学是什么？画出鞍点路径。

（c ）假设市场一开始处于长期均衡，并假设r 有一个未预测到的永久性增加。H 和p H

在r 变化时会发生什么变化？在r 发生变化后，H 、p H 、I 和R ，如何随时间变化？ （d ）假设市场一开始处于长期均衡中，并假设人们知道r 在未来T 时有一个永久性增加。在获得消息时H 和p H 会发生什么变化？在获得消息和r 增加的时期之间，H 、p H 、I 和R 如何变化？当r 增加时，H 、p H 、I 和R 会发生什么变化？在r 增加后，H 、p H 、I 和R 如何变化？

（e ）本模型的调整成本是内部的还是外部的？请解释。

（f ）为什么本模型中的H =0轨迹不是水平的？ 答：（a ）住房存量的演化为：

H =I (pH )-δH （1）

因此H =0要求I (p H )=δH ，即为了使住房存量保持不变，新的住房投资（是实际住房价格的增函数）必须恰好抵消现存住房的折旧。对这个方程两端关于H 求导：

I '(p H )d p H /d H =δ （2）

或：

d p H /d H =δ/I '(p H )>0 （3）

因为I '(p H )>0，因此在(H ，p H )空间里H =0曲线向上倾斜。 租金收入加上资本利得必须等于外生的回报率r ：

R (H )+P H

P H

=r （4）

解得：

P H =rp H -R (H ) （5）

因此P H =0要求rp H -R (H )=0或p H =R (H )/r 。对这一表达式两边关于H 求导得到P H =0的斜率：

d p H /d H =R '(H )/r >0 （6）

因为R '(H )0，由方程（1）知，H 在p H 上是递增的。这意味着在H =0的上方，H >0，因此H 是递增的。对于给定的H ，如果p H 高于保持住房存量不变的价格，投资（是

p H 的增函数）高于折旧的数量。因此住房的存量位于H =0的上方。同理，在H =0的下方，

因此H 是下降的，即p H 和投资太低，不足以抵消折旧从而保持住房存量不变。因此，H

住房存量下降到H =0的下方。如图8-5所示。

图8-5 住房市场模型的鞍点路径

因为R '(H )0并且p H 上升。对于给定的p H ，如果H 变高，因此租金变低，为保持投资者获得回报率r ，租金的降低必须被资本利得的升高所抵消，即p H 升高。同理，对于P H =0的

Born to win

经济学考研交流群

左边，P H

（c ）P H =0的位置由p H =R (H )/r 定义。利率的上升意味着使得P H =0的p H 降低了。因此新的P H 位于原来曲线的下面。除此以外，P H =0的斜率是R '(H )/r ，因此利率的上升使得斜率变大即斜率绝对值变小。因此新的P H =0曲线比旧的更加平坦。H =0由I (p H )=δH 定义。因为r 没有在式子中出现，因此H =0的位置不受影响。

随着r 的上升，现存房屋的数量H 不会非连续的变化。房屋的实际价格p H 必须向下跳动以保证将经济带到新的鞍点路径上。在图8-6中，随着r 的上升，经济从E 点跳到A 点。

图8-6 未预测到的永久增加r 变化的影响

住房价格p H 非连续的向下跳动引起投资数量向下跳动。因此在原先的初始H 值上，投资不足以抵消折旧，现在位于H =0的下方，房屋存量开始下降。随着H 的下降，因为R '(H )0，这意味着投资开始上升。经济最终到达点E NEW ，在新的均衡上，p H 不变，因

此投资不变。另外，在新的低水平上，住房存量不变，最终，租金上升了。

（d ）直到r 的上升前，系统的动态学仍旧由原先的P H =0和H =0来支配。在变化时，H 和p H 都不会发生变化。如果p H 发生跳跃，在r 的上升前，人们将会预测到资本利得或损

失。因此在r 的上升后，经济必须位于新的均衡增长路径上。如图8-7所示。

图8-7 知道未来有一永久增加r 变化的影响

在消息发布后，因为房屋的存量不会发生变化，p H 必须发生向下的跳跃以确保经济位于图8-7中的A 点上。因此经济位于H =0的下方，H 开始下降。经济也位于P H =0的左边，因此p H 下降。在消息发布，到r 的上升，H 下降而租金R 上升，另外p H 下降，因此投资也会持续下降。

直到r 上升后，P H =0移动到左边，并且变得更加平坦。经济位于新的均衡增长路径的B 点。经济仍旧位于H =0的下方，因此房屋存量持续下降，而租金持续上升。不过，经济

位于P H =0的右边，因此房屋的实际价格上升，投资上升。经济移动到新的鞍点路径直到到达在E NEW 的长期均衡点。在新的长期均衡点，H 降低了，R 提高了，p H 下降了，而I 降低了。

（e ）本模型的调整成本是外部的。在这里没有直接的建造成本，内部成本是建造新资本的真实成本，包括培训工人的成本。这个模型展示了外部调整成本。随着公司采取一些投资，住房的实际价格调整。

（f ）H =0不是水平的，因为投资依赖于住房的实际价格p H 。折旧与住房存量成比例，因此H 提高会提高折旧的数量。为保持H 不变，要求更多的投资。不过为了有更多的投资，因为I '(p H )>0，住房的价格必须更高。这意味着H =0是向上倾斜的。

⎫8.8 假设调整成本对k 和k 是规模报酬不变的。具体来说，假设调整成本由C ⎛ k /k ⎪k 给

⎝

⎭

出，其中C (0)=0，C '(0)=0，C ''( ⋅ )>0。此外，假设资本以速度δ折旧；因此

k (t )=I (t )-δk (t )，考虑代表性厂商的最大化问题。

（a ）写出当期值汉密尔顿函数。

（b ）写出类似于第8.2节中方程（8.21）、（8.22）和（8.23）的描述最优化行为的三个条件。

（c ）证明类似于（8.21）的条件意味着各厂商资本存量的增长率，从而总资本存量的

增长率决定于q 。在(K ，q )空间中，K =0轨迹是什么？

（d ）将你在（c ）部分中的结果代入类似于（8.22）的条件中，把q 用K 和q 来表示。 （e ）在(K ，q )空间中，q =0轨迹在q =1处的斜率是多少？

⎛⎫答：（a ）调整成本由C k /k ⎪k 给出。资本积累方程：K =I -δk ，因此可写成：⎝⎭

C ((I /k )-δ)k 。t 时刻公司的利润为：π(K (t ))k (t )-I (t )-C ⎡⎣I (t )/k (t )⎤⎦-δk (t )，因此当期()

值汉密尔顿函数为：

⎛I (t )⎫

H (k (t ) ，I (t ))=π(K (t ))k (t )-I (t )-C -δ⎪⎣I (t )-δk (t )⎤⎦ （1） k t ⎪k (t )+q (t )⎡

⎝⎭

（b ）对于最优化的第一个条件是汉密尔顿函数关于控制变量的导数为0，此处的控制

变量是投资，因此：

∂H (k (t ) ，I (t ))

∂I t ⎛ ⎫k (t )⎪1

=-1-C ' k (t )+q (t )=0 （2）

⎪k t k t ⎪⎝⎭

第二个条件是汉密尔顿函数关于状态变量的导数等于折旧率乘以协态变量减去协态变

量关于时间的导数，此处状态变量是资本存货，因此：

∂H (k (t ) ，I (t ))

∂k t ⎛ ⎫⎛⎛ ⎫⎫ k (t )⎪-I (t )k (t )⎪ ⎪=π(K (t ))-C ' k t -C -δq t =rq t -q () ()()(t ) （3） 2 ⎪⎪ ⎪k t k t ⎪⎝k (t )⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭

最后一个条件是横截性条件：

lim e -rt q (t )k (t )=0 （4）

t →∞

（c ）方程（2）每个企业的投资边际是：资本的购买价格加上边际调整成本等于资本的

⎛ ⎫是 的增函数，这个条件意味着 在上是递增⎫'价值：1+C '⎛。因为k /k C q k /k k =q k /k ⎪k /k ⎪

⎝⎭⎝⎭

的。因为C '(0)=0，当q =1时，意味着k /k =0。最后，因为q 对所有的企业都相同，所有的企业选择同样的k /k 。因此总资本存量的增长率K /K ，由满足（2）的k /k 给定。将以上情况结合起来得到：

K (t )/K (t )=f (q (t )) f (1)=0，f '( ⋅ )>0 （5）

⎫-1

其中f (q )是K /K 的值满足C '⎛方程（5）意味着当q >1K /K ⎪=q -1；f (q )=C '(q -1)。

⎝⎭

时，K 是递增的；q

（d ）重新安排（3）可以得到：

⎡⎛ ⎫⎛⎛ ⎫⎤⎫k (t )⎪I (t ) k (t )⎪⎥ （6） q (t )=(r +δ)q (t )-⎢π(K (t ))+C ' -C ⎪⎢ k t ⎪ k t ⎪⎪ k t ⎪⎪⎥⎝⎭⎢⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦

⎫或⎛ ⎫简化表达式，首先I /k =⎛k +k δ/k I /k = ⎪ k /k ⎪+δ。另外，代表性企业的资本存量增⎝⎭⎝⎭

K

长率k /k ，与产业范围的资本存量增长率。因此可以将（6）式写为：

K

⎡⎛ ⎫⎛ ⎫⎛ ⎫⎤

K t K t K t ()()()⎪⎪⎥ （7） q (t )=(r +δ)q (t )-⎢π(K (t ))+C ' +δ⎪-C

⎢ ⎪⎪ K t ⎪K t ⎪ K t ⎪⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣

用等式（5）K /K =f (q )代替K /K ，然后运用f ( )。由C '(f (q ))=q -1潜在的定义，得到：

⎤q (t )=(r +δ)q (t )-⎡π(K (t ))+⎡ ⎣q (t )-1⎤⎦⎡⎣f (q (t ))+δ⎤⎦-C f (q (t ))⎦≡G (K (t ) ，q (t )) （8）⎣

()

（e ）条件G (K ，q )=0暗含定义了在(K ，q )空间里q =0的点，将上式关于K 求导：

G K (K ，q )+G q (K ，q )

d q

d K

=0 （9）

q =0

或：

d q d K

=

q =0

-G K (K ，q )G q K ，q （10）

利用（8）计算（10）中的偏导数：

G K (K ，q )=-π'(K ) （11）

和

G q (K ，g )=(r +δ)-⎡⎣(q -1)f '(q )+(f (q )+δ)-C '(f (q ))f '(q )⎤⎦=r -f (q ) （12）

上步使用了C '(f (q ))=q -1。

将（11）和（12）式代入（10）式得：

d q

d K

=

q =0

π'(K )

r -f q

（13）

当q =1时，f (q )=0。因此当q =1时，q =0的斜率为π'(K )/r 。这与教材中形式一致。

8.9 假设π(K )=a -bK ，C (I )=αI 2/2。 （a ）q =0轨迹是什么？K 的长期均衡值是多少？

因此有：

（b ）鞍点路径的斜率是多少？（提示：使用第2.6节中的方法。）

答：（a ）一个最优化的条件是资本的边际产品收益π(K (t ))等于使用成本rq (t )-q (t )，

q (t )=rq (t )-π(K (t )) （1）

将利润函数π(K )=a -bK 代入（1）式中：

q (t )=rq (t )-a +bK (t ) （2）

因此令q =0有下式给出：

rq -a +bK =0 （3）

解出q ，作为K 的函数：

q =(a -bK )/r （4）

因此，q =0的斜率为-b /r 。

为找到长期均衡时的K 值，需要找到曲线q =0与曲线K =0的交点。其中K =0的位置由q =1给定，意味着长期的均衡值是1。将q =1代入（4）中，求解K *，得到：

K *=(a -r )/b （5）

下面求鞍点路径的斜率。首先求解K (t )的运动方程。最优化的一个条件是每个公司的投资恰好满足资本的购买价格加上边际调整成本等于资本的价值q 。假设调整成本为二次型

⎫2

的：C ⎛ k ⎪=αk /2，因此边际调整成本为：

⎝⎭

⎛ ⎫

C k ⎪=αk 2/2 ⎝⎭

因此，边际调整成本为：

⎛ ⎫

∂C k ⎪/∂k =αk （6） ⎝⎭

由此可以推出：1+αk =q ，意味着：

k =(q -1)/α （7）

因为q 对所有的企业都成立，所有的企业都选择同样的资本价值K 。总资本存量的交换率K 为：

Born to win

经济学考研交流群

K =N (q -1)/α （8）

其中N 是企业的数目。

和K ≡K -K *。因为q *和K *保持不变，因此q 和K 分别等于q ≡q -q *和K 。可定义q

以将（2）和（8）写为：

=rq -a +bK （9） q

和：

=N (q -1)/α （10） k

得： 等式（9）两边同时除以q

rq -a +bK q

（11） =

q q

从（5）式可得：

=(bK -a +r )/b （12） K

变形解出bK 得：

+a -r （13） bK =bK

将（13）式代入（10）式得：

+a +r r (q -1)bK rq -a +bK q K

==+=r +b （14） q q q q q

≡q -q *=q -1 上步用了q *=1和 q

，并且代入q *=1 等式（10）两边同除以K

N K q

= （15） αK K

的增长率仅依赖于q 的比率。考虑q 以同样的速 和K 和K 和K （14）和（15）意味着q

的比率保持不变，因此他们的增长率保持不变，q 以相 和K 和K 度下降的影响。这意味着q

以相同的速率下降，经济将沿着一条直线的鞍点路 和K 同的速率下降。根据相位图，因为q

径移动到(K * ，q *)。

/K 等式（15）可以写为： 用μ定义K

的比值： 与K 解出q

Born to win

经济学考研交流群

q

μ= （16）

αK

N

αμq

（17） =

N K

/K 。因此： 由（14）可以知道，q /q 永远等于K

μ=r +(bN /αμ) （18）

或：

αμ2-αr μ-bN =0 （19）

求解μ得到：

μ== （20）

(t )≡q (t )-q *和 K (t )≡K (t )-K *是增长的，如果μ是正的，则 q 因此经济不是沿着一条

直线到达(K * ，q *)，而是沿着一条直线远离(K * ，q *)。因此μ必须是负的，即：

μ1=

（21）

方程（17）中μ=μ1说明q 和K 是如何在鞍点路径上相关的。将（21）代入（17）：

⎡ q q -q *α⎣r （22） ≡=*2N K -K K

求解q 作为K 的函数：

(K -K *) （23） q =q +α⎣⎦

*

因此鞍点路径的斜率为：

∂q

∂K

SP

8.10 考虑第8.7节中利率不变且具有不确定性的投资模型。同习题8.9一样，假设

π(K )=a -bK ，C (I )=αI 2/2。此外，假设具有不确定性的是a 的未来值。本题要求证明，当q (t )和K (t )在每个时点上的值与a 的路径没有不确定性时，q (t )和K (t )的值相等，此时就达到一个均衡。具体来说，当a (t +τ)肯定等于E t ⎡⎣a (t +τ)⎤⎦（对于所有τ≥0）时，令

Born to win

经济学考研交流群

(t +τ ，t )和K (t +τ ，t )分别为t 时后q 和K 的路径。 q

ˆ(t +τ ，t )，那么对于所有τ≥0，（a ）证明：对于所有τ≥0，如果E t ⎡⎣q (t +τ)⎤⎦=q ˆE t ⎡⎣K (t +τ)⎤⎦=K (t +τ ，t )都成立。

ˆ(t ，t )，ˆ(t +τ ，t )，（b ）利用教材中方程（8.32）证明，如果E t ⎡那么q (t )=q ⎣q (t +τ)⎤⎦=q

ˆ(t ，t )-1⎤从而k (t )=N ⎡⎣q ⎦/α，其中N 为厂商的数目。

证明：（a ）考虑没有不确定性的情况：对于所有的τ≥0，a (t +τ)=E t ⎡⎣a (t +τ)⎤⎦，在t +τ时刻，q 可以写为q 在t 期的值加上q 在t 期到t +τ的变化的总和。更正式的：

(t +τ ，t )=q (t )+q

∞ s =t

ˆ(t +s ，t )d s （1） ⎰q

(t +τ ，t )是当a 确定的等于其预期值时q 的值。因为 q =rq -π(K )，并且其中，q

q =rq -a +bK ，等式（1）可写成：

(t +τ ，t )=q (t )+q

∞

s =t

(t +s ，t )-E rq ⎰⎡⎣

t

⎤⎡⎣a (t +s )⎤⎦+bK (t +s ，t )⎦d s （2）

ˆ )代表K 的路径。 上步用了a (t +s )=E t ⎡⎣a (t +s )⎤⎦ 和用K (

现在考虑a (t +τ)是不确定时的情况。q 的期望值可以写为q 在t 期的值加上q 在t 期到t +τ的变化的总和：

⎡ ⎤

E t ⎡⎣q (t +τ)⎤⎦=q (t )+⎰E t ⎢q (t +s )⎥d s （3） ⎣⎦s =t

⎤在教材的（8.34）中，E t ⎡q t =rq (t )-π(K (t ))在各期都成立，因为π(K )=a -bK ，()⎢⎥⎣⎦

∞

所以有：

⎡ ⎤

E t +s ⎢q (t +s )⎥=rq (t +s )-α(t +s )+bK (t +s ) （4）

⎣⎦

在（4）两边取t 期的期望值：

⎡ ⎤

E t ⎢q (t +s )⎥=rE t ⎡⎣q (t +s )⎤⎦-E t ⎡⎣α(t +s )⎤⎦+bE t ⎡⎣K (t +s )⎤⎦ （5） ⎣⎦

⎤⎡ ⎤。将等式（5）代入等式（3）得：上步用了迭代期望法则，E t E t +1⎡ q t +s =E q t +s ()()t ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

E t ⎡⎣q (t +τ)⎤⎦=q (t )+

∞

s =t

⎣a (t +s )⎤⎦-E ⎡⎣a (t +s )⎤⎦+bE ⎡⎣K (t +s )⎤⎦⎤⎰⎡⎣rE ⎡⎦d s （6）

t

t

t

ˆ(t +τ ，t )对所有τ≥0都成立，如果E t ⎡则对所有τ≥0，等式（2）和等式（6）⎣q (t +τ)⎤⎦=q

的右边相等。有：

q (t )+

∞s =t

t

ˆˆ⎣a (t +s )⎤⎦+bK (t +s ，t )⎤⎰⎡⎣rq (t +s ，t )-E ⎡⎦d s =

∞

（7）

q (t )+

s =t

⎣a (t +s )⎤⎦-E ⎡⎣a (t +s )⎤⎦+bE ⎡⎣K (t +s )⎤⎦⎤⎰⎡⎣rE ⎡⎦d s

t

t

t

ˆ(t +τ ，t )，等式（7）可化简为： 利用E t ⎡⎣q (t +τ)⎤⎦=q

∞

b ⎰

s =t

ˆ(t +s ，t )d s =b E ⎡a (t +s )⎤d s （8） K ⎦⎰t ⎣

s =t

∞

消去b 项，运用莱布尼兹法则对（8）式两边关于τ求导：

(t +τ ，t )=E ⎡K (t +τ)⎤ （9） K t ⎣⎦

方程（9）对于所有的τ≥0都成立。

（b ）考虑没有不确定性的情况，对于所有的τ≥0，α(t +τ)=E t ⎡⎣α(t +τ)⎤⎦。由教材中方程（8.24），可以将t 期资本的市场价值写为未来边际产品收益的贴现值：

(t ，t )=q

∞

e ⎰τ

=0

-r τ

ˆ⎡E t ⎡⎦-bK (t +τ ，t )⎤⎣⎣a (t +τ)⎤⎦d τ （10）

(t ，t )代表q 的其中用了π(K )=a -bK 和a (t +τ)=E t ⎡在a 等于其期望值时，q ⎣a (t +τ)⎤⎦，ˆ(t +τ ，t )与（a ）部分的结论相同，它是确定性情况下的K 的值。 值，而K

考虑a (t +τ)不确定的情形，运用公式（8.32）π(K )=a -bK 得：

q (t )=

∞

e ⎰τ

=0

-r τ

⎡⎣a (t +τ)⎤⎦-bE t ⎡⎣K (t +τ)⎤⎦⎤⎣E t ⎡⎦d τ （11）

正如（a ）部分所述，E t ⎡t τ)⎤(+⎣q ⎦=ˆ(q +τt ，

)

对t 所有τ≥0成立，则有

这就意味着等式（10）和等式（11）的右边相等，E t ⎡⎣K (t +τ)⎤⎦=K (t +τ ，t )对所有τ≥0成立。ˆ(t ，t )。对于π是线性和不确定的情况，资本的市场价值与不确定性的情况一致。即q (t )=q

即使对于不确定性的情况，每个公司投资到取得一单位新资本的成本等于资本的市场价

值，即投资满足：

1+C '(I (t ))=q (t ) （12）

ˆ(t ，t )，等式（12）可重写成： 因为C =αI 2/2，C '(I )=αI ，另外q (t )= q

ˆ(t ，t ) （13） 1+αI (t )=q

由定义可以知道，每个公司资本存量的变化为I (t )。因为每个公司面临着同样的

入等式（13）得；

ˆ(t ，t )，它们选择同样的投资水平。因此总资本存量的变化为K (t )=NI (t )，将该表达式代q

ˆ(t ，t ) （14） 1+αK (t )/N =q

解得：

ˆ(t ，t )-1⎤K (t )=N ⎡⎣q ⎦/α （15）

在这些特殊情况下，当π是线性的，调整成本是二次型的，如果π函数的未来值确定性的等价于它们的期望值，投资与不确定性的情况一样。

=0轨迹，8.11 考虑第8.8节中存在带拐折的调整成本的投资模型。描述如下变化对q

对K =0轨迹的影响。以及在变化发生时刻它们对q 与K 的影响。在此期间，对q 与K 的行为的影响。在每种情形中，假设q 与K 的初始处在教材图8.13中的点E +上。

（a ）π( )函数发生永久性的上移。 （b ）利率的小幅且永久性的上升。

（c ）第一单位正投资的成本C +上升。 （d ）第一单位正投资的成本C +下降。 答：（a ）资本的市场价值动态方程为：

q (t )=rq (t )-π(K (t )) （1）

其中，π'( )

q =π(K )/r （2）

π( )发生永久性的上移，这意味着在任何既定的K 下，使得q 的q 值将变得更高。假定对于任何既定的K ，π'(K )仍相同，而q =0的轨迹将上移，而斜率保持不变。因为C +和

C 都不变，所以使得K =0的q 值的范围不变。

-

)如图8-8所示，经济始于点E +，资本存量等于K 1，q =1+C +。q =0轨迹上移。π(

函数发生永久性的上移时，资本存量K 无法不连续地跃升。

图8-8 π( )函数发生永久性的上移的影响

因此，q 必须跃至A 点，从而使经济处于新的鞍点路径上。直观上而言，利润函数上移，现存的资本存量将变得更具价值，因而资本的市场价值上升。

如图8-8所示，经济将沿着新的鞍点路径移动，K 上升，q 下降。直观上，资本的较高的市场价值会促进投资，因而资本存量将增加。随着投资增加，利润会下降，因而资本的市

+

场价值也会降低。这个过程将一直持续到经济到达K NEW ，在该点处，q 恢复至1+C +，资本

存量将永久性提高至K 1NEW 。

（b ）由（2）式可知，利率的永久性提高意味着在任何既定的K 下，使得q =0的q 值会变得更低。因而q =0的轨迹向下移动，如图8-9所示。因为C +和C -都不发生变动，所以使得K =0的q 的区间不变。

图8-9 利率的小幅且永久性的上升的影响

如图8-9所示，经济始于E +点，在该点处q =1+C +，资本存量为K 1。当利率r 上升时，

ˆ=0NEW 的轨迹上K 不可能出现不连续的跃升。因此，在初始资本存量K 1处，q 必将下降至q

的点，经济将移至点A 。

如图8-9所示，假定利率上升相当小，从而使得新的q =0的轨迹不会向下移动太多，

在K 1处的新的q 值大于1-C -。因而只要q =0的轨迹的移动幅度足够小，q 仍处于

-

⎡ 1+C +⎤⎣1-C ，⎦，因而投资不会改变。资本存量仍为K 1，从而不存在进一步的动态。

（c ）第一单位正投资的成本C +的上升，将使1+C +直线向上移动至K =0。使C +的q 的区间将变大。因为C 不出现在（2）式中，所以q =0的轨迹不变。

如图8-10所示，经济始于点E +，在该点处，q =1+C +，初始资本存量为K 1。

+

图8-10 第一单位正投资的成本C 上升

在C +上升时，K 不会出现不连续的跃升，且q =0的轨迹不变，因此，q 将处于

+-+⎡⎤ 1+C NEW ⎣1-C ，⎦，因而投资不变。资本存量仍为K 1，资本的市场价值仍为1+C ，不存在

+

动态变化。

+

（d ）第一单位正投资的成本C +的下降，将使1+C +下移至 1+C NEW 。使K =0的q 的区

间将变小。因为C +不出现在（2）式中，所以q =0的轨迹不变。

如图8-11所示，经济始于点E +，在该点处，q =1+C +，初始资本存量为K 1。

图8-11 第一单位正投资的成本C +下降的影响

在C 下降时，K 不会出现不连续的跳跃，且q =0的轨迹不变，因此，q 将处于

-+

⎡⎤ 1+C NEW ⎣1-C ，⎦。q 必将下降，以使经济处于新的鞍点路径上的点A 处。q 下降之后，它

+

+仍超过了1+C NEW ，因而投资将增加。由于C +下降，所以在初始资本存量处增加投资是有利

+可图的。经济将沿着新的鞍点路径向下移动，K 将增加，q 将下降，直至到达点C NEW 。在

+该点处，资本存量为K 1NEW ，永久性提高了，资本的市场价值永久性变小了，为q =1+C NEW 。

8.12 （本题依据伯南克1983a ，以及迪克西特和平狄克1994。）考虑一个厂商，它打算进行一项成本为I 的投资。有两个时期。投资在第1期的盈利为π1，第2期的盈利为π2。π1是确定的，而π2是不确定的。厂商最大化期望利润，为简单起见，假设利率为0。 （a ）假设厂商的唯一选择是，要么在第1期投资，要么根本不投资。厂商进行投资的条件是什么？

（b ）假设在知道π2后，厂商也可能在第2期投资；在这种情形下，投资盈利仅为π2。如果（a ）中的条件得到满足，厂商不在第1期投资的期望利润是否有可能高于在第1期投资的期望利润？

（c ）将等待成本定义为π1，并将等待的收益定义为Prob (π2

答：如果公司不进行投资，则公司的预期收益为零。有：

NO

⎤E ⎡π⎣⎦=0 （1）

如果公司进行投资，则：

YES

E ⎡⎣π⎤⎦=π1+E [π2]-I （2）

如果公司进行投资的预期收益大于不进行投资的预期收益，即：

YES NO E ⎡⎣π⎤⎦=E ⎡⎣π⎤⎦ （3）

成立时，公司会进行投资。 化简为：

π1+E [π2]-I >0 （4）

（b ）假定公司在第一时期不进行投资，在第二时期，如果π2>I ，它将进行投资，获取(π2-I )的利润。如果π2

NO IN 1

⎤E ⎡⎣π⎦=Prob (π2>I )E [π2-I |π2>I ] （5）

YES IN 1

⎤E ⎡π⎣⎦=π1+E [π2]-I （6）

NO IN 1YES IN 1

⎤⎤E ⎡⎣π⎦-E ⎡⎣π⎦=Prob (π2>I )E [π2-I |π2>I ]-(π1+E [π2]-I ) （7）

尽管π1+E [π2]-I >0，但是只要Prob (π2>I )E [π2-I |π2>I ]>(π1+E [π2]-I )，那么公司在第1期选择不投资的期望利润将高于投资时的期望利润，此时公司将选择不投资。如果Prob (π2>I )E [π2-I |π2>I ]I )E [π2-I |π2>I ]=(π1+E [π2]-I )时，投不投资对公司而言无所谓。

（c ）第一期的等待成本为：

等待成本=π1 （8）

等待的收益是公司可以观察到π2的大小，如果它小于I ，则决定不投资从而避免损失。公司通过等待而避免的预期损失等于π2小于I 的概率乘以π2小于I 时预期的损失，即E [I -π2|π2

等待的收益=Prob (π2

根据条件期望的定义，可以得到：

E [π2-I ]=Pr ob (π2>I )E [π2-I |π2>I ]+Prob (π2

将上式代入（7）中：

NO IN 1YES IN 1

（11） ⎤⎤E ⎡⎣π⎦-E ⎡⎣π⎦=Pr ob (π2>I )E [π2>I ]-π1-Prob (π2>I )E [π2-I |π2>I ]-Prob (π2

将下式代入（11）中：

Prob (π2

得到：

NO IN 1YES IN 1

⎤⎤E ⎡⎣π⎦-E ⎡⎣π⎦=-π1+Prob (π2

因为等待的成本为π1，而等待的收益为：

Prob (π2

因此等待的收益减去等待的成本为：

NO IN 1YES IN 1

⎤⎤等待的收益-等待的成本=E ⎡⎣π⎦-E ⎡⎣π⎦

8.13 莫迪利安尼—米勒定理（莫迪利安尼和米勒1958）。考虑第8.6节中对贴现因子具有不确定性所产生影响的分析。但假设厂商使用股票和无风险债券的组合来对投资进行融资。具体来说，考虑对边际单位资本的融资。厂商发行数量为b 的债券；每张债券肯定在t +τ时（对于所有τ≥0）支付1单位产出。股票持有者是剩余索取者。因此他们在t +τ时，（对于所有τ≥0）得到的股息收入数量为π(K (t +τ))-b 。

（a ）令P (t )表示1单位债务在t 时的价值，V (t )表示边际单位资本的股票价值。求类似于教材中方程（8.29）的P (t )和V (t )的表达式。

（b ）融资在债券和股票间的划分如何影响1单位资本的市场价值P (t )b +V (t )？请进行直观性的解释。

（c ）更一般地，假设厂商通过发行n 种金融工具来对投资进行融资。令d i (t +τ)表示t +τ时工具i 的收益；这些收益满足d 1(t +τ)+⋅⋅⋅+d n (t +τ)=π(K (t +τ))，但不受其他约束。

这n 种资产的总值如何取决于总收益在这些资产中的分布方式？

（d ）回到债务融资和股票融资的情形。但假设以税率θ对厂商的利润征税，并假设利息支付是可减税的。因此，债券持有者的收益不变，但股票持有者的收入在t +τ时变为（b ）部分的结果是否仍然成立？请解释。 (1-θ)π⎡⎣K (t +τ)-b ⎤⎦。

答：（a ）考虑债券的价值。对于所有的τ≥0，债券在t +τ时支付一单位的产出。消费

者根据在t +τ时的消费的边际效用来评价支付。因此在t +τ时一单位产出的价值等于在t +τ时消费的边际效用相对于在t 时的消费边际效用的折现值，即e -ρt u '(C (t +τ))/u '(C (t ))。在t 时一单位债券的价值等于未来支付总和的折现值。

P (t )=

⎡u '(C (t +τ))⎤-ρt

e E ⎥d τ （1） t ⎢⎰'u C t ⎢⎥τ=0⎣⎦

∞

股权持有者为剩余索取者，因此在时刻t +τ，对于τ≥0，他们的收益等于资本的边际产出π(k (t +τ))减去支付给债券持有人的b 。其次消费者根据在t +τ时消费的边际效用相对于在t 时消费的边际效用的折现值来评价支付。资本的边际单位的股权价值为：

V (t )=

∞

e ⎰τ

=0

-ρt

⎡u '(C (t +τ))E t ⎢π(K (t +τ))-b

'u C t ⎢⎣

()

⎤

⎥d τ （2） ⎥⎦

（b ）将b 乘以（1）再加上（2）得到资本的边际单位的市场价值：

∞

-ρt

Born to win

经济学考研交流群

∞⎡u '(C (t +τ))⎤⎡u '(C (t +τ))-ρt

P (t )b +V (t )=⎰e bE t ⎢π(K (t +τ))-b ⎥d τ+⎰e E t ⎢

''u C t u C t ⎢⎥⎢τ=0τ=0⎣⎦⎣

()

⎤

⎥d τ （3）

⎥⎦

合并积分项：

P (t )b +V (t )=

⎡u '(C (t +τ))-ρt

e E b +π(K (t +τ))-b t ⎢⎰'u C t ⎢τ=0⎣

∞

()⎥d τ （4）

⎥⎦

⎤

可以得到：

P (t )b +V (t )=

⎡u '(C (t +τ))⎤-ρt e E πK t +τ(())⎥d τ （5） t ⎢⎰'u C t ⎢⎥τ=0⎣⎦

∞

融资在债券和股票间的划分不影响资本的边际单位市场价值。单位资本的贴现值是由利润路径上的预期效应决定的。因为π(K (t +τ))在股票和债券之间的划分不影响π(K (t +τ))，它不影响单位资本索取权的价值。

（c ）每个资产的市场价值为：

V i (t )=

⎡u '(C (t +τ))⎤-ρt

e E d t +τ⎢⎥d τ （6） ()t i ⎰'u C t ⎢⎥τ=0⎣⎦

∞

这里将有n 种（6）的形式，将n 个方程相加得到n 种金融工具的总价值：

V 1(t )+ +V n (t )=

∞

e ⎰τ

=0

-ρt

⎡u '(C (t +τ))⎤

E t ⎢d 1(t +τ)+ +d n (t +τ))⎥d τ （7） ('⎢⎥⎣u C t ⎦

因为d 1(t +τ)+⋅⋅⋅+d n (t +τ)=π(K (t +τ))，可以将（7）写为：

V 1(t )+ +V n (t )=

∞

e ⎰τ

=0

-ρt

⎡u '(C (t +τ))⎤

E t ⎢π(K (t +τ))⎥d τ （8）

'u C t ⎢⎥⎣⎦

它不依赖于资n 种金融工具的总价值由资本的边际单位在利润路径上的预期效应决定。产的个人支付。

（d ）由（1）决定的一单位债券的价值持续增加。一单位债券的价值为：

V (t )=

⎡u '(C (t +τ))-ρt

e E (1-θ)⎡t ⎢⎰⎣π(K (t +τ))-b ⎤⎦'u C t ⎢τ=0⎣

∞

{}

⎤

⎥d τ （9） ⎥⎦

将（1）乘以b 加上（9）得到资本的边际单位索取权的市场价值：

∞∞⎡u '(C (t +τ))⎤⎡u '(C (t +τ))⎤-ρt

⎡⎤P (t )b +V (t )=⎰e -ρt bE t ⎢1-θπK t +τ-b ⎥d τ+⎰e E t ⎢⎥d τ（10） ()()(){}⎣⎦

⎢⎢⎥τ=0τ=0⎣u 'C t ⎥⎦⎣u 'C t ⎦合并积分项：

P (t )b +V (t )=

∞

e ⎰τ

=0

-ρt

⎡u '(C (t +τ))⎤

E t ⎢(1-θ)π(K (t +τ))+θb ⎥d τ （11）

'u C t ⎢⎥⎣⎦

融资在债券和股票间的划分不影响资本的边际单位的市场价值。债券的数量b ，不影响

资本的边际单位索取权的市场价值。额外利润在债券和股票间的划分不影响利润的规模。特

Born to win

经济学考研交流群

别是，转向债券融资增加了利润，因为利息支付是可以减税的。

以上内容为跨考网整理的经济学考研课后习题答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同学还想获得更多经济学课后习题资料，可以关注微信公众平台索要经济学考研资料, 你想要的资料都在这儿→jjxkyzs 。 想了解经济学考研高分的秘密吗？请点击>>>:经济学考研解题技巧

跨考经济学考研辅导提醒您: 成功的原因千千万, 失败的原因就那么几个，加入我们的经济学考研交流群，考研经验交流，规避风险，锁定名校一次进!