13.4最短路径问题教案
13.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)
执教：庐江白湖中学 吴文风
教学目标
1、利用两点之间最短距离和轴对称知识解决简单的最短路径问题。
2、通过问题的解决培养学生转化问题能力，体会图形在解决最值问题中的作用。
3、通过具体实例感受数学来源生活、服务生活，调动学生的数学学习兴趣，培养学生的数学应用意识、
教学重难点
1、重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题
2、难点：教学过程中“转化”思想的培养
教学方法：
通过多媒体PPT展示、学生探究、教师引导的方式完成教学
教学过程
一、创设情境，导入新课
我们经常听人说数学来源于生活、服务于生活，但事实上我们在生活中很难感觉到数学。甚至于前段时间网友在网上高呼：“让数学滚出高考”，因为除了数钱我们很少用得上数学，其实不然，“我们说服务于生活”，这句话没错，只不过在数学和现实生活中间存在着一个“转化”的问题。今天我们就从一个具体的例子展示：现实生活中的实例和数学是如何转化的。
前面我们研究过一些关于“两点之间，线段最短”，以及“垂线段最短”等最短路径问题。这节课我们就将利用我们所学的知识一起探索数学史上的一个著名的最短路径问题-----将军饮马问题。（PPT展示将军饮马问题的背景）
二、讲授新课，共同探索
1、提出问题：
如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
L
图1 图2
2、探索问题：
教师提出问题，引导学生思考： （1）、如何将这个实际问题转化为数学问题？转化的要点是什么？
（2）、回忆以前学过的“最短”的知识点，（两点之间，线段最短；垂线段最短），思考：这个问题中的“最短”和以前学过的知识有什么相同点和不同点？
（3）、如何把“不同点”化为“相同点”？
（4）、如何用图形将问题展现出来？
【学生活动】：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充，师生共同归纳：
（1）、将A、B两地抽象为两个点，将河L抽象为一条直线（如图2），则问题转化为：如何在L上找一点C，使AC与BC的和最小（如图3）。
转化时要注意条件和结论的转化，以及点、线的抽象。
（2）、相同点：都是两点间的最短距离问题。
不同点：一个是两点在L的同侧；一个是两点在L的异侧，并画图比较（如图4）。
L
C
图3
（3）利用轴对称的知识找出B点关于直线L的对称点B′,就可以满足C B′= CB,再连接A B′，则A B′与直线L的交点C极为所求。
【教师板书并画图】（如图5）：（PPT展示）
第一步：作出B点关于直线L的对称点B′
第二步：连接A B′，与直线L的交点为C,则C点即为所求
图5
【设计意图】：通过提出问题-----分析问题-----解决问题的思路，引导学生积极探索问题，培养学生的数学表达能力和问题转化能力。
3、数学证明
【师生活动】：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：（PPT展示）
证明：如图在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′、BC′、B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′
AC′+BC′ = AC′+B′C′
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
【教师提问】：证明时，为什么要在L上任取一点C′（与点C 不重合），这里的“C′”的作用是什么？
【师生活动】：学生相互交流，并相互补充，后教师归纳：若直线L上任一点C′（与点C 不重合）与A、B两点的距离和（AC′+B′C′）都大于AC+BC，就说明AC+BC最小。（PPT展示）
【设计意图】：通过教师的板书，培养学生学习数学的严谨性，提高逻辑思维能力，同时对问题的发散，也让学生进一步体会作法的正确性，扩大学生的数学视野。
三、巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径
【师生活动】：联系本节课内容，将大桥
C
抽象为直线AB，将山脚的P处，大桥上的Q
处抽象为两点P、Q，其中PQ为定值，从而问 山题转化为：P、Q在BC的同侧，要求在BC上
找到一点R使PR+QR得和最小问题。 A 桥P B
【设计意图】：通过具体的实例及时巩固学生所学的知识，进一步提高学生的数学转化能力和解决最短路径问题的能力。
四、课堂小结
1、本节主要知识点：
轴对称的对称知识和两点间的最短距离在“最短路径”这类问题中的运用。 实际问题与数学问题的转化。
2、提出问题：
这节课你们学到了什么？还有哪些疑惑？
【设计意图】：及时的总结利于学生对所学知识的掌握。
五、布置作业
1、习题13第15题
2、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
教学反思