第7讲 函数最值的求法
第7讲 函数最值的一般求法
指点迷津 ✧ 问题驱动
1.一般地,设函数y =f (x )在x 0处的函数值是f (x 0),如果对于定义域内任意x ,不等式f (x ) ≥f (x 0)都成立,那么f (x 0)叫做函数y =f (x )的最小值,记作y min =f (x 0);
设函数y =f (x )在x 0处的函数值是f (x 0),如果对于定义域内任意x ,不等式f (x )≤f (x 0)都成立,那么f (x 0)叫做函数y =f (x )的最大值,记作y max =f (x 0).
2.二次函数求最值(值域),应考虑对称轴与定义域的位置关系,如果不确定,必须分情况讨论 3.函数y =ax +
b
(ab ≠0),当a >0,b
x
⎛⎫⎛⎛b ⎤⎡b b ⎫b ⎫ ⎪ ⎪上⎪ 当a >0,b >0时,函数在-∞, -, 0⎪及 0, , +∞⎪上单调递增,在 -⎥及⎢ a ⎥a ⎭⎝a ⎪⎝⎦⎢⎝⎭⎣a ⎭
单调递减,值域为-∞, -2ab 2ab , +∞.
4.分段函数的值域为各段函数值域的并集.
5.对较复杂的函数最值(值域),常可通过换元法转化为常见的、熟悉的函数求其最值(值域).
(][)
考考自己 ✧ 小试牛刀1.函数y =x 271
,此时x = . 42
111
2.函数y =2,x ∈[-2, 0]的最大值是x =;最小值是,
x +2x +323
此时x = 0或-2 .
8
3.函数y =2x +,x ∈[3, 5]的最小值是,此时x =;最大值是,此时
x -2
x =.
4.函数y =x 2+2x ,x ∈[0, 2]的最小值是,此时x =;最大值是 20 ,此时
x =.
⎧2x +1, x ≤0⎪
5. 函数y =⎨3x , 0
⎪4-x 2, x >1⎩
指导训练 师生互动
考点1、与二次函数有关的最值(值域)问题
例题1 求函数f (x )=x 2+2x +3,x ∈[-3, 4]的最大值与最小值. 解:f (x )=x 2+2x +3=(x +1)+2, x ∈[-3, 4] -1∈[-3, ]4 ∴当x =-1时,f (x )min =2;当x =4时,f (x )max =27
评注:二次函数的最值求法是整个高中求最值问题的基本方法,需牢固掌握.
2
考点2、与基本不等式有关的最值(值域)问题
x 2+4
例题2 分别在下列定义域范围内,求函数y =的最值.
x
(1)x ∈(0, +∞) (2)x ∈[1, 2] (3)x ∈[1, 4] (4)x ∈[1, a ],a >1. 分析:利用基本不等式和函数y =ax +
b
(a , b >0)的图像与性质求解. x
x 2+44
=x + 解:y =x x
(1)∵x ∈(0, +∞),∴x +(2)y =x +
4
≥4(当且仅当x =2时等号成立)∴y min =4,无最大值. x
4
在x ∈[1, 2]上单调递减,∴当x =2时,y min =4;当x =1时,y max =5 x 4
(3)y =x +在x ∈[1, 2]上单调递减,在x ∈[2, 4]上单调递增,当x =1时y =5;当x =2时,
x y =4;当x =4时,y =5,∴y min =4;当x =1时,y max =5.
(4)y =x +
4
在x ∈[1,2]上单调递减,在x ∈[2, +∞]上单调递增 x
4; a
1︒当1
2︒当2<a ≤4时,当x =1时,y max =5;当x =2时,y min =4;
3︒当a >4时,当x =a 时,y max =a +评注:函数y =ax +
4
;当x =2时,y min =4. a
b
(a , b >0)的图像与性质求解时,特别注意单调区间转折点的坐标的求法. x
x 2-4x +12
例题3 求函数f (x )=,x ∈[2, 5]的最大值与最小值.
x -1
分析:本题是上题的推广,利用换元法解决
解:设t =x -1⇒x =t +1, x ∈[2,5]∴t ∈[1,4]
x 2-4x +12(t +1)-4(t +1)+12t 2-2t +99∴y ====t +-2
x -1t t t
∵函数y =t +
2
9
-2在[1, 3]上单调递减,在[3, 4]上单调递增, t
17
又t =1时,y =8;t =3时,y =4;t =4时,y =,∴f (x )min =f (4)=4;
4f (x )max =f (2)=8.
评注:在求y =ax +
围的代换.
b
(a , b >0)与其它函数的复合函数最值时,换元法是常用方法,但需注意x 范 x
考点3、与函数f (x )=x +
例题4 求函数f (x )=x +
a
有关的最值(值域)问题的讨论 x
p
,p ∈R 在x ∈[1, 2]上的值域. x
p
解:当f (1)=f (2)时,1+p =2+,解得p =2,当p >2时,f (1)>f (2)
2
∴f (x )max
p >2⎧f (1)=1+p ,
⎪=⎨. p
()f 2=2+, p ≤2⎪2⎩
1︒ 当p ∈[1, 4]时,p ∈[1, 2],则当x =p 时,f (x )m in =f 2︒当p ∈(4, +∞)时,p ∈(2, +∞),函数f (x )=x +
∴当x =2时,f (x )min =f (2)=2+
p )=2
p ;
p
在[1, 2]上单调递减, x
p ; 2
3︒当p ∈(-∞, 1)时,函数f (x )=x +
p
在[1, 2]上单调递增, x
∴当x =1时,f (x )min =f (1)=1+p .
∴f (x )min
⎧
p
⎪
=⎨f p =2p , 1≤p ≤4. ⎪
⎪f (2)=2+p , p >4
2⎩
)
⎧⎡p ⎤1+p , 2+⎪⎢⎥, 2⎦⎪⎣⎪⎡p ⎤2p , 2+, ⎪p ⎢⎥2⎦ ∴函数f (x )=x +,p ∈R 在x ∈[1, 2]上的值域为⎨⎣
x ⎪2p , 1+p ,
⎪⎪⎡p ⎤⎪⎢2+, 1+p ⎥,
2⎦⎩⎣
p 4
[]
.
评注:当p =0时,f (x )=x 是单调递增函数;
当p
p
在x ∈(-∞, 0)上单调递增. x
考点4、函数最值在恒成立问题上的应用
x 2+2x +a
例题5 已知函数f (x )=,x ∈[1, +∞).
x
(1)当a =2时,求函数f (x )的最小值;
(2)若对任意x ∈[1, +∞),f (x )>0
恒成立,试求实数a 的取值范围. 分析:对于给定范围内的恒成立问题,可利用变量分离转化成基本形式.
x 2+2x +22
解:(1)∵a =2∴f (x )==x ++2≥2(当且仅当x =2时等号成立)
x x
∴f (x )min =f
2)=2
2+2.
x 2+2x +a
>0对任意x ∈[1, +∞)恒成立 (2) 对任意x ∈[1, +∞),f (x )>0恒成立,即
x
2
1⎫1对任意x ∈[1, +∞)恒成立. ∵y =-⎛x +1⎫+1, ⎛ ⎪⇒a >-x -x =- x +⎪+
24⎝⎭24⎝⎭
2
2
x ∈[1, +∞)的最大值是-2 ∴a >-2.
评注:恒成立问题的基本形式:
g (a )≤f (x )对x ∈M 上恒成立⇔g (a )≤f (x )min ;
g (a )≥f (x )对x ∈M 上恒成立⇔g (a )≥f (x )min .
巩固提高 ✧ 效果反馈1.函数y =x 2,, 1]的最小值是此时x =;最大值是,此时x = 2. 函数y =x -
31
,x ∈[-2, -1]的最小值是-x =;最大值是,x 2
此时x = -1 .
3. 函数y =-4x -x 2的最小值是,此时x =,此时x = 4. 函数y =x +
3
,x ∈[1, 3]的最小值是23x
=;最大值是,此时x
5
,此时x = 0 . x =
5. 函数y
2✧ 提炼方法
求函数最值的常见方法有:利用单调性;求反函数定义域;利用函数图像,数形结合; 换元法.
✧ 1. 当时,函数2x +2. 函数y =
2
的值域是(-∞, 0]. x -2
2x -3
,x ∈[0, 4]的最小值是x =;最大值是 x +1
x =
3. 已知函数y =x 2-4x +3在区间[0, m ]上有最大值是3,最小值是-1,则m 的取值范围是
[2, 4].
4. 函数y =
11⎤⎛
-∞, -的值域是 ⎥ (0, +∞). 42x 2-8x +4⎝⎦
x 2-2x +10
5. 函数y =,x ∈(1, +∞)的最小值是x =
x -1
6. 设二次函数y =
123
x -x +的定义域和值域均为[1, m ],(m >1),则实数m 的值为 3 . 22
7. 若奇函数f (x )在区间[1, 3]上是减函数且最大值为5,则f (x )在[-3, -1]上是 ( C ) A .增函数且最小值为-5 B .增函数且最大值为-5
C .减函数且最小值为-5 D .减函数且最大值为-5
2
8. 函数y =sin 2x +的最小值是 ( B )
sin 2x A .2
B .3
C .4
D .不存在
9. 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车
920v
,v >0.
v 2+3v +1600
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少(精确到
0.1千辆/小时)?
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y =
920v 9201600
v >0,∵,∴≥2=80,当且仅当 =v +21600v v +3v +1600v ++3
v 920
v =40时等号成立,∴y ≤≈11. 1
83
∴当汽车的平均速度v 为40千米/小时时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.
920v
>10⇒v 2-89v +1600
v +3v +1600
解:(1)y =
∴汽车的平均速度应在(25, 64)(千米/小时)范围内.
10.记max {a 1, a 2, , a n }为a 1, a 2, , a n 中最大的一个,设f (x )=max |x -2|,-x 2+6x -4,
{}
x ∈[0, 6],画出函数图像,并求f (x )的最值.
⎧2⎛5+⎫
⎪1, ⎪-x +6x -4, x ∈
2⎪⎪⎝⎭
解:f (x )=⎨
⎡5+⎤⎪
[]x -2, x ∈0, 1 , 6⎥⎢⎪2⎢⎥⎣⎦⎩
f (x )的最值是[1, 5].
1
1.当0
222
A .(0, B .(,1) C .(1,2) D .(,2)
22
2.定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a
x ∈[-2, 2]的最大值等于 ( C )
A .-1 B .1 C .6 D .12
3.已知函数f (x )=x 2+ax -1在区间[0, 3]上有最小值-2,求实数a 的值. a
解:0,即a ≥0时,函数f (x ) 在[0,3]上为增函数,
2
此时,f (x ) min =f (0)=-1,不符合题意,舍去; a
3,即a ≤-6时,函数f (x ) 在[0,3]上为减函数,
210
此时,f (x ) min =f (3)=-2,可得a =-,这与a ≤-6矛盾;
3a a
当022∴a =-2.
⎧-x , x ≥-1
⎧x 2, x ≥14.已知函数f (x )=⎨,g (x )=的值域.
⎩x , x
x +, x
解:h (x )=f (x )+g (x )=⎨0, -1≤⎪2
⎪x -x , x ≥⎩
值域是(-∞, -2) [0, +∞).
5.如图,在边长分别为1与a (a >1)的面积
S 的最大值.
解:S =-2x 2+(a +1)x ,x ∈(0, 1],对称轴为x =
a +1
4
2
(a +1); a +1a +1
时,S max =∈(0, 1],即a ∈(1, 3]时,当x =1︒当
844
2︒当
a +1
∈(1, +∞),即a ∈(3, +∞)时,当x =1时,S max =a -1. 4
⎧(a +1)2
∴S max
=⎪
⎨, a ∈(1, 3].
⎪8⎩
a -1, a ∈(3, +∞)
x