定积分的基本公式
第三讲 定积分的基本公式
【教学内容】
1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式 【教学目标】
1．掌握变上限积分函数
2．掌握牛顿－莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿－莱布尼兹公式 【教学过程】
一、引例
一物体作变速直线运动时，其速度v =v (t ) ，则它从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程S ：
S =
⎰
b
a
v (t ) dt
另一方面，如果物体运动时的路程函数S =S (t ) ，则它从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程
S 等于函数S =S (t ) 在[a , b ]上的增量
S (b ) -S (a )
同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ S =
/
b
⎰
a
v (t ) dt =S (b ) -S (a )
∵ S (t ) =v (t ) ∴ S =
⎰
b
a
v (t ) dt =
⎰
b
a
S /(t ) dt =S (b ) -S (a )
二、变上限积分函数
1．定义：如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，那么对于区间[a , b ]上的任一点x 来说，f (x ) 在区间[a , x ]上仍连续，所以函数f (x ) 在[a , x ]上的定积分
⎰
x
a
f (x ) dx
存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间[a , b ]上，把它叫做变上限积分函数，记为Φ(x ) 。即
Φ(x ) =⎰f (x ) dx =⎰f (t ) dt (a ≤x ≤b )
a
a
x x
2．定理1 如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则变上限积分函数
Φ(x ) =⎰f (t ) dt (a ≤x ≤b )
a
x
是函数y =f (x ) 的原函数，即
x d x
Φ(x ) =f (t ) dt =f (x ) 或 d Φ(x ) =d ⎰f (t ) dt =f (x ) dx
a dx ⎰a
/
证 设给x 以增量∆x ，则函数Φ(x ) 的相应增量为
∆Φ(x ) =Φ(x +∆x ) -Φ(x ) =⎰
由定积分中值定理有 ∆Φ(x ) =
x +∆x
a
f (t ) dt -⎰f (t ) dt =⎰
a
x x +∆x
x
f (t ) dt
⎰
x +∆x
x
f (t ) dt =f (ζ) ∆x ( ζ在x 和x +∆x 之间)
∆Φ(x )
=f (ζ) ∆x
因为f (x ) 在[a , b ]上连续，而∆x →0时，ζ→x ，因此
Φ/(x ) =lim
例1 已知Φ(x ) =解 Φ(x ) =
/
∆x →0
∆Φ(x )
=∆x
lim
∆x →0
f (ζ) =lim f (ζ) =f (x )
ζ→x
⎰
x
1
sin t
，求Φ/(x ) . t
s i n x
x
x 2
1/
⎰2ln t (x >0) ，求Φ(x ) . 1x /2/
∙(x ) =解 Φ(x ) =
ln x ln x 2
例2 已知Φ(x ) =例3 已知Φ(x ) =解 ∵Φ(x ) =-
⎰
x
1
x
sin t 2dt ，求Φ/(x ) .
⎰
1
sin t 2dt ∴Φ/(x ) =-sin x 2
x 2x
例4 已知Φ(x ) =解 ∵Φ(x ) =
/
⎰
e -t dt ，求Φ/(x ) .
x 2
-t 2
x
-t 2
x 2
2
2
⎰
x
e dt +⎰e dt =-⎰e dt +⎰e -t dt
-t 2
∴Φ(x ) =-e
-x 2
+e
-x 4
∙2x =-e
-x 2
+2xe
-x 4
三、 牛顿－莱布尼兹公式
定理2 (牛顿－莱布尼兹公式) 如果F (x ) 是连续函数f (x ) 在[a , b ]上的一个原函数，则
⎰
证 由定理１知Φ(x ) =
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
⎰
x
a
f (t ) dt 是函数f (x ) 的一个原函数，又F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，
∴ 在上式中令x =a ，∵
⎰⎰
x
a
f (t ) dt =F (x ) +C
⎰
a
a
f (t ) dt =0，得C =-F (a ) ，代入上式得
x a
f (t ) dt =F (x ) -F (a )
在上式中令x =b ，并把积分变量t 换为x ，便得到
⎰
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
这个公式叫做牛顿－莱布尼兹（Newton －Leibnitz ）公式或积分基本公式，它是计算定积分的基本公式。
b 为了方便起见，以后把F (b ) -F (a ) 记成为[F (x )]b 或F (x ) |a ，于是牛顿－莱布尼兹公式可写成 a
⎰
例5 计算解
1
b
a
f (x ) dx =[F (x )]b a 或
⎰
b
a
f (x ) dx =F (x ) |b a
这定理说明：连续函数的定积分等于被积函数的任一原函数（通常取C =0）在积分区间上的增量。
1
⎰-11+x 2dx .
1
1πππ1
dx =a r c t a x n |=a r c t a 1n -a r c t a -n 1() =-(-) = -1⎰-11+x 2
442
例6 计算解
⎰
3
-1
|2-x |dx .
2
3
2
3
-1
2
-1
2
⎰
3
-1
|2-x |dx =⎰|2-x |dx +⎰|2-x |dx =⎰(2-x ) dx +⎰(x -2) dx
x 22x 2
=(2x -) |-1+(-2x ) |32=5
22
例7 计算
⎰
π
+cos 2x dx .
π
解
⎰
π
+cos 2x dx =⎰
2cos x dx =2⎰|cos x |dx =2[⎰2cos x dx +π(-cos x ) dx ]
2
π
π
π
2
π
=2(sinx |02-sin x |ππ) =22
2
例8 计算解
-2
1
⎰-3x dx .
-2
1-2dx =ln |x ||-3=ln 2-ln 3 ⎰-3x
例9 计算
1
⎰
x 2
1
xe x dx .
2
11x 221x 211
解 ⎰xe dx =⎰e dx =e |0=(e -1)
02022