向量的基本概念 学案
数学必修4 时间___________ 班级___ 组别___ 姓名
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【学习目标】
1. 理解平面向量的含义,向量的几何表示,向量的模。
2. 理解零向量,单位向量,平行向量,相等向量,共线向量的含义,能在图形中辨认相等向量和共线向量。
3. 从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识,充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点.
【重点、难点】
重点:理解零向量,单位向量,平行向量,相等向量,共线向量的含义,能在图形中辨认相等向量和共线向量。
难点:从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识,充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点.
自主学习案
【问题导学】
1.在数学中,把既有 又有 的量叫做向量,而数量是只有 有 的量
2. 有向线段是指具有 的线段,包含三个要素: , , 。以A 为起点,B 为终点的有向线段记作 ,的长度就是 的长度,记作 。
3. 向量可以用表示向量的有向线段的起点与终点字母来表示,如图所示,向量AB :起点A ,终点B 。有向线段的长度表示向量的 ,向量的大小也叫向量的 (或 );有向线段的方向表示向量的 。
4. 长度为 的向量叫做零向量,记作 ,长度等于 个单位的向量叫做单位向量。 5. 方向 或 的 向量叫平行向量,如向量a 与b 平行,通常记 作 ,规定0与任一向量 。
6. 任意一组平行向量都能 到同一条直线上,因此,平行向量也叫共线向量。 7. 长度 且方向 的向量叫相等向量,若向量a 与b 相等,记作 。
【预习自测】
1.下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤密度;⑥路程;⑦功。其中是向量的有( )
A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列说法不正确的是( )
A .方向相同或相反的非零向量是平行向量。
B. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
C. 有公共起点的向量叫做共线向量。
D. 零向量与任一向量共线
3. 已知边长为3的等边三角形ABC ,求BC 边上的中线向量
=
【我的疑问】
【课内探究】
例1.判断下列命题的真假:
(1) 向量AB 的长度和向量BA 的长度相等. (2)向量a 与b 平行, 则b 与a 方向相同.
(3) 向量a 与b 平行, 则b 与a 方向相反.
(4) 两个有共同起点而长度相等的向量, 它们的终点必相同.
(5) 若a 与b 平行同向, 且a >b ,则a >b
(6)由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行。
(7) 如果a =b ,则a 与b 长度相等。
(8) 如果a =b ,则与a 与b 的方向相同。
(9) 若a =b ,则a 与b 的方向相反。
(10)若a =b ,则与a 与b 的方向没有关系。
(11)已知a , b 为两个单位向量,则a =b
例2. 给出下列命题:
(1)若//,//则//。(2)若a =b , b =c 则a =c ,(3)若A,B,C,D 是不共线的四点,且AB =DC , 则四边形ABCD 是平行四边形。 (4)两个向量相等当且仅当它们的起点相同,终点相同(5)不相等的向量不可能是平行向量 (6)若两个单位向量共
a 线,则此两个向量一定相等(7)若a 为非零向量,则一定是单位向量。其中正确的a
命题序号是
例3. 如图,O 是正六边形ABCDEF 的中心,且OA =a ,
(1)写出与a 的模相等的向量,
(2)与a 的长度相等,方向相反的向量有哪些。
(3)写出与a 共线的向量
变式:如图,D,E,F 分别是三角形△ABC 的边AB ,BC,CA 的中点,写出图中与DE , EF , FD 相等的向量。
C
例4.一架飞机从A 向北飞行300千米至B ,然后改变航向,向西飞行300千米至C ,求:
(1) 飞机飞行的路程
(2) 由A 到C 地位移的大小及方向。
【当堂检测】
1.关于零向量,下列说法中错误的是( )
A零向量是没有方向的。 B 零向量的长度是0
C 零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的。
2.给出下列六个命题
(1) 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
(2)
= 则a =±b
(3) 若AB =DC , 则ABCD 是平行四边形
(4) 在平行四边形ABCD 中,一定有=
(5) 若m =n , n =k ,则m =k
(6) 若a =b ,则a //b
(7) 若向量AB 与CD
, 且AB 与CD 同向,则AB >CD
其中正确命题的序号是
3.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,试求(1)与相等的向量
(2)与共线的向量
课后练习案
1. 物理学中的作用力与反作用力( )
A .不是向量 B. 是大小相等,方向相同的向量
C. 是大小不等,方向不同的向量 D. 是大小相等,方向相反的向量
2. 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O ,A,B,C,D 这五点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,与是平行向量的有( )
A. CB B.DB C. BA D. OB
3. 设正三角形ABC 的中心为O ,其边长为a, 则向量AO 的模为
4. 下列4中说法:
(1)单位向量均相等; (2)单位向量均共线;(3)任一单位向量都大于0;(4)单位向量的模都相等。其中正确的是 (填序号)
5. 若一辆汽车从A 点出发向东行使了100千米到达B 点,然后又改变方向,向东偏北500走了200千米到达C 点,最后又改变方向,向西行驶了100千米到达D 点。
(1
)作出向量AB , BC , CD , AD (2)