用优化模型进行数据处理和灵敏度分析
用优化模型进行数据处理和灵敏度分析 作者：张守平 吴波英
来源：《职业·中旬》2009年第11期
一、问题
一桶牛奶可以在甲车间用12h 加工3kg ,或者在乙车间用8h 加工4kg 。假定能全部售出, 且每千克 获利24元, 每千克 获利16元, 现在加工厂每天能得到50桶牛奶, 正式工人总劳动时间为480h, 甲车间的设备每天至多能加工100kg ,乙车间的设备的加工能力足够大。请制定生产计划使获利最大, 并讨论:
若用35元可以买1桶牛奶, 是否作这项投资? 若投资, 每天最多买多少桶牛奶? 若可以聘用临时工人以增加劳动时间, 付给临时工人的工资最多是每小时几元? 若每千克 的获利增加到30元, 是否应改变生产计划?
二、问题分析
该优化的目标是使每天的获利最大, 要作的决策是生产计划, 决策受牛奶供应、劳动时间、甲车间生产能力的限制。将决策变量、目标函数、和约束条件用数学符号及式子表示出来, 就得到了这个问题的优化模型。
三、优化模型
1.决策变量
设每天用X1桶牛奶生产A1, 用X2桶牛奶生产A2。
2.目标函数
设每天获利为Z(元),X1桶牛奶生产3X1(kg)A1,获利24×3X1,X2桶牛奶生产4X2(kg)A2,获利16×4X2故Z=72X1+64X2。
3.约束条件
(1)牛奶供应:X1+X2≤50(桶);
(2)劳动时间:12X1-8X2≤480(h);
(3)设备能力:3X1≤100;
(4)非负约束:X1,X2≥0。
4.优化模型
Max Z=72X1+64X2 (1)
S.t.X1+X2≤50(2)
12X1+8X2=480 (3)
3X1≤100(4)
X1,X2 ≥0 (5)
四、模型分析与假设
1.该实际问题的优化模型的性质
(1)比例性:决策变量对目标函数的贡献, 与该决策变量的取值成正比; 决策变量对约束条件右端项的贡献, 与该决策变量的取值成正比。
(2)可加性:决策变量对目标函数的贡献, 与其它决策变量的取值无关; 决策变量对约束条件右端项的贡献, 与其它决策变量的取值无关。
(3)连续性:决策变量的取值是连续的。
2.假设
(1)A1、A2奶制品单位获利是与各自产量无关的常数, 每桶牛奶加工出 、 的数量和所需时间是与产量无关的常数;
(2)A1、A2每千克的获利是与相互间产量无关的常数, 每桶牛奶加工出 、 的数量和所需的时间是与相互间产量无关的常数;
(3)加工A1、A2的牛奶可以是任意正实数。
五、模型求解
将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号, 在X1～X2平面上作五条直线, 即
L1:X1+X2=50,L2:12X2+8X2=480,L3:3X1=100 L4:X1=0,L5:X2=0。这五条上的线段围成五边形OABCD(如图1), 顶点的坐标为O(0,0),A(0,50),B(20,30),C(100/3,10),D(100/3,0)。