2008年5月全国各地名校试题重组卷(数学文理)

2008年全国各地名校试题选粹（数学）

本试卷三大题22道小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1． 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上。

2． 第1至12小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第13至22题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，答在试题卷上的无效。

3． 考试结束，只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）

(2+i ) 2008(-1+i )

1、(理科) （重庆八中高2008级高三下第二次月考）i 是虚数单位，的虚部是

i

（ ）

A ．2i B ．2 C ．-2 D ．-2i

(文科) （黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）已知α是第二象限的角，

1004

1004

1004

1004

cot α=-

5

，则sin α=（ ） 1211A ． B ．-

55

C ．

5

13

D ．

12 13

2、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）定义集合M 与N 的新运算：M+N={x |x ∈M 或x ∈N 且x ∉M ⋂N }，则(M+N)+N等于（ ）

A 、M

B 、N C、M ⋂N D、M ⋃N

3、（浙江省杭州市2008年第二次高考科目教学质量检测）已知直线a , b , c 和平面m ，直线a //直线b 的一个必要不充分的条件是（ ） （A ）a ⊥m 且b ⊥m （C ）a //c 且b //c

（B ）a //m 且b //m （D ）a , b 与m 所成角相等

4、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）已知函数

f (x ) =a s i n 1[-(a ) x ]+c o s 1[-(a ) x ]的最大值为2，则f (x ) 的最小正周期为（ ）

ππ

A 、 B、 C 、π D、2π

24

5、（东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中第一次高考模拟考试）P 是 ABC 内的一 1

点，AP =(AB +AC ) ，则 ABC 的面积与 ABP 的面积之比为（ ）

3

3

A ．2 B ．3 C ． D ．6

2

6、(理科) （黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）随机变量ξ服从标准正态分布

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A ．0. 025 B ．0. 050 C ．0. 950

D ．0. 975

(文科) （黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1. 2，方差是4. 4，则原来一组数的平均数和方差分别是（ ） A ．81. 2, 84. 4 B ．78. 8, 4. 4 C ．81. 2, 4. 4 D ．78. 8, 75. 6

7、（东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中第一次高考模拟考试）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y =2x 2+1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有（ ）

A ．15个

B ．12个

C ．9个

D ．8个

8、（河北省石家庄市2008年高中毕业班第一次模拟）等差数列{a n }中，a 2+a 10+a 12为定值，则{a n }中的前n 项和一定为常数的是（ ）

A ．S 17 B ．S 15 C ．S 8 D ．S 7

9、（黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）已知奇函数f (x ) 的定义域为

(-∞, 0) ⋃(0, +∞) ，且对任意正实数x 1, x 2, (x 1≠x 2) 恒有

A ．f (cos600) >f (log1

2

o o

3

f (x 1) -f (x 2)

>0，则一定有 （ ）

x 1-x 2

o

3

2)

3

B ．f (cos600) >f (-log 1

2

o

2)

3

C ．f (-cos 600) >f (log1

2

2)

D ．f (-

cos 600) >f (-log 1

2

2)

10、（河北省石家庄市

2008年高中毕业班第一次模拟）如果以原点为圆心的圆经过双曲线x

2y 2

+=1(a >0, b >0)

的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长之比为2∶1的两段圆弧，那a 2b 2

么该双曲线的离心率e 等于（ ）

11、（理科）（重庆八中高2008级高三下第二次月考）如图，

y

22

圆C :(x -1) +(y -1) =1在直线l :y =x +t 下方的弓形（阴影部

分）的面积为S ，面积S 关于t 的函数图象大至为（ ）

O

x

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（文科）设函数f (x ) =

2x +3

，若函数g (x ) 的图象与y =f -1(x +1) 的图象关于直线x -1

y =x 对称，则g (3) 的值为（ ）

79

A ． B ． C ． 3 D ． 5

22

12、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考）设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示

S S S ∆PBC

， λ2 ＝∆PCA ，λ3＝∆PAB ，定义f(P)=( λ1, λ2, λ3), 若G 是S ∆ABC S ∆ABC S ∆ABC

111

△ABC 的重心，f(Q)＝（，，），则（ ）

236

△ABC 的面积，λ1＝

A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置上)

13、（重庆八中高2008级高三下第二次月考）国家发改委去年在其官方网站以“国家法定节假日调整研究小组”名义刊登国家法定节假日调整方案，并解释称调整原因是现行放假制度暴露出一些问题，如传统文化特色仍显缺乏，节假日安排过于集中，休假制度落实不够等，新的调整方案出台后，为更广泛地征求民意。“国家法定节假日调整研究小组”在网上展开民意调查，通过调查发现，对取消“五一黄金周”持“反对”态度的有6%，持“无所谓”态度的占14%，其余的持“赞成”意见，若按分层抽样抽出600人对调整方案进行探讨，则持“赞成”意见者应当抽取的人数为________人.

14、（重庆八中高2008级高三下第二次月考）当x >0时，(x +

1

-1) 3展开式中的常数4x

项为_________.

15、（理科）（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试）设

⎧1--x

•(x

f (x ) =⎨，要使函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续，则a 的值为 x

⎪a +x 2•(x ≥0) ⎩

（文科）（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试）若⎧|x -1|(x ≤0) f (x ) =⎨, 则f [f (-1)]=

⎩log 2x (x >0)

16、（理科）（浙江省杭州市2008年第二次高考科目教学质量检测) 如图，边长为a 的正

∆ABC 中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知∆A 'ED 是∆AED 绕DE

旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有 （只需填上正确命题的序号）。

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（1）动点A '在平面ABC 上的射影是线段AF （2）三棱锥A '-FED 的体积有最大值； （3）恒有平面A 'GF ⊥平面BCED ； （4）异面直线A 'E 与BD 不可能互相垂直； （5）异面直线FE 与A 'D 所成角的取值范围是 0,

⎛⎝

π⎤

。 ⎥2⎦

（文科）（河北省石家庄市2008年高中毕业班第一次模拟）在四个数的两旁各加一条竖线，

a

引进符号：1

a 2

b 1a ，定义1b 2a 2

1

b 1Inx =a 1b 2-a 2b 1。如果函数2，则f (x )在x =1处切线的倾斜b 22

-1x

角为 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若⋅=⋅=k (k ∈R ). （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若c =

2, 求k 的值.

∠A =90︒,AB=1，18、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）已知Rt △ABC 中，

BC=2，D 为BC 的中点，将△ADB 沿AD 折起，使点B 在△ADC 所在平面的射影E 在AC 上. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面BDE;

（Ⅱ）求折起后二面角B ―AD ―C 的大小；

（理科做，文科不做）（Ⅲ）求折起后AB 与平面BDE 所成的角.

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19、（理科）（东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中第一次高考模拟考试）2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为

34，中国乒乓球女队一枚金牌的概率均为 45

（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率； （2）记中国乒乓球队获得金牌的数为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ。 （文科）（黑龙江省哈九中2008年第二次高考模拟考试）某人抛掷一枚硬币，出现正

1

，构造数列{a n }，使得 2

) ⎧1, (当第n 次出现正面时

，记S n =a 1+a 2+ +a n , (n ∈N *) ， a n =⎨

) ⎩-1, (当第n 次出现反面时

（1）求S 4=2的概率；

（2）求前两次均出现正面且2≤|S 6|≤4的概率；

反面的概率都是

20、（江西师大附中、鹰潭市一中2008年高三联考试卷）已知函数

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f (x ) =2x -a , g (x ) =x 2+1. G (x ) =

, H (x ) =f (x ) ⋅g (x ) g (x )

（Ⅰ）当x ∈[-1,1]，求使G (x )

(Ⅱ) 设方程3x -ax +1=0的两根为α, β(α

（x ）在区间[α,

β]上的最大

21、（湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考）在平面直角坐标系中，已知

2

2

O 若实数λ使得λOM ⋅ON =AP A 1(A 2P (x , y ), M (x ,1), N (x , -2) ，1⋅A 2P

（

为坐标原点）

（I ）求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型； （Ⅱ）当λ=

时，若过点B (2,0)的直线l （斜率不等于零）与（I ）中P 点的轨迹交于不同2

的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

22、（理科）（浙江省杭州市2008年第二次高考科目教学质量检测）设数列{x n }的所有

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项都是不等于1的正数，前n 项和为S n ，已知点P n x n , S n 在直线y =kx +b 上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又y n =log 0.5x n 。

（1）求证：数列{x n }是等比数列； （2）如果y n =18-3n ，求实数k ，b 的值；

（3）如果存在t , s ∈N *, s ≠t ，使得点(t , y s )和(s , y t )都在直线y =2x +1上，试判断，

是否存在自然数M ，当n >M 时，x n >1恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．

（文科（湖南省雅礼中学) 2008年高三年级第六次月考）已知函数f (x ) =ax +bx -3x 在

3

2

x =±1处取得极值. （Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；

f (x 1) -f (x 2) ≤4； （Ⅲ）若过点A (1, m )(m ≠-2) 可作曲线y =f (x ) 的三条切线，求实数m 的取值范围．

（Ⅱ）求证：对于区间[-1, 1]上任意两个自变量的值x 1, x 2，都有

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名校试题选粹（数学）参考答案

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．480人 14．-

51 15．（理）（文）1 16．（理）（1）（2）（3）（5）（文）arctan 2

22

„„„„1分

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17、解：（I ） AB ⋅AC =cb cos A , BA ⋅BC =ca cos B

∴bc cos A =ac cos B

∴sin B cos A =sin A cos B 即sin A cos B -sin B cos A =0 ∴sin(A -B ) =0 -π

∴A =B

∴∆ABC 为等腰三角形. （II ）由（I ）知a =b

b 2+c 2-a 2c 2

∴⋅=bc cos A =bc ⋅=

2bc 2

c =2 ∴k =1

又AB ⋅AC =BA ⋅BC

„„„„3分 „„„„5分

„„„„7分

„„„„10分

„„„„12分

18、解：（Ⅰ）在对折图中作BO ⊥AD 于O, 连结OE ，由条件及三垂线定理知OE ⊥AD ， 对照原图知点B 、O 、E 共线，∴在原图中∵BA=BD,∴BE 是AD 中垂线，

∴∠BDE=∠BAE=90，∴CD ⊥DE, 又∵BE ⊥平面ACD, ∴CD ⊥BE, ∴CD ⊥平面BDE „„„„4分

E F

C

（Ⅱ）：由（Ⅰ）知∠BOE 就是二面角B-AD-C 的平面角，

教育库---更新最快的中小学资源库---免费下载 D

13,OE=，∴∠BOE= arccos，

326

1

∴二面角B-AD-C 的大小为arccos „„„„„„„„„„8分

3

如原图，易求得BO=

（Ⅲ）：高考资源网在对折图中作AF ⊥ED 于F, 连结BF ，由条件及知AF ⊥平面BDE , ∴∠ABF 就是AB 与平面BDE 成的角， 如原图，易求得AF=

10

， ∴∠ABF=30 2

故AB 与平面BDE 所成的角为30°„„„„„„„„„„12分

19、(理科) 解：（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件A ，中国乒乓

球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件B ，那么，

⎛3⎫

P (A +B ) =P (A ) +P (B ) =C 1-⎪

⎝4⎭

12

2

3⎫⎛4⎫13⎛4⎫⎛4⎫1⎛3⎫⎛ 1-+C 1-2 ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=50

⎝5⎭⎝5⎭⎝4⎭⎝4⎭⎝5⎭

2

（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量ξ，

它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚）

⎛3⎫

那么P (ξ=0) =C 1-⎪

⎝4⎭

12

2

1⎛4⎫

1-= ⎪

⎝5⎭400

2

2

2

3⎫⎛3⎫⎛4⎫3⎫1⎛1⎛4⎫⎛P (ξ=1) =C 21- 1-+C 1-2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝4⎭⎝4⎭⎝5⎭⎝5⎭⎝4⎭⎛3⎫⎛3⎫⎛4⎫⎛4⎫⎛4⎫

P (ξ=2) =C C 1-⎪ ⎪ 1-⎪⎪+ ⎪

44⎝⎭⎝⎭⎝5⎭⎝5⎭⎝5⎭

1

2

12

2

7⎛4⎫

1-= ⎪

⎝5⎭200

2

⎛3⎫ 1-⎪⎝4⎭⎛4⎫⎛3⎫73

1-⎪ ⎪=

⎝5⎭⎝4⎭400

2

3⎫⎛3⎫⎛4⎫1⎛1⎛3⎫P (ξ=3) =C 21- +C 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝4⎭⎝4⎭⎝5⎭⎝4⎭⎛3⎫

P (ξ=4) = ⎪

⎝4⎭

2

22

⎛4⎫⎛4⎫21

⎪1-⎪=

⎝5⎭⎝5⎭50

9⎛4⎫

= ⎪

⎝5⎭25

2

则概率分布为：

+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=（枚） 那么，所获金牌的数学期望E ξ=0⨯[**************]

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答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为

枚。 10

(文科) （1）S 4=2，需4次中有3次正面1次反面设其概率为P 1

111

=4() 4=„„„„„„„„„„6分 224

（2）6次中前两次均出现正面，且要使2≤S 6≤4则后4次中有2次正面，2次反面或3次

则P 1=C 4()

3

3

1

2

正面一次反面，设且概率为P 2，

1231315

=„„„„„„„„„„12分

222322x -a 2x

220、解：（Ⅰ）由G (x )

2x

在x ∈[-1,1]上的最大值，x=0时y=0 下求y =2

x +2

22x 2

y =2=(x ≠0) 可证其在x ∈(0,1]上是增函数，故在x=1时取最大值

3x +2x +x

2

所以a ＞„„„„„„„„„„6分

3

则P 2=() C 4() () +() C 4() ⋅

2

2

2

2

121212

(2)H (x ) =(2x -a )(x 2+1) =2x 3-ax 2+2x -a H ' (x ) =6x 2-2ax +2=2(3x 2-ax +1)

由α，β是方程

3x 2-ax +1＝0的两根，可知α，β是方程H ' (x ) ＝0的两根

故当∈（α，β）时，有H ' (x ) ＜0，从而H （x) 在[α, β]上是减　函数可得H （α）－H （β）＝8

a

3

13

α＋β＝, αβ=

β-α==

H (α) -H (β) =(α

-β)[2(α+

β) 2-2αβ-a (α

+β) +2]3

==8

3∴a =±„„„„„„„„„„12分

21、解：（I ）由已知可得A 1P =(x y ), A 2p =(x -y ), OM =． 2 2

λ(OM ) =A 1P ⋅A 2P ,

5分

∴λ2(x 2-2) =x 2-2+y 2(x ≥

即P 点的轨迹方程是(1-λ2) x 2+y 2=2(1-λ2)(|x |≥ 7分

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x 2y 2

当1-

λ>0 +=1(|x |≥P 点的轨迹是两个点(．

9分 222(1-λ)

x 2y 2

21-λ

双曲线．

11分 1-λ2=0，即λ=±1时，方程为y =0(x ≥, P点的轨迹是两条射线． 12分

22、（理科）解：（1） 点P n ，P n +1都以直线y =kx +b 上，

∴S n +1-S n =k ，得(k -1)x n +1=kx n 。 x n +1-x n

x n +1k （非零常数） =x n k -1

3分 常数k ≠0，且k ≠1，∴∴数列{x n }是等比数列。

y n ⎛1⎫（2）由y n =log 0.5x n ，得x n = ⎪=8n -6=8-58n -1， ⎝2⎭

∴k 8=8，得k =。 k -17

由P 民在直线上，得S n =kx n +b ，

818-5

令n =1得b =S 1-x 1=-x 1=-。 777

（3）x n >1恒成立等价于y n

存在t , s ∈N ，使得(t , y s )和(s , y t )都在y =2x +1上，

∴y s =2t +1，（1）

y t =2s +1，（2）

(1)-(2)得：y s -y t =2(t -s )，

易证{y n }是等差数列，设其公差为d ，则有y s -y t =(s -t )d ，

s ≠t ，∴d =-2

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QQ ：98709851

(1)+(2)得：y s +y t =2(t +s )+2，

又y s +y t =y 1+(s -1)(-2)+y 1+(t -1)(-2)=2y 1-2(s +t )+4

由2y 1-2(s +t )+4=2(t +s )+2， 得y 1=2(t +s )-1>0，

即：数列{y n }是首项为正，公差为负的等差数列，

∴一定存在一个最小自然数M ，使 4分

⎧⎧y M ≥0⎪2(t +s )-1+(M -1)(-2)≥0 ⎨， 即⎨ y

解得t +s -11

M ∈N ，∴M =t +s 。

即存在自然数M ，其最小值为t +s ，使得当n >M 时，x n >1恒成立。4分

（文科）（Ⅰ）解：f '(x ) =3ax 2+2bx -3，依题意，f '(1) =f '(-1) =0，

即 ⎨⎧3a +2b -3=0， 解得a =1, b =0．

⎩3a -2b -3=0

∴f (x ) =x 3-3x ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）∵f (x ) =x 3-3x ，∴f '(x ) =3x 2-3=3(x +1)(x -1) ，

当-1

f max (x ) =f (-1) =2, f min (x ) =f (1) =-2

∵对于区间[-1, 1]上任意两个自变量的值x 1, x 2， 都有f (x 1) -f (x 2) ≤f max (x ) -f min (x )

f (x 1) -f (x 2) ≤f max (x ) -f min (x ) ≤2-(-2) =4 ………………8分 （Ⅲ）f '(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1) ，

∵曲线方程为y =x 3-3x ，∴点A (1, m ) 不在曲线上．

3设切点为M (x 0, y 0) ，则点M 的坐标满足y 0=x 0-3x 0．

3x 0-3x 0-m 因f '(x 0) =3(x -1) ，故切线的斜率为3(x -1) =， x 0-12

020

整理得2x 0-3x 0+m +3=0．

∵过点A (1, m ) 可作曲线的三条切线，

32∴关于x 0方程2x 0-3x 0+m +3=0有三个实根， 32

设g (x 0) =2x 0-3x 0+m +3，则g '(x 0) =6x 0-6x 0，

由g '(x 0) =0，得x 0=0或x 0=1．

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QQ ：98709851 322

∴函数g (x 0) =2x 0-3x 0+m +3的极值点为x 0=0，x 0=1．

32∴关于x 0方程2x 0-3x 0+m +3=0有三个实根的充要条件是g (1) g (0)

即(m +3)(m +2)

故所求的实数a 的取值范围是-3

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