闭区间套定理的推广及应用

闭区间套定理的推广及应用

摘要：先介绍了闭区间套定理，再把闭区间套定理进行了推广，并得到了

严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．再讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．

关键词：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用.

闭区间套定理是实分析中的一个重要定理．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发推广该定理．

首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间R n 上的闭集套定理．最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用．

1 ． 闭区间套定理在R 1的推广

闭区间套定理是一个基本的定理．所以，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容．

定义1.1 设{[a n , b n ]}(n =1,2,3, ) 是R 中的闭区间列，如果满足： (1) [a n +1, b n +1]⊆[a n , b n ]，n =1,2,3, ； (2) lim(b n -a n ) =0；

n →∞

则称{[a n , b n ]}为R 中的一个闭区间套，或简称区间套．

定理1.1(闭区间套定理) 若{[a n , b n ]}是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，

使得 ： ξ∈[a n , b n ](n =1,2,3, ) 且 lim a n =lim b n =ξ．

n →∞

n →∞

推论1.1 若ξ∈[a n , b n ](n =1,2,3, ) 是区间套{[a n , b n ]}确定的点，则对任意正数ε，存在自然数N ，当n >N 时，总有 [a n , b n ]⊂U (ξ, ε)．

定义1.2 设{(a n , b n )}(n =1,2,3, ) 是R 中的开区间列，如果满足： (1) a 1

n →∞

则称{(a n , b n )}为R 中的一个严格开区间套．

注：定理1.1中的闭区间列的端点有a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤b n -1≤ ≤b 1

如果将闭区间列

{[a , b ]} n =1,2,3, 改成开区间列 {(a , b )}

n

n

n n

⎧⎛1⎫⎫

n =1,2,3, ，定理的结论不成立。例如开区间列 ⎨ 0, ⎪⎬ n =1,2,3,

⎩⎝n ⎭⎭

同样满足定义1.1的两个条件，但不存在任何数ξ属于开区间，即

i =1

(a i , b i )=∅ 。如果开区间列是一个严格开区间列则结论是成立的，即得

∞

到严格开区间套定理。

定理1.2 (严格开区间套定理) 若{(a n , b n )}是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一一点ξ，使得 ξ∈(a n , b n )，n =1,2,3, ， 且 lim a n =lim b n =ξ．

n →∞

n →∞

证明 ：由定义 ，{a n }是一个严格递增且有上界的数列．由单调有界定理，

a n =ξ， 且 a n

n →∞

同理严格递减有下界的数列{b n }也有极限．由定义应有

lim b n =lim a n =ξ， 且 b n >ξ，n =1,2,3, ．

n →∞

n →∞

从而存在ξ∈(a n , b n )(n =1,2,3, ) ．

最后证明唯一性．假如另有ζ，使得ζ∈(a n , b n )，n =1,2,3, ，那么有

ζ-ξ

n →∞

故原命题成立．

定义1.3 设{[a n , b n )}(n =1,2,3, ) 是R 中的半闭半开区间列，如果满足： (1) a 1≤a 2≤ ≤a n ≤

n →∞

则称{[a n , b n )}为R 中的一个严格半闭半开区间套．

（ 类似也可以定义严格半开半闭区间套{(a n , b n ]} ）

定理1.3 (严格半开半闭区间套定理) 如果{(a n , b n ]}是R 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得

ξ∈(a n , b n ]，n =1,2,3, ， 且 lim a n =lim b n =ξ．

n →∞

n →∞

仿定理1.2的证明即可．

2 . 闭区间套定理在一般度量空间上的推广

完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性．具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广．

定义2.1 设H 是一个非空集合，在H 上定义一个双变量的实值函数

ρ(x , y )，对任意的x , y , z ∈H ，有：

(1)(正定性) ρ(x , y )≥0，并且ρ(x , y )=0当且仅当x =y 成立； (2)(对称性) ρ(x , y )=ρ(y , x )；

(3)(三角不等式) ρ(x , y )≤ρ(x , z )+ρ(z , y )；

则称H 为一个度量空间．

定义2.2 设F 是度量空间H 中的一个子集，对于F 中的任意点列{x n }，若当 ρ(x n -x 0) →0(n →∞)， 有x 0∈F ，则称F 为闭集．

定义2.3如果对度量空间(X , ρ)中X 的每一个Cauchy 序列都收敛，则称

(X , ρ)是一个完备度量空间．

定理2.1 设{F n }是完备度量空间H 上的闭集列，如果满足： (1) F n ⊃F n +1(n =1,2,3, ) ；

(2) lim d (F n ) =0(d (F n ) =sup ρ(ξ, ζ)) ；

n →∞

ξ, ζ∈F n

则在H 中存在唯一一点ξ，使得: ξ∈F n ，n =1,2,3, ．

证明: 任意取F n 中的点列{x n }，当m >n 时，有F m ⊂F n ，所以

x n , x m ∈F n ，ρ(x n , x m )≤d (F n ) →0(n →∞) ．

即对于任意给定的实数ε>0，存在整数N >0，使得当i , j >N 时，有ρ(x i , x j )

现证唯一性．如果另有一点ζ，使得ζ∈F n ，n =1,2,3 ．则由定义有

ρ(ξ, ζ) ≤ρ(ξ, x n )+ρ(x n , ζ) ≤2d (F n ) →0(n →∞) ，

从而 ξ=ζ．

故在H 中存在唯一一点ξ，使得 : ξ∈F n ，n =1,2,3, ．

3 . 闭区间套定理在R n （n ≥3）上的推广

进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间─实数空间R n 上推广．为此，先给出一个有用的概念．

定义3.1 对于任意的x =(x 1, x 2,

, x n )，y =(y 1, y 2, , y n )∈R n ，令 ρ(x , y )

=

则称ρ为R n 空间上的距离．

下面验证对于如上定义的ρ，R n 做成完备的度量空间． 证明

对于任意的x =(x 1, x 2,

, x n )，y =(y 1, y 2, , y n )z =(z 1, z 2, , z n )∈R n

(1)

≥0，并且ρ(x , y )=0当且仅当x i

=y i

(i =1,2, ) ，即

x =y ．

(2) ρ(x , y )

=

=

=ρ(y , x ) ．

(3)令u i =y i -x i 和v i =z i -y i 由Schwarz 不等式可以得到

∑n

(u

2

n

2

n

i

+v i )≤

i =1

∑

u

i

＋

＋i =1

∑v 2i

i =1

则

≤

即

≤

所以ρ满足度量的定义，又R n 是完备的 ，故R n 是一个完备的度量空间． 于是可以得到实数空间R n 的闭集套定理：

定理3.1 设{F n }是R n 上的闭集列，如果：

，

(1) F n ⊃F n +1，n =1,2,3 ；

(2) lim d (F n ) =0(d (F n ) =sup ρ(ξ, ζ) ) ；

n →∞

ξ, ζ∈F n

则在R n 中存在唯一一点ξ，使得

ξ∈F n ，n =1,2,3, ．

4 . 闭区间套定理的应用举例

闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从而找到属于每一个区间的公共点．下面就举一个例子说明这一思路．

例1 证明：闭区间上连续函数必有界．

证明： 我们用反证法. 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，假设f (x ) 在闭区间

a +b ⎤⎡a +b ⎤

, b ⎥中a , [a , b ]上无界．将区间二等分，即取[a , b ]的中点a +b ，则⎡⎢⎥和⎢

2

⎣

2⎦⎣2

⎦

至少有一个区间使得f (x ) 在其上无界．(若两个都使f (x ) 无界，则任取其中一

1

个) ，记为[a 1, b 1]， 且 b 1-a 1=(b -a ) ．

2

再将[a 1, b 1]等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上f (x ) 无界，记为

11

[a 2, b 2]， 且 [a 2, b 2]⊂[a 1, b 1]，b 2-a 2=(b 1-a 1) =2(b -a ) ．

22

无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，其中每一个区间[a n , b n ]有如下特性：[a , b ]⊃[a 1, b 1]⊃ ⊃[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]⊃ ，且

b n -a n =

1

(b -a ) →0(n →∞) 及f (x ) 在[a n , b n ]上无界． n 2

n →∞

n →∞

由区间套定理，存在一点ξ∈(a n , b n )（n =1,2,3, ）， 且 lim a n =lim b n =ξ． 又f (x ) 在ξ连续，则对任意的ε>0，存在δ>0，当x ∈(ξ-δ, ξ+δ) 时，有

f (x ) -f (ξ)

由推论1，取n 充分大可使[a n , b n ]⊂(ξ-δ, ξ+δ)，上述不等式与f (x ) 在闭区间

[a n , b n ]上无界矛盾．故f (x ) 在闭区间[a , b ]上有界．

例2：证明：有限覆盖定理，实数闭区间[a , b ]的任一个覆盖E ，必存在有限的子覆盖。

证明：用反证法，

设E 是区间[a , b ]的一个覆盖，但[a , b ]没有E 的有限子覆盖。

记[a 1, b 1]=[a , b ]，二等分[a , b ]，则必有一区间没有E 的有限子覆盖（否则把两区间的E 的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E ’, 则E ’是[a , b ]的E 的有限子覆盖，即[a , b ]有E 的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为[a 2, b 2]。二等分

[a 2, b 2]，则必有一区间没有E 的有限子覆盖，记为[a 3, b 3]。如此继续下去，得

到一组实数的闭区间序列

[a n , b n ],n =1, 2, ，

满足(i) [a n +1, b n +1]⊂[a n , b n ],n =1, 2, ；

(ii)lim (b n -a n ) =lim

n →∞

b 1-a 1

=0。 n n →∞2

故{[a n , b n ]}构成一个区间套，且每个[a n , b n ]都没有E 的有限子覆盖。 则由区间套定理有存在唯一的实数r ，使得r ∈ [a n , b n ]。

n =1∞

又 r ∈[a , b ]∴由覆盖的定义有∃(α, β) ∈E ，使得r ∈(α, β) ，即α

其中A ={a n |n =1, 2, },B ={b n |n =1, 2, }。 r =sup A =inf B ，

故∃a n 1∈A ，使得α

设k =max {n 1, n 2}，则α

参考文献 ：

[1] 谢惠民．数学分析习题课讲义．北京高等教育出版社，2003．7 [2] 李宗铎，陈娓．再谈闭区间套定理的推广及其应用[J]．长沙大学学报

2000，14(4)：4-5．

[3] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，

第2版．

[4] 毛一波．闭区间套定理的推广[J]．渝西学院学报，2005，14(2).

[5] 朱俊恭．关于闭区间套定理[J]．遵义师范学院学报,2002，4(1)：72-73． [6] 常进荣，王林．闭区间套定理的推广及应用[J]．石家庄职业技术学院学报，

2003，15(6)：16-17．