点在圆锥曲线_内部_的作用
【专题研讨】
点在圆锥曲线“内部”的作用
刘润东1，包立巍2（1黑龙江省泰来县第一中学，黑龙江%泰来%162400；2.黑龙江省泰来县第三中学，黑龙江%泰来%162400）
摘要：解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门科学，任何一个解析几何问题的解决都是通过几何图形代数化与代数结果几何化并进行代数计算实现的。这是解析几何的根本，也是高考解析综合题重点考查的思想方法。但在具体解题过程中，是否可以有效地把解析几何问题的“数”“形”、结合起来，将直接影响到解题的效率。
关键词：点；圆锥曲线；解析几何
比较点在圆内、圆上、圆外我们得到：在直角坐标平面上，含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么容易
222
得到：点P（x0、y0）在椭圆x2+y2=1内部的充要条件是x2
aba22222
+y022>a2，结合a>0，得实数a的取值范围是0
。二、对称问题
2例2.已知抛物线（y+1）=x+1上有关于直线l：y=ax对
1；在抛物线y2=2px内部的充要条件是y02”）改为“>”（或“
一、直线与曲线交点问题
x+y=1例1.已知直线L：y=kx+1（k∈R）和椭圆C5m
2
2
称的相异两点，求a的取值范围。
解析：关于求范围问题，主要是建立不等关系，把直线与圆锥曲线方程相联系，根据已知条件转化出相应的关于字母的不等式。但运算量比较大，且有时很难找到相关的不等式。现由作图分析可知，要使抛物线上存在两点关于所给直线对称，则必须确保所给直线与抛物线有两个交点，同时保证这两个交点的中点在所给直线上，且此中点也必须落在抛物线开口内部。解：假设抛物线上存在两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x2≠y2）关于l对称，M（x0，y0）是线段AB的中点，则
2（y1+1）=x1+12（y2+1）=x2+1
恒有交点，试求m范围。解析：本题的常规解法是：把直线代入圆方程中并整理成有关一元二次方程，利用△≥0解之。但解题过程繁杂、运算量大，甚至难以继续进行下去，无法达到目的。
现注意到直线L恒过一个定点P（0，1），则要满足题意直线和椭圆恒有交点，只需要求此定点在椭圆内或02+12≤1，上。从而转化为即1≤1，又知m>0且m≠
5，所以求得m∈[1，5）∪（5，+∞）。评注：以上利用了点在椭圆内部及上部的充要条件，避免了大量的繁杂运算和推理，使问题得到巧妙的解决，出奇制胜，培养了思维简洁性，优化了解题思路。
2
2
类题：若椭圆x+y2=a（a>0）与连结A（1，2）、B（3，4）
姨
圯（y1-y2）（y1+y2+2）=x1-x2将y1+y2=2y0，
y-y=-1，y0=ax0代入上式，得M（-1-1，-1-a。由
x1-x2a2a2
2题意，点M在抛物线内部，∴（y0+1）＜x0+1，即（-1-a+
22
）（a2-2a+2）＜2
1）＜-1-1+1圯a+1-1＜1圯（a+2
2a4a24a
）＜0，0又Qa2-2a+2恒大于0，故（a+2从而求得的取值范
围：-2＜a＜0。
类题：直线l：y=3x+m（m≠0），试问：在双曲线3x2-y2=1的同一支上是否存在关于直线l对称的两点？并说明理由。略解：假设双曲线同一支上存在两点，则两点坐标代入双曲线方程，做差，并结合两点的中点在直线l上及3m两点斜率与直线l的关系，可求出中点坐标（-m。
由题此中点必在双曲线一支的开口内部，则有3×（-m22
-（3m＞1圯-13m2＞24。这显然是不可能的，因此124假设不成立，即在双曲线同一支上不存在关于直线对称的两点。
的线段没有公共点，求实数的取值范围。略解：因为线段AB在第一象限且斜率大于零，由图象知：当椭圆与线段AB没有公共点时，端点A、B同时在椭圆内部或同时在椭圆外部，又由A、B两点坐标的特征知，当A、B两点同时在椭圆内部时，只需3+42
2
圆外部时，只需1+22>a2即可。从而有3+42
2
2
2
【专题研讨】
几种常见的不定方程的求解
凌%梅
（四川省凉山州雷波县卡哈洛中学，四川
雷波
616550）
摘要：本文重点介绍二元一次不定方程、勾股数以及一些特殊的非一次型不定方程的常见解法。关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程
不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受
一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年。“百钱买百鸡”“物不知其数”等堪称中外驰名，、
一直流传至今。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏
姨
x+y+z=100姨姨姨
的数目，就得姨消去z，得7x+4y=100。我1z=100：姨
5x+3y+姨姨
3姨
们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。
1.二元一次不定方程及其求解。最简单的不定方程就是二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。
定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。有d|ad|b，所以d（|ax0+by0）即d|c。充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。即ax0q+by0q=c因此方
y=y0q。对于二元一次不定方程，我程①有整数解x=x0q，
们介绍求x0，y0的三种常用方法：
（1）观察法。例1求不定方程3x+4y=23的非负整数解。解：通过观察x=1，y=5是一个特解。因此不定方程的
x=1+4t1+4t≥0
通解为这里t为任意整数；解不等式组
y=5-3t5-3t≥0
得：-1≤t≤5
因此t=0，1当t=0时，x=1，y=5，当t=1
x=1时，x=5，y=2。因此不定方程的全部非负整数解为：
y=5
x=5y=2（2）辗转相除法。方程ax+by=（a，b）与x+
（a，b）
y=1的解完全相同，又因为求ax+by=1的解即可求（a，b）
出|a|x+|b|y=1的解，因此我们只需讨论求ax+by=1…③的一个整数解的方法，其中（a，b）=1，设a≥b＞1，由③式必
n-1
存在整数M，N，使aM+bN=1…④。且M=（-1）Qn，N=
n
（-1）Pn，在④式两边同乘以c，得acM+bcN=c。因此不定
n-1n
方程（1）的一个整数解是：x0=（-1）QnC，y0=（-1）PnC。其中，P0=1，P1=q1，PK=qKPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qKQk-1+qk-2，k=2，…，n。
（3）降低系数法。降低系数法是普通中学教科书中二元一次不定方程解法的理论依据。例2[1]求107x+37x=25的一切整数解。解：由原方程得：y=25-107x=-2x+25-33x。令y'=25-33x，则y'应该是整数，故得一新的不定方程37y'+33x=25。又x=25-37y'
=-y'+25-4y'。仿前令x'=25-4y'，又得到33x'+4y'=25。又
y'=25-33x'=6-8x'+1-x'取x'=1，得y'=-2所以x=-（-2）
44（-2）=3，+25-4×y=（-2）×3+25-33×3=-8。所以原方3337程的一切解是：x=3-37t，y=-8+107t（t=0，±1，±2，…）。本文开头的张丘建的百钱买百鸡的问题，实际上是求不定方程的非负整数解的问题
2.勾股数。在平面几何里，我们已经学过直角三角
姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨
姨
姨
姨姨
三、一类不等式问题
例3.设a∈R求证：姨+姨≥2姨。解析：此类无理不等式通常采用两边平方或配方法“去根式”或利用基本不等式性质进行证明。但“去根式”比较复杂，而利用性质证，则很难找到相应的出发点，较
+难下手处理。现把不等式化简为姨
≥2姨，则可注意到此相关方程姨
+姨2姨。运用定义法即表示姨
2
椭圆x+y2=1。所以要证原不等式成立，只需证明点P（a，
1）在椭圆上或椭圆外即可。显然a+12≥1，这说明点P
2
（a，1）在椭圆上或椭圆外。不等式即得证。证明过程略。