绝对值的性质及运用

绝对值

知识精讲

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：

⎧a (a >0) ⎧a (a ≥0) ⎧a (a >0) ⎪①a =⎨0(a =0) ②a =⎨ ③a =⎨ -a (a

利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若a +b +c =0，则a =0，b =0，c =0

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a ≥a ，且a ≥-a ；

（2）若a =b ，则a =b 或a =-b ；

（3）ab =a ⋅b ；a a (b ≠0) ； =b b

（4）|a |2=|a 2|=a 2；

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a -b 的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．

【例题精讲】

模块一、绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）

A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4

【例2】下列说法正确的有（ ）

①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．

A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥

【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）

A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．±1

2

【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）

A ．11a B ．-11a C ．-3a D ．3a

【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A ．1，0 B ．正数 C ．非正数 D ．非负数

【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）

A ．7或-7 B ．7或3 C ．3或-3 D ．-7或-3

【例7】若x

x =-1，则x 是（ ）

A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数

【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

A ．1-b ＞-b ＞1+a＞a B ．1+a＞a ＞1-b ＞-b

C ．1+a＞1-b ＞a ＞-b D ．1-b ＞1+a＞-b ＞a

【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）

A ．2 B ．2或3 C ．4 D ．2或4

【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a-b -5|，结果为（ ）

A ．6 B ．-4 C ．-2a +2b +6 D ．2a-2b-6

【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）

A ．y ＞0，x ＜0 B ．y ＜0，x ＞0

C ．y ＜0，x ＜0 D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0

【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x|，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（

A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号

）

⑤a -b -c +b +a -c =-2b ．其中正确的有 ．（请填写番号）

模块二 绝对值的非负性 1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0

2. 绝对值的非负性；若a +b +c =0，则必有a =0，b =0，c =0

【例1】 若a -4=-b +2，则a +b =_______

【巩固】若m +3+n -

b 的值 【例2】(a +1)+b -2=0，分别求a ，27+22p -1=0，则p ＋2n +3m =_______ 2

模块三 零点分段法

1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．

【例1】阅读下列材料并解决相关问题： ⎧x (x >0)⎪我们知道x =⎨0(x =0)，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化⎪⎩-x (x

x =2（称-1，2分别为简代数式x ++x -2时，可令x +1=0和x -2=0，分别求得x =-1，

，在有理数范围内，零点值x =-1和x =2可将全体有理数分成x +1与x -2的零点值）

不重复且不易遗漏的如下3中情况：

⑴当x

⑵当-1≤x

⑶当x ≥2时，原式=x +1+x -2=2x -1

⎧-2x +1(x

⎪⎩2x -1(x ≥2)

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：

（1）别求出x +2和x -4的零点值

（2）化简代数式x +2+x -4

【巩固】化简x ++x +2

【巩固】化简m +m -1+m -2的值

【巩固】化简x +5+2x -3．

【课堂检测】

1. 若a 的绝对值是，则a 的值是（ ）

A ．2 B ．-2 C ． D ．±

2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）

A ．负数 B ．负数或零 C ．零 D ．正数

3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）

A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ≤1 D ．x ≥1

4. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）

A ．5 B ．8 C ．5或1 D ．8或4

121212

【家庭作业】

1. -19的绝对值是________

2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（

A ．a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a ＜0

7. 若3x -2+y +3=0，则y 的值是多少？ x