初中数学易错知识点总汇
初中数学易错知识点总汇
一、运算方法和运算对象
运算方法指加法、减法、乘法、除法、乘方法、开方法等，运算对象指数字、单项式、多项式、分式等。
不论运算对象如何变化，运算方法始终不变，都是这六种运算方法！！！！！ 这六种运算方法分别是：
1、加法：把两个或多个数合并成一个数的方法叫做加法。加法的结果叫做和，凡是求和都用加法。
2、减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，要求另一个加数的方法叫做减法，减法的结果叫做差，凡是求差都用减法。
3、乘法：求多个相同加数的简便运算方法叫做乘法，乘法的结果叫做积，凡是求积都用乘法。
4、除法：已知两个因数的积与其中的一个因数，要求另一个因数的方法叫做除法。除法的结果叫做商，凡是求商都用除法。
5、乘方法：求多个相同因数的积的运算方法叫做乘方法，乘方法的结果叫做幂，凡是求幂都用乘方法。
6、开方法：求一个数的方根的运算方法叫做开方法，开方法的结果叫做方根，凡是求方根都用开方法。
二、五个基本运算律（只对加法和乘法而言） 1、加法交换律：m +n =n +m
2、加法结合律：m +n +k =m +(n +k ) 3、乘法交换律：mn =nm 4、乘法结合律：mnk =m (nk )
5、乘法（对加法的）分配律：m (n +k )=mn +mk ***（初二下增加两个同次根式的运算律） 6、同次根式相乘：n m ∙n k =
n
mk
7、同次根式相除：
m k
=
m k
三、运算顺序
先算三级运算乘方、开方，再算二级运算乘除，最后算一级运算加减，如果有括号，按照小、中、大的顺序进行运算，同级运算必须从左到右依次进行。 四、两个重要法则
1、依据减法法则，把加减法统一成加法。
2、依据除法法则，发乘除法统一成乘法。
五、在实数范围内，0不能做除数，非负数可以开任意次方，负数只能开奇数次方，不能开偶次方。
六、常见的运算结果
25⨯4=100 25⨯8=200 125⨯8=1000 14
=0. 25
2
12
=0. 5
13
=0. 3333⋅⋅⋅⋅⋅⋅
15
=0. 2
18
=0. 125
34
=0. 75 112=121 122=144
1319
6
22222
=169 14=196 15=225 16=256 17=289 18=324
2
334502
=361 11=1331 2=1 2=4 2=8 2=16 2=32
2=64 3=1 3=9 3=27 3=81 3=243 4=1
02345
4=16 4=64 4=256 5=1 5=25 5=125 5=625 25=625 3575
22
2
2340234
=1225 45=7225 95
2
2
=2025 55
2
=3025 65
2
=4225 9=3
=5625 85
2
=9025 4=2 8=22
=23 =4 =32
1、 多位数各数位之间是相加的关系：有个别同学以为351这个数中，300 和50之间是相
乘的关系，但300 ⨯ 50 = 1500 ，1500 显然不等于351 ，实际上它们之间是相加的关系：351 = 300 + 50 + 1 ， 百位上的数字是3 ，它表示的是3个百，因此它应该乘以 100 ，即 351 = 3 ⨯100 + 5 ⨯ 10 + 1 ⨯ 1 ，以此类推，若一个数的个位上是c ，十位上是b ，百位上是 d , 万位上是 a ，那么这个数应该是多少呢？是10000a + 100d +10b + c , 也就是说，任何数位上的数字都只可能是0 ~ 9 中的一个！ 44444的各个数位上都是4 ，但是各个 4 表示的意思却不一样！！！
2、 数 + 单位名称 = 名数，只带有一个单位名称的叫单名数，带有两个或两个以上单位名
称的叫复名数，比如 8 吨 3 千克 ， 4 元 5 角 8 分 ， 5 平方米 6 平方厘米 ，
3 年 6 个月 ， 5 立方米 12 立方厘米 ， 3 米 4 厘米 2 毫米 …… 等等，实际 上，我们经常接触的整数、小数、带分数等等，也可以看成是复名数，在复名数中，高级单位和低级单位之间是相加的关系．即 8 吨 3 千克 ＝8 吨 +3 千克 4 元 5 角 8 分 ＝ ４元 +５角 +８分 3 年 6 个月＝ ３年 + ６个月
3
=3+0. 5=3. 5 3 米 4 厘米 2 毫米 ＝3 米 +4 厘米 +2毫米
22
3. 1415926=3+0. 1415926
=3+
23
23
41
2⨯43⨯1
83
1
1
3、整数与分数相乘时，整数要与分子相乘，比如：
⨯4=
⨯
=
=
4、负数各单位之间是相加的关系：—１２０＝—１００ + （—２０）
-3
1
⎛1⎫
=-3+ -⎪=-3+(-0. 5)=-3. 5 -3. 5=-3+(-0. 5) 2⎝2⎭
5、在任何一个代数式中，通常把各个单项式或加数的括号和它前面的加号省略不写，改写成省略加号的和的形式，如果最前面的第一项是+号也省略不写，比如下面这个式子： ５—７ 表示 （+５）+（—７） ３a — 2b表示 （+３a ）+(—2b)
6、当一个数字与一个或多个字母相乘时，乘号省略不写，并且把数字写在前面，数字与字母之间是相乘的关系。字母与字母相乘时，省略乘号，直接写在一起。比如当7、a 、b 连乘时，a ⨯7⨯b 写作7ab ，n ⨯m 写作mn ，数字与字母之间实际上是相乘的关系。 7、由数字与字母的乘积组成的代数式叫单项式，即没有加减符号连接的代数式，单项式内部是一种连乘的关系，比如
x 3
2
2
2
表示
13
∙x ，
2mn 5
3
表示
25
∙m ∙n ∙n ∙n
8、单项式的系数为１时，通常省略不写，比如 １⨯m 就写成m ；ab 2表示此单项式的系数为1 ，即ab = 1 ⨯ ab ；单项式的系数为—1时，省写为“ — ” ，比如
222
—1⨯ m 就写成—m ；—ab 表示此单项式的系数为—1 ，即—ab = （—1） ⨯ ab 。
9、多项式内部是一种混合运算关系，比如：3a -2b 2表示3∙a +(-2)∙b ∙b
10、加法、减法、乘法、除法的结果分别叫做和、差、积、商，而第五种运算方法“乘方”法的结果叫做“幂” ，当幂指数为1 时通常省略不写，比如 ： a 就写成a ， b 就是b ，8=81 1251=125
1
1
2
11、—a 表示a 的相反数，—（a+b）表示a+b的相反数，
—a 2表示a 2的相反数， （—a ）2表示两个 —a 连乘 ，(-a )=(-a )∙(-a )=a 2
2
(互为相反数的两个数的偶次幂相等)
12、 a -a =0 3ab -3ab =0 (-3)-(-3)=0 相等的两个数或式子的差为零。
13、0 —1 = 0 + （—1）（减去一个数，等于加上这个数的相反数） = —1
0 — a = —a 0 — 3ab2 = —3ab 2 0减去任何数都等于这个数的相反数。
14、0 + a = a 0 + 3ab 2 = 3ab 2 5a 2 + 0 = 5a 2 任何数与零相加都等于它本身。
15、对一个正实数进行开平方时，根指数2通常省略不写，表示对81开平方，就是要
求81的算术平方根， a 表示的就是a 的算术平方根（正的那个平方根）。
1、有理数按符号分为正有理数（简称正数）、0 、负有理数（简称负数），我们平常所说的数就是有理数的简称，一个数就是 一个有理数。0既不是正数，也不是负数，是一个中性数。
2、有理数的正确译法应该是“比数”，任何一个有理数都可以表示成两个整数的比，因此有理数按形式还可以分为整数和分数两种。不能表示成两个整数的比的数，肯定不是有理数。分数是标准的有理数。
3、非负数是正数和0 的合称，有理数分为负数和非负数，因此一个数不是正数就是负数的说法是错误的，还可能是0。常见的非负数有一个数的绝对值、有理数的偶次幂等。 4、一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。绝对值的本质是一种距离，其值是一个非负数。
5、倒数和相反数都表示的是两个数之间的关系，互为倒数的两个数同号（同正或同负），乘积为1 ；互为相反数的两个数绝对值相等（即到原点的距离相等），和为0 。 6、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 7、几个有理数相加减，我们通常写成省略加号的和的形式。 8、有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数。 9、任何一个有理数的偶次幂都是一个非负数。
10、求几个相同因数的积的简便运算叫乘方，它是继加、减、乘、除法之后的第五种运算法。
11、乘方的结果叫幂。乘方的意义：求一个数的几次方，就是求几个这样的数连乘的积。底数是因数，指数表示因数的个数。
12、用加、减、乘、除、乘方、开方等数学符号，把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
13、由数字与字母的乘积组成的代数式叫单项式，即没有加减符号连接的代数式，字母可以有多个，字母的次数也可以为任意正整数。
14、单项式的系数为1或—1时，通常省略不写。单独的一个数或字母也是单项式。
15、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
16、几个单项式的和叫多项式。（几个单项式的差也叫做多项式，因为减法的本质也是加法）
17、在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式，就叫有几项；不含字母的项叫常数项。
18、多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。（请注意多项式的次数不是所有项的次数之和，每一项都包括它前面的符号）
19、单项式与多项式统称为整式。
20、所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的单项式叫同类项。所有的常数项都是同类项。
21、合并同类项的法则：把同类项的系数相加，结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
1、 乘方的意义：乘方是加、减、乘、除后的第五种运算方法，加减法有明显的运算符号，“+”和“—” ，乘除法也有较明显的运算符号，但乘方的运算符号不太明显，只是在书写及两数的位置关系上不同于其他运算方法。
乘方 是求多个相同因数的乘积的运算方法，书写的时候，把因数写在正常位置，把
45
因数的个数写在因数的右上角。3⨯3⨯3⨯3=3 a ∙a ∙a ∙a ∙a =a 加法的结果叫做
和，减法的结果叫做差，乘法的结果叫做积，除法的结果叫做商， 乘方的结果叫做幂。 35 读作3的5次幂或3的5次方。
要求a 与b 的和，用加法，结果a+b是个和的形式；要求a 与b 的差，用减法，结果a —b 是个差的形式；
要求a 与b 的积，用乘法，结果ab 是个积的形式； 要求a 与b 的商，用除法，结果个商的形式；
要求a 个b 连乘，用乘方（法），结果b a 是个幂的形式。***在一个幂的形式中，因数叫做底数，因数的个数叫做指数。
求一个数的几次方，就是求几个这样的数连乘的积。底数是因数，指数表示因数的个数。 2、多个相同因数的乘积可以用乘方法进行运算，多个相同整式的乘积照样可以用乘方的方法进行运算。意义与数的乘方是相同的。（x —y ）3表示3个（x —y ）连乘。
a b
是
(3m +2n )3=(3m +2n )∙(3m +2n )∙(3m +2n )
6
a
3、 幂的运算就是对乘方的结果进行的运算。比如：a m ∙a 5 (x -y )∙(x -y )
(2a +x )m ÷(2a +x )
n
幂的运算指的是幂的乘除，而不对加减进行讨论。同底不同指的幂不能直接进行加减！幂的运算律都是根据乘方的意义推导出来的，一共有四条： 同底数幂的的乘法法则：底数不变，指数相加。a 幂的乘方：底数不变，指数相乘。(a )
m
n
m
∙a
n
=a
m +n
（m 、n 为正整数）
=a
mn
（m 、n 为正整数）
n
n
(ab )积的乘方等于各因数的乘方的积。
=a b
n
（n 为正整数）
m
同底数的幂相除，底数不变，只对指数作减法运算，即a ÷a
n
=a
m -n
（a≠0，m 、n 都是正
整数，并且m>n），必须注意：法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是数，也可以是式（单
项式或多项式），指数都是正整数；对于含有三个或三个以上的同底数幂相乘除，法则仍然成立。 **幂的运算律的重点和难点是逆运算，要对乘方的意义有深刻的理解才行。
a
m +n
=a
mn
m
∙a a
n mn
=(a
nk
n
)
m
=(a
n
n
m
)
n
n n
a b =(ab ) a
n
m -n
=a
m
÷a a
n m +n +k
=a
m
∙a ∙a
n k
a
mnk
=(a )
k
=(a
mk
)
a
n
=(a )
m
a b c d
n n
) =(a b c d
n
m
a -b -c +d -e +f
=m ÷m ÷m ∙m
b c d
÷m ∙m
3
3
e f
3
请比较(2a )=2a ∙2a ∙2a =8a 而2a =2∙a
3
(-ab )3
=
[(-1)∙a ∙b ]3=(-1)∙a ∙b
3
3
3
3333
=(-1)∙a ∙b =-a b **** —ab 表示（—1）∙ab
*****
单项式的系数为1时，1通常省略不写，系数为—1时，写作—。
4、 单项式与单项式相乘：系数相乘作为系数，相同字母的幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数）
说明：由数字与字母的乘积组成的代数式叫单项式，即没有加减符号连接的代数式，首先要明确单项式内部是一种连乘的关系， 当一个数字与一个或多个字母相乘时，乘号省略不写，并且把数字写在前面，数字与字母之间是相乘的关系。字母与字母相乘时，省略乘号，直接写在一起。
5、 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。注意多项式各项应该包括符号。
说明：几个单项式的和叫做多项式，单项式与多项式相乘，实际上就是乘法对加法的分配律，小学阶段的运算律（加法的交换律、结合律、乘法的交换律、结合律、乘法的分配律）在初中同样适用！！
6、 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加；结合小学的多位数的乘法的列竖式计算来理解。
说明：计算的时候，只保留一个多项式，其余的全看成一个数，就可以运用乘法分配律进行计算了，然后再照此方法继续往下算，直到变成单项式与单项式相乘，最后不要忘了合并同类项（所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的单项式叫同类项）
7、 平方差公式：两数和乘以它们的差，等于这两数的平方差。(a+b)(a-b)= a2-b 2 说明：平方差公式的特点：
(1) 左边有两个二项式相乘，这两项中有一项a 完全相同，另一项b 和—b 互为相反数。
(2) 右边是两项的平方的 差（相同项的平方减去相反数的平方）（互为相反数的偶次幂相等）
(3) 公式中的 a 和 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式。
10、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上这两个数的乘积的2 倍。(a∓b) 2= a2∓2ab+b2 其特点是：
（1） 左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式。
（2） 右边的三项中，有两项是左边每一项的平方，另一项是左边两项乘积的2倍。 （3） 当左边两项符号相同时，2ab 为正，当左边两项符号相反时，2ab 为负。 （4） 公式中的 a 和 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式。
11、因式分解的概念：将多项式化为整式的乘积的形式，因式分解是整式乘法的逆运算，它只不过是将一个多项式变了一种形式，左右两边是相等的，多项式的值并没有变。常用公式有以下这些：
a 2+2ab+b2=(a+b)2 a 2-2ab+b2=(a-b)2 合成一个公式就是
a ±2ab +b
2
2
=(a ±b )
2
2
22
a 2-b 2=(a+b)(a-b) a +b =(a ±b ) 2ab
3
2
2
3
3
3
2
2
3
3
3
3
2
2
a +3ab+3ab+b=(a+b) a -3a b+3ab-b =(a-b) a +b=(a+b)(a-ab+b) 3322a -b =(a-b)(a+ab+b)
首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘排第三，分组分得要合适，若是二次三项式，可用求根公式试，几法若都行不通，拆项添项试一试。 一、幂的运算（乘方的结果叫幂，有底数，有指数）
(a -b )m ∙(a -b )n =(a -b )
mn
m +n
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
[(x +y )]
(xy z )
2
m
m n
=(x +y )
m
2m
m
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
=x y z 积的乘方等于各因数的乘方的积。
二、整式（单项式和多项式统称为整式） 的乘法
1、单项式与单项式相乘：系数相乘作为系数，相同字母的幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 3x ∙2xy =3∙2∙x ∙x ∙y =6x y
2、单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。
2
3x 2y -6k
(
2
)=3x ∙2y -3x ∙6k
2
=6xy -18xk
2
3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加。（最后不要忘记合并同类项）
⎛3x 2+2m -c ⎫(4y +2c -3m )=3x 2(4y+2c -3m)
⎪⎝⎭= +2m(4y+2c -3m) -c(4y+2c -3m)
3x ∙4y +3x ∙2c -3x ∙3m +2m ∙4y +2m ∙2c -2m ∙3m -c ∙4y -c ∙2c +c ∙3m =
12x y +6x c -9x m +8my +4mc -6m -4cy -2c +3cm =12x y +6x c -9x m +8my +7mc -6m -4cy -2c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
三、乘法公式
1、平方差公式：两数和与差的乘积，等于它们的平方差。
(3x +2y )(3x -2y ) =(3x ) -(2y ) =9x -4y
2、完全平方公式：两数和的平方，等于两数的平方和与两数乘积的2倍的和。
2222
(3m +2n )2(3m -2n )
2
=(3m )+2∙3m ∙2n +(2n )=9m +12mn +4n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=(3m )+2∙3m ∙(-2n ) +(-2n ) =9m -12mn +4n
首平方，尾平方，首尾2倍在中央。
1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形。
2、 平行四边形的对称性：它是中心对称图形，对称中心就是对角线的交点。 3、 平行四边形的特征： （1） 对边分别平行
（2） 对边相等。
（3） 对角相等，邻角互补。 (4) 对角线互相平分。
4、 两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离，平行线间的距离处处相等。 5、 平行四边形的识别方法： （1） 两组对边分别平行 （2） 一组对边平行且相等 （3） 对角线互相平分 （4） 两组对角分别相等 （5） 两组对边分别相等 6、 平行四边形的面积：底 * 高 7、 矩形的特征： （1） 对边平行且相等 （2） 四个角都是直角
（3） 对角线互相平分且相等 （4） 既是轴对称又是中心对称 （5） 面积等于长乘以宽 8、 菱形的特征：
（1） 对边平行且四条边都相等 （2） （3） （4） （5）
对角相等，邻角互补 对角线互相垂直平分
既是轴对称又是中心对称 面积等于对角线乘积的一半
9、 正方形的特征：
（1） 对边平行且四条边都相等 （2） 四个角都是直角
（3） 对角线互相垂直平分且相等 （4） 既是轴对称又是中心对称
（5） 面积等于边长的平方
10、等腰梯形的特征：同一底上的两个内角相等，两条对角线相等
11、等腰梯形的识别：同一底上的两个内角相等，或两条对角线相等的四边形是等腰梯形 12、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 13、一个不等式的所有解的集合，简称这个不等式的解集 14、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
15、解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1 16、旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化，对应线段的夹角就是旋转角。
17成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，对应线段平行（或在一条直线上）且相等。
1、解一元一次方程的口诀：
去分母，去括号，移项要变号，合并同类项，系数变为1(幺) 。 2、去括号与添括号法则：
负变正不变，要变全部变。
3、有理数的加法运算：（1）同号相加一边倒； （2）异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 4、平方差公式：平方差，平方差，两数和乘两数差 a 2-b 2=(a +b )(a -b )
5、完全平方公式：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央
a
2
±2ab +b
2
=(a ±b )
2
*注：两个数的平方和 加上 两个数的积的2倍，等于这两个数的 和 的平方。 两个数的平方和 减去 这两个数的积的2倍，等于这两个数的 差 的平方。
6、“十字相乘法”:首尾分解，交叉相乘，求和试中
7、一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，大小小大取中间, 大大小小取不了。
8、绝对值不等式的解集
若｜ｘ｜＞ａ，则 ｘ＞ａ或ｘ＜－ａ, 若｜ｘ｜＜ａ，则 －ａ＜ｘ＜ａ 口诀：“大鱼取两边，小鱼取中间”。
9、合并同类项, 口诀不能忘, 系数相加减, 字母不变样 (合并指同类项相加减，而不是相乘除) 10、要求机会很简单，首先画根分数线，欲求数目在上面，总的数量写下边。分步事件要注意，步步相乘记心间 11、因式分解的方法口诀
首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘排第三，分组分得要合适， 若是二次三项式，可用求根公式试，几法若都行不通，拆项添项试一试。
12、平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，对角相等也有用，“两组对角”才能成。
13、一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。 14、恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。（a —b ）
2n+1
=—（b —a ）（a —b ）=（b —a ）
15、“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）
16、二次根式：a 的平方的算术平方根化简为a 的绝对值时：去帽子，加杠子，不加杠子挨扳子
a
2
2n+1 2n 2n
=a （a 为任意实数）
17、一元二次方程求根公式：
分母是2a ，分子含-b ，正负根号下，判别式占据。 x =
-b ±
b
2
-4ac
2a
18、自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。
19、函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍, 左正右负须牢记, 上正下负错不了”。