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正三角形在几何证明中的应用
一、基本知识 等边三角形:有三条边相等的三角形叫等边三角形又称为正三角形。
等边三角形的性质:A:三条边相等B:三个角都是60°C:具有等腰三角形的所有性质
等边三角形的判定
A:定义B:三个角都是60°的三角形是等边三角形C:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
二、例题讲解
例1:如图,ΔABD、ΔACE都是等边三角形,求证:BC=DE,
变式一:将ΔABC顶点向BC边靠近,即ΔACE绕C逆时针旋转,ΔABD绕B顺时针旋
转至A,结论BE=DC是否成立?题2:如图ΔABD、ΔAOE都是正Δ,求证:DC=EB
分析:此时图中∠BAC是钝角,DC、BE在ΔABC外部,证明方法同例1相同,说明DC=BE的等量关系不变。 题3:如图,点A为线段BC上一点,ΔABD和ΔACE都是等边三角形,求证:BE=DC。
分析:此题中,A点落于BC上,证明方法仍与例1相同
简证
∵BA=DA
∠BAE=∠DAC
AE=AC
∴ΔBAE≌ΔDAC (SAS)
∴BE=DC
说明:如果AC绕A点任意旋转一个角度,BE=DC结论仍然成立,如下述题4、题5。(作为巩固练习)
题4:如图ΔABD和ΔACE为正Δ,求证BE=DC 提示:证明ΔADC≌ΔABE (SAS)
题5:如图,ΔABD和ΔACE为正Δ,求证:BE=DC
提示∠DAC=∠BAE 证明ΔADC≌ΔABE
三、拓展与迁移
变式二:前面以AB、AC的边作正三角形时结论BE=DC,若以AB、AC、BC为边作等边Δ,仍有相应结论,如例2。 例2:如图,ΔABD、ΔACE、ΔBCF都是等边三角形。
求证:
BE=DC=AF
证明:
∵ΔABD、ΔACE为等边三角形
∴AB=AD、AC=AE
∠1=∠2=60°
∴∠1+∠BAC=∠2=∠BAC
即∠DAC=∠BAE
在ΔDAC与ΔBAE中
∴ΔDAC≌ΔBAE (SAS) ∴BE=DC
同理DC=AF即BE=DC=AF
例3:如图,点A为BC上一点,ΔABD、ΔACE都是等边三角形
求证:
(1)AM=AN
(2)MN//BC
(3)∠DOM=60°
(4)AO+OD=0B
(5)AO平分∠BOC
简证:(1)首先证明ΔADC≌ΔAEB (SAS)
再证明:ΔDAN≌ΔBAM或ΔCAN≌ΔEAM 因此,AM=AN
(2)由(1)AM=AN
∵∠DAB=∠EAC=60°∴∠MAN=60°∴ΔAMN为正Δ ∴∠NAC=∠MNA=60°∴MN//BC
(3)在ΔDMO与ΔBMA中 ∠ODM=∠ABM∠DMO=∠BMA(对顶角相等)
∴∠DOM=∠MAB=60°(对ΔDNEΔANC是同样可证明这个结论)
(4)在OB上取点P使OP=OD,
∵∠DOB=60°∴ΔDOP为正Δ∴OP=PD=OD, DB=DA, ∠BDP=∠ADO=60°-∠PDA
∴ΔBDP≌ΔADO ∴BP=OA∴OB=OD+OA
(5)根据(4)∠BPD=∠DOA=120° 而∠DOB=60° ∴∠BOA=60°
∵∠DOB=∠EOC=60° ∴∠BOC=120° ∴∠BOA=∠AOC=60° ∴OA平分∠BOC
变式三,在例1中,以AB、AC为边作正三角形换成正方形、正五边形、正六边形时,BE=DC,如题8
题8:如图,四边形ABFD和四边形ACHE为正方形,求证:(1)DC=BE;(2)若过A作AM⊥BC交DE于N,求证DN=NE
说明:同理若例2中,把ΔABC的三条边作正方形时,仍有相同结论。或
者将ΔABC换成四边形ABCD,以AB、BC、CD、DA为边作正Δ,可以探索一下
结论是否会发生变化?