关于量子力学中表象问题的讨论
关于量子力学中表象问题的讨论
冯小源
华中师范大学物理科学与技术学院2006级基地班
摘要：表象问题是量子力学中一个重要而基本的问题，国内诸多教材对表象
问题，特别是表象变换的具体问题，或点到即止或说法不一，本文针对表象及表象问题作了详细讨论，并对不同教材中关于表象变换表述的分歧作了分析。
关键词 波函数 叠加原理 表象 表象变换
1、表象的引入
量子力学与经典物理在描述物理体系的方法上截然不同，其根本原因在于微 观体系的运动规律具有不确定性和统计规律。de Broglie的波粒二象性学说引导
v
人们找到了描述微观体系状态的恰当方法—状态波函数ψ（r,t）。按照Born 的统计
v
诠释，波函数作为一个复函数，本身没有物理意义，它的意义在于发现粒子处于r 处的概率
2v 【1】
，在此约束条件下，波函数应满足单值，连续，有限的标准条件。如果为dr 3
知道了波函数，粒子处于空间某点的几率，力学量的平均值均可求得，因此说波函数完全描述量子体系的运动状态足叠加原理：
【2】
，因此波函数也称态函数。量子力学的另一基本假设为波函数满
ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+⋅⋅⋅+c n ψn （1）
ψn 是体系的可能态（本征态），c k 为发现体系处于相应本征态ψk 的概率，满足：
2
∑c k =1 （2）
k =1
n
2
它的物理意义是，量子体系的一般状态是所有本征态的线性叠加。当我们对某一力学量进行
跟踪测量时，量子态将坍缩为某一本征态，因此，所测得的物理量是这个本征态对应的本政值。
作为一组描述量子体系的本征函数系，函数之间应满足正交，归一，完备性。正是由于本征函数系的这种性质，可以引入Hilbert 空间，将本征函数看做Hilbert 空间的基矢，即态矢。任何非空的Hilbert 空间具有正交归一完备基的最大优势，是对于给定的矢量，通过内积便很容易定出未知系数
【3】
，即叠加原理中的展开系数c k 。
某一力学量的本征函数系所构成的Hilbert 空间就构成了这一力学量的表象。换言之，表象就是Hilbert 空间的“坐标系”，坐标系的基就是力学量的本征矢完备系
【2】
。在量子力
学中研究不同问题需要采用相应的表象，就如同经典物理中适当得选取坐标系研究具体问题一样。表象变换就是Hilbert 空间中的“坐标变换”，是量子力学中的一个基本问题。
2、表象变换
在经典物理中，不同坐标系之间可以互相变换，例如，直角坐标系（x,y,z ）和球坐标系之间的变换关系：
⎧x =r sin θcos ϕ⎪
⎨y =r sin θsin ϕ （3） ⎪z =r cos θ⎩
量子力学中，不同表象之间也可以进行相应变换。某一力学量（量子力学中力学
）的表象可表量用算符表示，在以后的讨论中不加区分，且省略算符符号“∧”
⎛ψ1⎞
⎜⎟ψ
示为一个n 行1列矩阵⎜2⎟，而力学量在某一具体表象下对应于某个矩阵，这是一个
⎜M ⎟⎜⎟⎝ψn ⎠
厄米矩阵，如某一力学量在自身表象下是由该力学量本征值所构成的对角矩阵
【4】
，力学量
在不同表象下的矩阵形式是不同的，下面详细讨论一下力学量在不同表象之间的变换问题。
⎛ψ1⎞
⎜⎟⎜ψ2⎟
如果已知力学量G 表象下的态矢i ，i 表示G 的本征函数系⎜M ⎟第i 行本征矢，力
⎜⎟⎜ψi ⎟⎜M ⎟⎝⎠
学量F 和态矢a 在G 表象下的矩阵形式为F ij =i F j , a i =i a （a i 是a 在G 表象下的分量形式）。当然，我们想直接求出F ij ，a i 是不可能的，因为力学量F 和态矢a 对应的矩阵是Hilbert 空间中的抽象矩阵，形式未知，假设我们知道F 和a 在已知表象Q 表象下
⎛ψ1⎞
⎜⎟⎜ψ2⎟
的表达形式F nm =n F m , a n =n a ，n 表示力学量Q 的本征函数系⎜M ⎟的第n 行态
⎜⎟⎜ψn ⎟⎜M ⎟⎝⎠
矢，则问题转化为表象间的变换问题。
由已知条件可得如下表达式：
a i =i a （4） F ij =i F j （5）
利用Q 的本征矢的完备性：
∑n
n
n =1 （6）
插入上两式：
a i =i a =i 1a =∑i n n a =∑i n n （7）
n
n
F ij =i F j =i 1F 1j =∑i n n F m m j =∑i n nm m j （8）
n , m
n , m
令S in =i n , 则如果将所有元素按i 为行n 为列排列，则为一矩阵：
⎛S 11⎜
S =[S in ]=⎜S 21
⎜M ⎝
S 12L ⎞⎛i 1n 1
⎟⎜
S 22L ⎟=⎜i 2n 1
⎜M L ⎟⎠⎝M
【4】
†
i 1n 2
i 2n 2M
∗
L ⎞⎟
L ⎟ (9) L ⎟⎠
∗
(l n k 代表i =l n =k ),S 是厄米矩阵（4）（5）式变为： (S †) ni =n i ，
%，利用i n ，即S =S
=n i ，则矩阵元
a i =∑S in a n （6）
n
F ij =∑S in F nm (S †) mj （7）
n , m
进一步表示为：
a (G ) =Sa (Q ) （8） F (G ) =SF (Q ) S † （9）
可见矩阵S 即为力学量F 和态矢a 从Q 表象到G 表象的变换矩阵。进一步讨论，力学量G 在自身表象下的本征值方程为：
G i =g i i （10）
左乘n ，插入Q 表象的单位算符1=∑n n ，得：
n
n G i =g i n i n G 1i =g i n i
（11）
∑
m
n m m i =g i n i
即：
⎛n 1G m 1
⎜
⎜n 2G m 1⎜M ⎝
n 2G m 2
n 2G m 2
M
L ⎞⎛m 1i ⎞⎛n 1i ⎞⎟⎜⎟⎜⎟
L ⎟⎜m 2i ⎟=g i ⎜n 2i ⎟ （12）
⎟⎜M ⎟L ⎟⎜⎠⎝M ⎠⎝⎠
简写为：
G (Q ) ψi (Q ) =g i ψi (Q ) （13）
⎛n 1i ⎞
⎟(Q ) ⎜上面方程的意义是力学量G 在Q 表象下的本征值方程，ψi =⎜n 2i ⎟为力学量G 在Q 表
⎜M ⎟⎝⎠
象下的本征矢，将其转置变为i n 1
(
i n 2
L )，即G 在Q 表象下的本征矢按行排列，
即为S 矩阵的第i 行。所以，只需在Q 表象下求解G 的本征值方程，并将所得本征矢按行
排列，就得到变换矩阵。
有待商榷的是，有的量子力学教材中的力学量变换矩阵S ′，是将G 在Q 表象下的本征矢按列排列得到的，如文献【2】，这样得到的矩阵S ′与本文中推导所得的矩阵S 是厄米共轭的，即S ′=S ，若以S ′为变换矩阵，（8）（9）式就变为：
†
a (G ) =S ′†a (Q ) （14） F (G ) =S ′†F (Q ) S ′ （15）
这样会导致一个后果，若以S ′为算符F 的变换矩阵，显然由态矢的变换式得变换矩阵应为
S ′†，态矢变换和力学量的变换描述不统一，而按本文中推导，就避免了这一矛盾，与文献
【4】的描述统一。
3、结束语
量子力学之所以难理解，一方面是由于它的描述方法的特殊，导致许多结论与我们的“经验常识”严重抵触，另一方面就在于表象及表象变换的抽象，波函数的叠加原理是表象及表象变换的基础。要正确理解表象就要求我们深入理解波函数及波函数的叠加原理。
参考文献
【1】 【2】 【3】 【4】
曾谨言著，《量子力学》卷Ⅰ（第四版），科学出版社（2007）。 汪德新著，《量子力学》（第三版），科学出版社（2008）.
何卫中，Hilbert 空间在量子力学中的应用，广西工学院学报，1999年3月。 刘连寿主编，《理论物理基础教程》，高等教育出版社（2003）。