高三数学集体备课记录[命题及其关系.充分条件与必要条件]

高三数学（理）集体备课记录

实施教学过程

一、 考点知识自主梳理

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的 条件，同时q 是p 的 条件；

(2)如果p ⇒q ，但q p ，则p 是q 的 条件； (3)如果

p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的 条件；

(4)如果q ⇒p ，且p

(5)如果p

思考辨析

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“x 2＋2x －3

(2)命题“α＝

α≠1”．( )

(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( )

(4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )

(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( ) ππ，则tan α＝1”的否命题是“若α＝，则tan 44q ，则p 是q 的 条件； q ，且q p ，则p 是q 的 条件．

二、考点题型自主探究

题型一 命题及其关系

例1 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )

A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数

C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数

(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A ．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D ．假，假，假 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；

②如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二 充分必要条件的判定

例2 (1)设正数a ，b 都是不等于1，则“3a ＞3b ＞3”是“loga 3＜log b 3”的( )

A ．充要条件 B．充分不必要条件

C ．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

m 1(2)一次函数y ＝－＋n n

是( )

A ．m >1，且n 0，且n

(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；

(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．

题型三 充分必要条件的应用

例3 已知P ＝{x |x －8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．

引申探究

1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．

2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组) 求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

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三、课时小结

思想方法应用

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例 (1)已知p ：(a －1) ≤1，q ：∀x ∈R ，ax －ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)已知条件p ：x ＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3] 温馨提醒 (1)本题用到的等价转化

①将¬p ，¬q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．

②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．

(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．

方法与技巧

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充要条件的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．

(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．

失误与防范

1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言． 222

四、课后作业

《练出高分》 P 270