三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投

z1z2

D

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)dz]d



D

z1z2

如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面

Dz

c2

c1

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zc1与zc2之间，即z[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d，完成

Dz

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分F(z)dz，完成“后

c1

c2

一”这一步。f(x,y,z)dv[f(x,y,z)d]dz



c1Dz

c2

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)

（1） D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2） D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2y2),f()时，

可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，

可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。

y

x

三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)

的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而

中只要z[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲

面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面xyz1与三个坐标面



x0,y0,z0围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D. 2. “穿线”0z1xy

X型 D：

0x10y1x

0x1

∴：0y1x

0z1xy

3.计算

1

1x

1xy

1

1x

Izdxdydzdxdy



1



zdzdx

111x(1xy)2dy[(1x)2y(1x)y2y3]10dx2203

1

11311

(1x)3dx[xx2x3x4]1 0

6062424

解2“截面法”1.画出。2. z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z 3.计算

1

1

1

Izdxdydz[zdxdy]dzz[dxdy]dzzSDzdz



Dz

Dz

1111

z(xy)dzz(1z)(1z)dz(z2z2z3)dz

22202400

补例2：计算x2y2dv，其中是x2y2z2和z=1围成的闭区域。 解1“投影法”

zx22y2



1.画出及在xoy面投影域D. 由z1消去z，

111

得x2y21即D：x2y21

2. “穿线”x2y2z1，

1x1

X型 D： 22

xyx1x1



∴ :x2yx2

22xyz1

3.计算

1

1x

1

1

x2





x2y2dvdx

1

dy

2

1xxy

2

2

x2y2dzdx

1

x2

x2y2(1x2y2)dy



6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出。 2. z[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z2

02

Dz： 

0rz

02

用柱坐标计算 :0rz

0z1

3.计算

1





xydv[

0Dz

22

12z

xydxdy]dz[drdr]dz2[r3]0dzz3dz

33060000

2

2

2

12z11

补例3：化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中：



zx22y2及z2x2所围成的闭区域。

解：1.画出及在xoy面上的投影域D.

22

zx2y2由 消去z，得x2y21 z2x

即D： x2y21

2.“穿线” x22y2z2x2

1x1

X型 D： 22

xyx

1x1

：x2yx2

x22y2z2x2

1

x2

2x2

3．计算 If(x,y,z)dxdydzdx



1

1x2

dy

x22y2

f(x,y,z)dz

注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算zdv，其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。



解1“投影法”

1.画出及在xoy面投影域D， 用柱坐标计算

xrcos



由yrsin 化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

zzz6r202

得r2 ∴D：r2 即2.解

0r2zr

“穿线”

02

rz6r2 ∴:0r2

rz6r2

2

2

6r2

2

6r2

3．计算

2

zdv[



D



r

zdz]rdrddrdr



r

1r2

zdz2r[z2]6dr r

20

2

22

2

r[(6r)r]dr(36r13r2r5)dr

92

。 3

解2“截面法”

1.画出。如图：由z6r2及zr围成。 2. z[0,6][0,2][2,6] 

12

1由z=r与z=2围成； z[0,2]，Dz：rz

02

1：0rz

0z2

2由z=2与z=6r2围成； z[2,6]，Dz：rz

02

2：0r6z

2z6

2

6

3.计算

=zdvzdvz[rdrd]dzz[rdrd]dz zdv



1

2

Dz1

2

Dz2

2

6

2

2

6

2

2

3

6

zSDz1dzzSDz2dzz[(z)]dzz[(6z)]dzzdz(6zz2)dz

2

2

2

92

3

注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算(x2y2)dv，其中由不等式0ax2y2z2A，z0所

确定。

xcossin



解：用球坐标计算。由ysinsin得的边界曲面的球坐标方程：aA

zcos

P，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的 夹角为。



∴：aA，0，02

2



2

2

2

2

A

2

2

2

2

15A3

(xy)dvdd(sin)sind2sin[]ad =500a0



225252455

(Aa)sin3d(Aa5)1(Aa5) =553150

三重积分的计算方法练习

（x2y2)dv，1. 计算其中是旋转面x2y22z与平面z=2,z=8所围

成的闭区域。

2. 计算（xz)dv，其中是锥面zx2y2与球面zx2y2所



围成的闭区域。

为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。