初中数学一题多解
初中数学的一题多解 某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋,共用去9.25元;如果买2个鸡蛋,4个鸭蛋,3个鹌鹑蛋,则共用去3.20元,试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需多少钱?
解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元,则根据题意,得 ⎧13x +5y +9z =9. 25 ⎨. ⎩2x +4y +3z =320
分析:此方程组是三元一次方程组,由于只有两个三元一次方程,因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的,但注意到所求的是x +y +z 的代数和,因此,我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法
解1:+. ,得5x +3y +4z =4153
+,得7(x +y +z ) =7. 35
. ∴x +y +z =105
答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个,共需1.05元(下面解法后的答均省略) 解2:原方程组可变形为
⎨⎧13(x +y +z ) -4(2y +z ) =9. 25 . ⎩2(x +y +z ) +(2y +z ) =320
. 解之得:x +y +z =105
2. 主元法
解3:视x 、y 为主元,视z 为常数,解、
. -05. z 得x =05. -05. z ,y =055
. +05. -z +z =105. ∴x +y +z =055
解4:视y 、z 为主元,视x 为常数,解、
得y =0. 05+x ,z =1-2x
. +x -2x +x =105. ∴x +y +z =105
解5:视z 、x 为主元,视y 为常数,解、
. -2y 得x =y -0. 05,z =11
. -2y =105. ∴x +y +z =y -0. 05+y +11
3. “消元”法
解6:令x =0,则原方程组可化为
⎨⎧5y +9z =9. 25⎧y =0. 05 ⇒⎨. ⎩4y +3z =32⎩z =1
. ∴x +y +z =105
解7:令y =0,则原方程组可化为
⎨⎧13x +9z =9. 25⎧x =-0. 05 ⇒⎨. . ⎩2x +3z =320⎩z =11
. ∴x +y +z =105
解8:令z =0,则原方程组可化为
⎨. ⎧13x +5y =9. 25⎧x =05 ⇒⎨2x +4y =320. y =055. ⎩⎩
. ∴x +y +z =105
4. 参数法
解9:设x +y +z =k ,则
⎧13x +5y +9z =9. 25⎪ ⎨2x +4y +3z =320.
⎪x +y +z =k ⎩
∴-⨯3,得x -y =-0. 05 ⨯3-,得x -y =3k -32.
∴由、得3k -3. 2=-0. 05
∴k =105.
即x +y +z =105.
5. 待定系数法
解10. 设
x +y +z =a (13x +5y +9z ) +b (2x +4y +3z )
=(13a +2b ) x +(5a +4b ) y +(9a +3b ) z
则比较两边对应项系数,得 ⎧13a +2b =1⎧a =1
⎪⎨5a +4b =1⇒⎪⎪⎨21 ⎪⎩9a +3b =1⎪⎪⎩b =4
21
将其代入中,得 x +y +z =14
21⨯9. 25+21⨯3. 2=1
21⨯22. 05=105.