3.4+相交弦定理.切割线定理.弦切角定理(1课时)

九年级数学导学稿 第3章 对圆的进一步认识

课题：3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)

郭家屯初中初三 编写

学习目标

1．掌握相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理，并会灵活应用。

2．会用相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理进行证明和计算。 难点：定理及推论的应用 【温故知新】 1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于

P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方。

切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。 【探索 新知】 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦⊙O中，AB、CD为弦，PA·PB＝连结AC、BD，证：定理 交于P. PC·PD. △APC∽△DPB.

相交弦⊙O中，AB为直径，PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.

定理的CD⊥AB于P.

推论

切割线⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：定理

割线PB交⊙O于A

△PTB∽△PAT

切割线PB、PD为⊙O的两条割PA·PB＝PC·PD 过P作PT切⊙O于T，定理推线，交⊙O于A、C 用两次切割线定理

论

1

学一学

【典型例题】

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

图1 图2 图3 图4

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴

，

，

例2.如图2，⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝___cm。

解：由相交弦定理，得 AE·BE＝CE·DE ∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm， ， ∴，即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。 例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。 解：∵∠P＝∠P ∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA， ∴，

∴

。又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 ∴

，即

，

故应填PC。

点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得∴

∴

，

∴

∴PB＝4×6＝24（cm）∴AB＝24－6＝18（cm）设圆心O到AB距离

为d cm，由勾股定理，得 故应填。

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、

CD的长。 证明：（1）连结BE

（2）

又∵

，

∴厘米。

点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

求证：

图5 图6 图7 图8

2

证明：连结BD， ∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD ∵AB为⊙O的直径∴∠ADB＝90°∴∠E＝∠ADB＝90°∴△ADE∽△BAD∴

∴

∵CD∥AB（定理：两平行弦所

夹的弧相等）∴AD＝BC，∴

例7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB 点悟：由结论AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA 又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA ∴

同理可证△PCD∽△PBC ∴

∵PA、PC分别切⊙O于A、C ∴PA＝

PC ∴ ∴AD·BC＝DC·AB

例8.如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。 求证：BC＝2OE。

点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。 证明：连结OD。∵AC⊥AB，AB为直径∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D∴EA＝ED，OD⊥DE∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B∵∠ODE＝90° ∴

∴∠C＝∠EDC∴ED＝EC∴AE＝EC∴OE是△ABC的中位线

∴BC＝2OE

例9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，

是以点B为圆心，AB长为半径的圆的

一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；

解：由∠DEF＝45°，得，∴∠DFE＝∠DEF

∴DE＝DF又∵AD＝DC∴AE＝FC 因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。 因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。 【达标检测】（答题时间：40分钟） 一、选择题

1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3（弦心距是圆心到弦的垂直距离），则PA＝（ ）A. B. C.

5 D. 8

2.下列图形一定有内切圆的是（ ）

3

【试题答案】 一、选择题

1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A

二、填空题

7. 90 8. 1 9. 30 10.

三、解答题：

11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm 12.证明：连结AC，则AC⊥CB

∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1

∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2， ∴BC平分∠DCP

13.设BM＝MN＝NC＝xcm 又∵

∴

又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB 在Rt△ABC中，由勾股定理，得，

由割线定理：，又∵

∴

∴半径为。

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