专题:椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率
c ⎛b ⎫
一，利用定义求椭圆的离心率（e = 或 e 2=1- ⎪）
a ⎝a ⎭
1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e
=2
1x 2y 2
+=1的离心率为，则m = 2，椭圆
24m
[解析]当焦点在x 轴上时，综上m =
4-m 1m -4116=⇒m =3； 当焦点在y 轴上时，=⇒m =， 2223m
16
或3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
3 5
x 2y 2
+=1的离心率为 4，已知m,n,m+n成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆
m n ⎧2n =2m +n ⎪22
⇒[解析]由⎨n =m n
⎪m n ≠0⎩
⎧m =2x 2y 22
+=1，椭圆的离心率为⎨
m n 2 ⎩n =4
12x 2y 23
5，已知+=1(m >0. n >0) 则当mn 取得最小值时，椭圆2+2=1的的离心率为
m n m n 2
x 2y 2
6，设椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的
a b
1
距离，则椭圆的离心率是。
2
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e
1，在Rt ∆ABC 中，∠A =90，AB =AC =1，如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在
AB 上，求这个椭圆的离心率 e =
(
6-3
)
2， 如图所示, 椭圆中心在原点,F 是左焦点, 直线AB 1与BF 交于D, 且∠BDB 1=90,
则椭圆的离心率为( ) [解析]
b b
⋅(-) =-1⇒a 2-c 2=ac ⇒e =a c
-1
2
3，以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线
MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是3-1
变式（1）：以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是-1
x y
4, 椭圆22=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则
a b
椭圆的离心率e ？
c
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜3c c+3c=2a ∴e= 3-1
a
2 2x y
变式（1）：椭圆22>0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？
a b 解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜, ∠F 1PF 2 =90°图形如上图，3-1
2 2x y
变式（2） 椭圆22=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，
a b
PF 2 ∥AB, 求椭圆离心率？
2b ｜PF 1｜ b 22
解：∵｜PF 1｜｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴ 又 ∵a -c
a ｜F 2 F 1｜a 55
变式(3):将上题中的条件“PF 2 ∥AB ”变换为“PO ∥AB (O 为坐标原点) ”
2 2x y
相似题：椭圆，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?
a b ∴a =5c e=
2
22
2
解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a +b
5 -1-5222 2222222
a +b+a =(a+c) =a+2ac+c a-c -ac=0 两边同除以a e+e-1=0 e=(舍去)
22x y -1+5
变式(1):椭圆22，e=是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？
a b 2
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°
5-1
引申：此类的椭圆为优美椭圆。
2
性质：（1）∠ABF=90°
（2）假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。 （3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 变式(2): 椭圆
x 2a
2
2
2
22
+
y 2b
2
=1(a ＞b ＞0) 的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则
椭圆的离心率e =
5-1
． 2
提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c ，又等于直角三角形AOB 斜边上的高，∴由面积得：ab =r ⋅a 2+b 2，
但r =c
x 2y 2
1a >b >0）4，设椭圆2+2=（的左、右焦点分别为F 1、F 2，如果椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90︒，求离心率e
a b
的取值范围。
解：设P (x , y ), F 1(-c , 0), F 2(c , 0) 法1：利用椭圆范围。
由F 1P ⊥F 2P 得x 2+y 2=c 2，将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x =由椭圆的性质知0≤x 2
2，1）。 2
→→
2
a 2c 2-a 2b 2a 2-b 2
a 2(c 2-a 2) =。 2
e
附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。
由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ⇒|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，又因为∠F 1PF 2
222222
可得|PF ，则|+|PF |=|F F |=4c |PF ||PF |=2(a -c ) =2b ， 121212
2
=90︒，
c 212
∴PF 1，PF 2是方程z -2az +2b =0的两个根，则∆=4a -8(a -c ) ≥0⇒e =2≥⇒e ≥
22a
2
2
2222
解法3：正弦定理
设记∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，由正弦定理有
|PF 1||PF 2||F 1F 2||PF 1|+|PF 2|
==⇒=|F 1F 2| sin βsin αsin 90︒sin α+sin β
又因为|PF |F 1F 2|=2c ，且α+β=90 则 1|+|PF 2|=2a ，
e =
c 11
===a sin α+sin βsin α+cos ∂
12sin(α+)
4
0
所以
π
2
∴
π
4
π
4
3ππ2π 则
2
≤e
解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有2a =|PF 1|+|PF 2|平方后得
4a 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||⋅PF 2|≤2(|PF 1|2+|PF 2|2) =2|F 1F 2|2=8c 2
c 212得2≥所以有e ∈[，1）
22a
解法6：巧用图形的几何特性
由∠F 1PF 2=90︒，知点P 在以|F 1F 2|=2c 为直径的圆上。
又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P ，故有c ≥b ⇒c ≥b =a -c
2 2x y
变式(1)2 +2>0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交
a b
点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求椭圆的离心率e
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
2
2
2
2
PF 2｜F 1F 2｜｜F 1P ｜
解：由正弦定理： =
sin F1PF 2 sin F1F 2P sin ∠PF 1F 2
根据和比性质：
2c ｜F 1F 2｜｜F 1P ｜+｜PF 2｜ ｜F 1F 2｜ sin F1PF 2
=变形得： =e
sin F1PF 2 sinF1F 2P+sin PF1F 2 ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ sin F1F 2P +sin PF1F 2 2a
sin90°6∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e=
sin75°+sin15° 3
sin F1PF 2
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1F 2P +sin PF1F 2
2 2x y
变式(2)：椭圆22=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求
a b
椭圆离心率e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
sin F1PF 2 sin60°
解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α e==sin F1F 2P +sin PF1F 2 sin α+sin(120°-α)
1 11
e
2sin(α+30°) 22
x 2y 2
P ，F 2为右焦点，若变式(3)：过椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点
a b
∠F 1PF 2=60 ，则椭圆的离心率e 的值
b 23b 2c
=
2a , 解析：因为P (-c , ±) ，再由∠F 有从而得e ==PF =6012
a a a x 2y 2
变式(4)：若A , B 为椭圆2+2=1(a >b >0) 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使∠AQB =1200，求此椭圆
a b 离心率的最小值。{≤e
3x 2y 2
变式(5)：8、椭圆2+2=1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设
a b
⎡ππ⎤
∠ABF =α，且α∈⎢, ⎥，则椭圆的离心率的取值范围为
⎣124⎦
解析：设F '为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形AFB F '为平行四边形且为矩形，AB =2c ，
AF =2c sin α, BF =2c cos α，2c sin α+2c cos α=2a ，所以e =
c 1==a sin α+cos α
1
，由π⎫⎛
2sin α+⎪
4⎭⎝
α∈⎢
26⎡ππ⎤
。 ≤e ≤, ⎥得
23⎣124⎦
x 2y 2
F 为其右6，如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 1, A 2, B 1, B 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的四个顶点，
a b
M 恰为线段OT 焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点
的离心率为 .
直线A 1B 2的方程为
x y x y +=1，直线B 1F 的方程为+=1，-a b c -b
T 的坐标
⎛2ac b (a +c ) ⎫
, ⎪，
⎝a -c a -c ⎭
2
22
⎪所以中点M 的坐标为 ，因为点M 在椭圆上，代人方程得, 4c +(a +c ) =4(a -c ) 则 a -c 2(a -c ) ⎪
⎝⎭
⎛ac b (a +c ) ⎫
e 2
+10e -3=0 e ∈(0, 1) 所以e =2
2
-5
x y →→
7，椭圆22=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足MF 1·MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e
a b
的取值范围？
→→
分析：∵MF 1·MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 22222
解：∴c2c ∴0
2
如图所示, 画图可知点M 的轨迹是以
F 1F 2c
1⇒
2
x y a
8，椭圆22=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L ：x=F 1P 的垂直平分线
a b c
恰过F 2 点，求e 的取值范围？
分析：思路1, 如图F 1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e
2a -c 2
c a y 0
解法一：F 1 （-c ，0） F20 ) M(, c 2 2
22 by 0 a →
既) 则PF 10 ) 2c 2 c
222 by 0 a by 0 →→→MF 2 MF 2 PF 1·=0( +c, y 0 ) ·( )=0 2c 2 c 2c 2
2 2
a by 0 223
( ·( -3c ≤0 ∴e
c 2c 2 3
a a a 322
解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c ｜PF 2｜≥-c 则2c -c 3c≥ 3c≥a ≤e
c c c 3
总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
9，如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是3-1
解：以AD 所在直线为X 轴，AD 中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r ，则椭圆的半焦距c =r ，
2
2
2
222
2222c c ) =1， 易知ΔAOF 为等边三角形，∴F （-
, 22
3c 23c 22
e +=4 ∴2+2，即：=4
1a a -c 2
-12e
3e 22222422
e +=4，e (1-e ) +3e =4(1-e ), e -8e +4=0, e =4±23, e =3±1, 2
1-e
2
又0
法二：如图，连结AE ，易知∠AED =90，设AD =2c , 则EA =c , ED =c ，由椭圆定义， 有：EA +ED =2a ，(+1) c =2a ， ∴e =
2
2
c 2==3-1 a +1
x y
10，椭圆22=1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜, 求
a b
椭圆的离心率e 的值
解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m
22
⎧a –c =m(2a-c)：2a-c 12⎨ 两 ⇒22在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩ 2(a-c )=m(2a+c) 2a+c2 3
练习题：
x 2y 2
1，椭圆2+2=1(a >b >0) 上有一点M ，F 1, F 2是椭圆的两个焦点，若MF 1⋅MF 2=2b 2，求椭圆的离心率.
a b
解析: 由椭圆的定义，可得 MF 1+MF 2=2a 又MF 1⋅MF 2=2b 2，所以MF 1, MF 2是方程
x 2-2ax +2b 2=0的两根，由∆=(-2a ) 2-4⨯2b 2≥0， 可得a 2≥2b 2，即a 2≥2(c 2-
a 2) 所以e =
c ，
≥
a 所以椭圆离心率的取值范围是
3
．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 4
1AB
= [解析]AB =4k , AC =3k , BC =5k , e =
AC +BC 2
3，已知F 1, F 2为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, 若∠PF 1F 2:∠PF 2F 1:∠F 1PF 2=1:2:3, 则此椭圆的离心率
2，在△ABC 中，∠A =90，tan B =为 _________.
[解析] -1 [三角形三边的比是1::2]
⎛a 2⎫x 2y 2
4，在平面直角坐标系中，椭圆2+2=1( a >b >0) 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点 ,0⎪
a b ⎝c ⎭
作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．
a 2
=2
a ⇒e =[解析]c
5， 在△ABC 中，∠A =300, |AB |=2, S ∆ABC =3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率
e =．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] S ∆ABC =
1
|BC |=AB |2+|AC |2-2|AB |⋅|AC |cos A =2 |AB |⋅|AC |sin A =，∴|AC |=2，
2
e =
|AB |23-1
==
|AC |+|BC |2+22
sin PF 1F 2a x 2y 2
=，6，已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0)，若椭圆上存在一点P 使
sin PF 2F 1c a b
则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
PF 2PF 1a c
==[解析] ∵在∆PF 1F 2中，由正弦定理得，则由已知，得，即aPF 1=cPF 2，∴
sin PF 1F 2sin PF 2F 1PF 2PF 1
PF 1=
c c
PF 2，由椭圆的定义知PF 1+PF 2=2a ，∴PF 2+PF 2=2a ， a a
2a 22a 2
即PF 2=，由解法三
知c -a c +
a c +a
x 2y 2
7，已知椭圆M :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0)，P 为椭圆M 上任意一点，PF PF 且12
a b
)
22
的最大值的取值范围是⎡⎣c ,3c ⎤⎦
，其中c =
[解析]：设P (x 0, y 0)，则PF 1 PF 2=(-c -x 0, -y 0) (c -x 0, -y 0)=x 02+y 02-c 2，而
x 02+y 02=PO 2≤a 2, ∴PF 1 PF 2的最大值为a 2-c 2，
∴c 2≤a 2-c 2≤3c 2⇒2c 2≤a 2≤4c 2⇒
1≤e ≤ 2⎛a 2⎫x 2y 2
8，在平面直角坐标系中，椭圆2+2=1( a >b >0) 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点 ,0⎪作
a b ⎝c ⎭
圆的两切线互相垂直，则离心率e
=
2
x 2y 21
9，设椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为e =，右焦点为F (c ，0) ，方程ax 2+bx -c =0 的两个实根分别
2a b
为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2) （ A ）
Ａ．必在圆x +y =2内 Ｃ．必在圆x +y =2外
2
2
2
2
Ｂ．必在圆x +y =2上 Ｄ．以上三种情形都有可能
22