垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解.
法制渗透目标:《文物保护法》第三条古文化遗址、古墓葬、古建筑、石窟寺、石刻、壁画、近代现代重要史迹和代表性建筑等不可移动文物,根据它们的历史、艺术、科学价值,可以分别确定为全国重点文物保护单位,省级文物保护单位,市、县级文物保护单位。
历史上各时代重要实物、艺术品、文献、手稿、图书资料、代表性实物等可移动文物,分为珍贵文物和一般文物;珍贵文物分为一级文物、二级文物、三级文物。
第七条 一切机关、组织和个人都有依法保护文物的义务。
重点
垂径定理及其运用.
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
一、复习引入
①在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫
做圆心,线段OA 叫做半径.
以点O 为圆心的圆,记作“⊙O ”,读作“圆O ”.
②连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC ,AB ;
③经过圆心的弦叫做直径,如图线段AB ;
︵④圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以A ,C 为端点的弧记作“AC ”,
“圆弧AC ”或“弧AC ”.大
︵︵︵于半圆的弧(如图所示ABC ) 叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示AC 或BC ) 叫做劣弧.
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
⑥圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.
二、探索新知
(学生活动) 请同学按要求完成下题:
如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径CD ,使CD ⊥AB ,垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由.
(老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是
CD. 读作
︵︵︵︵︵︵(2)AM=BM ,AC =BC ,AD =BD ,即直径CD 平分弦AB ,并且平分AB 及ADB .
这样,我们就得到下面的定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
下面我们用逻辑思维给它证明一下:
已知:直径CD 、弦AB ,且CD ⊥AB 垂足为M.
︵︵︵︵求证:AM =BM ,AC =BC ,AD =BD .
分析:要证AM =BM ,只要证AM ,BM 构成的两个三角形全等.因此,只要连接OA ,OB 或AC ,BC 即可.
证明:如图,连接OA ,OB ,则OA =OB ,
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,
∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ,
∴AM =BM ,
∴点A 和点B 关于CD 对称,
∵⊙O 关于直径CD 对称,
︵︵︵︵∴当圆沿着直线CD 对折时,点A 与点B 重合,AC 与BC 重合,AD 与BD 重合.
︵︵︵︵∴AC =BC ,AD =BD .
进一步,我们还可以得到结论:
平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条
(本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下
由.
分析:要求当洪水到来时,水面宽MN =32 m 是否需要采取紧急措施,只要求出DE 的长,因此只要求半径R ,然
后运用几何代数解求R.
《文物保护法》第三条古文化遗址、古墓葬、古建筑、石窟寺、石刻、壁画、近代现代重要史迹和代表性建筑等不可移动文物,根据它们的历史、艺术、科学价值,可以分别确定为全国重点文物保护单位,省级文物保护单位,市、县级文物保护单位。
历史上各时代重要实物、艺术品、文献、手稿、图书资料、代表性实物等可移动文物,分为珍贵文物和一般文物;珍贵文物分为一级文物、二级文物、三级文物。
第七条 一切机关、组织和个人都有依法保护文物的义务。
解:不需要采取紧急措施,
设OA =R ,在Rt △AOC 中,AC =30,CD =18,
R =30+(R-18) ,
R =900+R -36R +324,
解得R =34(m ) ,
连接OM ,设DE =x ,在Rt △MOE 中,ME =16,
34=16+(34-x) ,
16+34-68x +x =34,x -68x +256=0,
[1**********]22弧. 水面宽AB =60 m ,水面到拱顶距离CD =18 m ,当洪水泛滥时,水面宽MN =32 m 时是否需要采取紧急措施?请说明理
解得x 1=4,x 2=64(不合题意,舍去) ,
∴DE =4,
∴不需采取紧急措施.
三、课堂小结(学生归纳,老师点评)
垂径定理及其推论以及它们的应用.
四、作业布置
1.垂径定理推论的证明.
2.教材第89,90页 习题第8,9,10题.
教学反思
本节课是本章的一个重点内容,为达到良好的教学效果,我采用多媒体、导学案辅助教学,这样能使知识点更直观形象的展示,让学生的积极、主动的参与课堂,提高课堂效率。
课堂中发挥了学生的主体性。让学生自己动手做实验得到圆是轴对称图形,结合轴对称图形的性质推出垂径定理是再顺理成章不过的了,使学生得到一个直接且易懂的知识信息。使同学们更能理解和掌握垂径定理。
在教学过程中,由学生发现,大胆的猜想,使学生懂得研究的常用方法:从特殊到一般,由猜测到论证。接下来通过几个练习巩固本堂课的主要内容。
总的来说,本堂课学生经过自己亲身的实践活动,形成自己的经验、猜想,产生对结论的感知,实现对知识意义的主动建构。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象,而且能力得到培养,素质得以,充分地调动学生学习的热情,让学生学会学习,学会研究的方法,培养学生的能力。