高中基础知识单元复习-函数
函数
【复习要求】
1、理解映射与函数的概念,函数的奇偶性与单调性以及反函数概念。
2、掌握奇函数与偶函数图象的对称性,能判断简单函数的奇偶性;会求函数的定义域及简单函数的值域。
3、掌握一元二次函数的性质及应用,掌握待定系数法。
【主要内容】
一、函数的概念
1、映射:设A ,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的任一个元素x ,在集合B 中都有唯一的一个元素y (或f (x ))和x 对应,则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f :A →B 或y =f (x ),x ∈A ,y ∈B 。
2、函数
函数f ,又常记作y =f (x ),x ∈A ,称为y 为x 的函数,x 叫做自变量。
3、定义域与值域:自变量x 的取值范围叫做函数的定义域,和x 的值对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
二、函数的性质
1、函数的单调性:
(1)增函数:对于给定区间上的函数f (x ),如果对于属于这个区间上的任意两个自变量x 1和x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说f (x )在这个区间上是增函数。
(2)减函数:对于给定区间上的函数f (x ),如果对于属于这个区间上的任意两个自变量x 1和x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说f (x )在这个区间上是减函数。
(3)单调区间:如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或减函数,就是说f (x )在这一区间上具有单调性。这个区间也叫做f (x )的单调区间。
2、函数的奇偶性:
(1)奇函数:如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ,有-x 也属于定义域,并且f (-x )=-f (x ),那么f (x )是奇函数。
(2)偶函数:如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ,有-x 也属于定义域,并且f (-x )=f (x ),那么f (x )是偶函数。
(3)函数f (x )是奇函数的充分必要条件是其图象关于坐标原点对称,函数f (x ),函数f (x )是偶函数的充分必要条件是其图象关于y 轴对称。
3、反函数:
如果对于函数y =f (x )的每一个确定的值f (x 0)=y 0,自变量x 都有一个确定的值x 0和y 0对应,那么,就可以得到一个以y 为自变量,以对应的x 值为函数值的函数,这个函数叫做原来函数的反函数。记作y =f -1(x )
如果函数y =f (x )的反函数是y =f -1(x ),那么y =f -1(x )的反函数就是y =f (x )。
反函数的定义域是原函数的值域;反函数的值域是原函数的定义域。
4、周期性:
对函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个值x ,有x +T 也属于定义域,并且都有f (x +T )=f (x )(T ≠0且T 是常数),则f (x )为周期函数,其中T 为它的周期,若T 0是T 中最小正数,则称T 为这个函数的最小正周期。
三、正比例函数,反比例函数,一次函数
1、一次函数与正比例函数
(1)定义:函数y =kx +b (k 、b 为常数,且k ≠0)叫做一次函数,若
b =0,则y =kx 叫做正比例函数。
(2)性质:一次函数y =kx +b 的定义域为R ,它的图象是通过点(0,b ),(-b ,0)的一条直线,当k >0时,y =kx +b 是增函数;当k <0时,y =k
kx +b 是减函数;当b =0时 ,y =kx 是奇函数。
2、反比例函数
k 函数y =k 为常数,且k ≠0)叫做反比例函数,它的定义域是{x x ∈R ,x
且x ≠0},图象是双曲线。
四、二次函数
1、定义:函数y =ax 2+bx +c (a ≠0,且a ,b ,c 为常数)叫做而成函数。
y =ax 2+bx +c (a ≠0)叫做二次函数的一般形式,常用的表示形式还有:y =a (x -h )2+k (a ≠0),其中(h ,k )是顶点坐标;y =a (x -x 1)(x -x 2);其中x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的根,三个表达式中的常数a 相同,其它常数有如下关系:
-b ±b 2-4ac x 1, 2=; 2a
b c , x1x 2= a a x1+x 2=-
x 1+x 2b 4ac -b 2
h=-=-, k= 2a 24a
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的性质
(1)定义域:R
4ac -b 2
(2)值域:当a >0时,〔,+∞) 4a
4ac -b 2
当a <0时,(-∞,〕 4a
(3)其它性质如下表:
五、常见函数构成的复合函数的性质
六、函数的图象
已知函数的解析式,作函数的图象,一般用描点法。
【例题选讲】
例1、选择题:
(1)设集合M ={-1,1},N ={0,1,2,3},下列的对应法则能构成从M 到N 的映射( )
(A )f :x →x 2-1 (B )f :x →x -1
(C )f :x →x 2-1 (D )f :x →2x + 1
(2)函数y =(1+x )2-x +1的定义域是( ) x
(A ){x x ≤-1} (B ){x x ≥-1}
(C ){x x ≥-1,且x ≠0} (D ){x x >-1,且x ≠0}
(3)设函数f (x )的定义域为区间〔a ,b 〕,且g (x )=f (x +1),则函数g (x )的定义域是区间( )
(A )〔a ,b 〕 (B )〔a +1,b +1〕
(C )〔a -1,b -1〕 (D )〔a -1,b +1〕
(4)下列函数中,定义域为R ,且x ≠2的是( )
(A )y =22-x (B )y =2x -2
⎛1⎫(C )y = ⎪⎝2⎭1-22⎛1⎫ (D )y = ⎪⎝2⎭
21x -2 (5)函数y =(2m -7m -9)x
值为( ) m 2-9m +18是正比例函数,且为减函数,则m 的
(A )m =6 (B )m =3 (C )m =6或m =3 (D )m =-3
(6)在区间(-∞,0)上是增函数的是( )
(A )y =-x 2-2x +1 (B )y =x (C )y =1
31 (D )y =-x x
(7)在同一坐标系中,y 1=ax +1,y 2=ax 2的图象只能是( )
a
(A ) (B ) (C ) (D )
(8)函数y =1-2在区间(0,1)上是( ) x
(A )增函数 (B )减函数 (C )非单调函数 (D )函数值恒大于0
(9)函数y =2x x 是( )
(A )偶函数,又是增函数 (B )偶函数,又是减函数
(C )奇函数,又是增函数 (D )奇函数,又是减函数
⎛1⎫(10)已知f ⎪=x +x 2+1(x >0),则f (x )=( ) ⎝x ⎭
1-x 2+11+x 2-1(A ) (B ) x x
1-x 2-11+x 2+1(C ) (D ) x x
(11)如果函数y =x 2+bx +3有最小值-1,那么常数b 必定是( )
(A )14 (B )-4 (C )±4 (D )±22
(12)已知f (x )是偶函数,且当x ≥0时,f (x )=1-3x ,则当x <0时,f (x )是( )
(A )-1+x (B )1-x (C )1+x (D )-1-x 答案:CDCDA BBCBD CC
例2 填空题
(1)函数y =3-2x -4的定义域为
(2)函数y =x 的值域是 。 x +1
(3)函数y =1的值域是 。 2+x +x 2
(4)已知函数f (x )=kx +5,使得f (x )>0的x 的取值范围是
(5)函数f (x )=a x +k 的图象经过(1,7)点,它的反函数经过点(4,0)点,则f (x )的表达式为
(6)函数f (x )的图象过点(0,1),g (x )=f (x +4),那么函数g (x )的反函数的图象一定过定点 。
(7)一次函数y =kx +b 为奇函数的充要条件是 ; 二次函数y =ax 2+bx +c 是欧函数的充要条件是 。
(8)函数y =f (-2x )是由y =f (-2x -1)向 平移 个单位得到的。
(9)已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (1-x ),那么当x <0时,f (x )=。
(10)6是奇函数f (x )的周期,已知f (-1),则f (25)= 。
(11)函数y =x 2-2x +3在〔2,3〕上的最大值为 ,最小值为 。
(12)设a 为任意实数,则抛物线:y =y =x 2-2(a +1)x +2a 2-a 的顶点坐标满足方程 。
(13)设y =ax 2+bx +1,当x =1,函数值为-2;当x =3,其最大4a
值为m ,则a = ,b = ,c = 。
例3 解答题
(1)求下列函数的反函数:
①y =1+x +1, ②y =
(2)求下列函数的值域:
①y =31
1-x x x +1 ②y =3-x 2x +5
(3)作函数y =x +2的图象 x -1
a x -1(4)①已知函数f (x )=x ,(a >0,a ≠1),判断它的奇偶性; a +1
②已知函数f (x )=(x -1)1+x ,x ∈〔-1,1),判断它的单调性。 1-x
(5)设f (x 2+1)=x 4+1,
①求f (x )的表达式;
②写出f (x )的定义域。
(6)奇函数f (x )在定义域-1<x <1上为减函数,且f (1-a )+f
(1-a 2)<0,求a 的取值范围。
(7)设二次函数y =ax 2+bx +c (a 0),当x =31时有最大值,又它22
的图象与x 轴交点的横坐标的立方和等于9,求a ,b ,c 。
(8)已知二次函数的图象与x 轴有两个交点,它们之间的距离为2,对称轴方程为x =-2,且函数有最小值-1。
①求二次函数的解析式;
②如果函数值不小于8,求对应的x 的取值范围。
(9)如果某商品的价格上涨x%,而卖出的数量则减少mx%(其中m 为正的常数),试问:当m 等于如下常数时,x 为什么值,才能使出售的总金额最大?
①m =1 ②m =
【单元检测】 1 2
函数单元检测题
学生 总分
(满分150分,时间90分钟)
选择题答题卡
一、选择题(共40分,每小题4分)
1、函数f (x )的定义域是〔0,2〕,那么函数g (x )=f (x 2)的定义域的区间是( )
(A )〔0,2〕 (B )〔0,2〕
(C )〔-2,2〕 (D )〔-2,2〕
2、设f (x )=1-x 1,则f ()=( ) 1+x x
(A )1-x 1+x (B ) 1+x 1-x
x +1x -1 (D ) x -1x +1(C )
3、函数y =x -x 2的定义域是( )
(A ){x x ≤0或x ≥1} (B ){x x ≤0}
(C ){x ∣x ≥1} (D ){x 0≤x ≤1}
4、函数y =-x 2(0<x ≤1)的反函数( )
(A )y =-x 2,x ∈〔0,1) (B )y =+x 2,x ∈〔0,+∞)
(C )y =-x 2, x ∈〔-1,1〕 (D )y =-x 2,x ∈〔0,1〕
5、函数f (x )=x +-2x 的值域是( )
11(A )〔,+∞) (B )(-∞,〕 22
(C )(0,1〕 (D )(-∞,1〕
6、已知函数y =(m -1)x 2+2mx +3为偶函数,则函数在〔-5,-2〕上是( )
(A )有增有减 (B )减函数
(C )增函数 (D )增减性与m 值有关
7、二次函数y =3(x -m )2+n ,其中m >0,n <0,则该二次函数图象的性质是( )
(A )开口向上,顶点在第三象限; (B )开口向上,顶点在第四象限;
(C )开口向上,顶点在第一象限; (D )开口向上,顶点在第二象限。
⎧x 2+1(x >0) 8、函数y =⎨的图象是( ) -1(x ≤0) ⎩
y y y
x (A ) (B ) (C ) (D )
9、设函数y =ax +2与函数y =3x +b 互为反函数,则a ,b 的值分别为( )
1(A )a =3,b =2 (B )a =-,b =6 3
1(C )a =-3,b =2 (D )a =,b =-6 3
10、若奇函数f (x )在〔a ,b 〕上是增函数,且最小值是1,则f (x )在〔-b ,-a 〕上是( )
(A )增函数且最小值是-1 (B )增函数且最大值是-1
(C )减函数且最小值是-1 (D )减函数且最大值是-1
二、填空题:(共40分,每小题4分)
1、函数y =2x +3-4+(x -π) 0的定义域是 x
2、已知函数f (x )=x 2-3x ,则f (x -1)= 。
1x 2
3、设函数f (2)=,则f (3)= 。 x 1-x 4
1的值域是 。 2+x +x 2 4、函数y =
5、函数f (x )=(x +1)(x -3)最小值是
6、一块半径为R 的圆形铁板,要截下一块矩形作其它用途,则这个矩形的最大面积是 。
7、关于x 的方程x 2-(m +n )x +m +4n =0的两根之和为5,两根之积为8,则m = ,n = 。
a x -1
8、函数f (x )=x +1(a >0且a ≠0)是 函数。(“奇”或“偶”) a
9、若函数f (x )的图象经过点(0,1),则f (x +4)的反函数必经过点
10、函数y =3-2x -x 2的递增区间是。
三、解答题:(共70分,1题10分,其余每小题12分)
1、正方形边长是3,若边长增加x ,则面积增加y ,求y 与x 的函数关系式及函数的定义域和值域。
2、设函数f (x )=x 2+2ax +2在(-∞,2〕上是减函数,求实数a 的取值范围。
3、一次函数的图象过点(1,-2)与二次函数的顶点(2、-1),且该二次函数的图象过坐标原点,求一次函数和二次函数的解析式。
51214、已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的对称轴为x =,最大值为,612
方程ax 2+bx +c =0的两根平方和为73,求a ,b ,c 的值及f (x )的表达式。 9
5、设f (x )是定义域为〔-l ,l 〕上的任意一个函数,
求证:f (x )+f (-x )为偶函数,f (x )-(-x )为奇函数。
6、某商品的市场售价为每件5元时,预计可以售出1000,若每件降价0.01元可多售出10件,问定价为多少时销售收入最高,此时销售量是多少?