线性规划案例分析
2.某市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究 1)问题的提出
某市柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一，主要产品有2105柴油机、X2105柴油机、X4105柴油机、X4110柴油机、X6105柴油机、X6110柴油机，产品市场占有率大，覆盖面广，广泛用于农业机械、工程机械、林业机械、船舶、发电机组等。在同行业中占有一定的优势。但另一方面，也确实存在管理方法陈旧、管理手段落后的实际问题，尤其是随着经济体制改革的深入，以前在计划经济体制下生存的国营企业越来越不适应市场经济的要求。为改变这种不利局面，厂领导决定实行科学管理，其中努力提高企业编制产品生产计划的科学性是一个重要的目标。 2)生产现状及资料分析
柴油机的主要生产过程为原材料经过锻造、铸造或下料，再进行热处理、机加工工序，进入总装，最后试车、装箱、入成品库。该厂将毛坯生产工艺，即锻造、铸造或下料过程渐渐向外扩散，形成专业化生产，以达到规模效益，故该厂柴油机生产过程主要可以分三大类：热处理、机加工、总装。与产品生产有关的数据资料如下： 每种产品的单位产值如下表：
每件产品所需的热处理、机加工、总装工时及全厂能提供的三种总工时如下表：
产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源，供应科根据历年的统计资料及当年的原材料市场情况，给出了各种原材料的最大供应量如下表：
油机今年的市场需求量如下表：
根据以上情况，该企业应如何制定当年销售收入最大的生产计划方案？ 根据题设，可以获得约束方程如下：
Max Z=5400X1+6500X2+12000X3+14000X4+18500X5+20000X6 10.58X1+11.03X2+20.11X3+32.26X4+37.68X5+40.84X6
将条件汇入Win QSB软件可得如下：
由上图可知最优解为X=(0，207，0，1000，2098,0)T,最优值Z=5415.23万元。 (四)结果分析
1)根据计算结果，能够使年利润达到最大化的产品生产计划是：X2105柴油机生产207辆，X4110柴油机生产1000辆，X6105柴油机生产2098辆，共计3305辆。目标利润为5415.23万元。
2)由以上求解结果可知，总装工时、钢材、X4110柴油机是稀缺的资源，其余资源均有剩余，由影子价格也可看出，总装工时、钢材、X4110柴油机是希缺的，并且钢材是最稀缺的，如果增加这三种资源，有其是增加钢材的供应，会很大程度上提高总利润，并且增加流动资金可使总利润提高最快。因此上述产品生产计划在实践中应作出适当调整。
(五)方案调整
从影子价格可以看出，钢材是最稀缺的资源，并且其变动范围为：129.0987至351.4478，在这个范围内变动钢材的供应量，是合理的。因此，可以将钢材的约束量变为351.4478，其运行结果如下图所示：
从上图可以看出：此时，最大收益从5415.23万元变为5437.382万元，最大收益增加了。并且此时的最优解为X=(0，202，0，1000，2111,0)T,影子价格中显示出钢材依然是最稀缺的资源，同时其变动范围从351.4478变为353.8629，同时，总装工时、焦炭、X4110柴油机是稀缺的资源，因此，需要进一步地调整。
从上图可以看出：将钢材的供应量增加到353.8629时，钢材的剩余和供应达到一个平衡点，此时，钢材不再是一个稀缺的资源，而是一个平衡的量。问题中最大收益从5437.382万元
变为5473.34万元，最大收益增加了。并且此时的最优解为X=(0，212，0，1000，1711,385)T,从影子价格可以看出，此时焦炭是最为稀缺的资源，总装工时小于1，基本达到平衡点。X4110柴油机的稀缺性增加，同时机加工时也变成稀缺的资源，焦炭变成了最稀缺的资源。因此，若增加焦炭的供应量，会增加最大收益，其调整结果如下图所示：
从上图可以看出，最大收益Z并没有增加仍然为5473.34万元，并且此结果与第一次调整的影子结果一致。影子价格中显示出钢材依然是最稀缺的资源，总装工时、焦炭、X4110柴油机是稀缺的资源，也与第一次的结果一致。因此可以相信，结果已经在一个相对均衡的范围内。为了验证这种想法，进行进一步的调整，其结果如下：
从上图可以看出，最大收益Z增加到5504.604万元，影子价格中显示出的结果与第二次调整的结果一致，焦炭变成了是最稀缺的资源，因此可以相信，最大收益已经是个均衡点。此时的最优解为X=(0，202，0，1000，1797,324)T