教案5-定积分及应用
第五章 定积分及其应用 §5.1定积分概念与性质
定积分的概念是从自然科学和大量实际问题中抽象出来的，比如求变速直线运动的路程问题、平面图形的面积等等。虽然他们的实际意义各不相同，但求解的思路和方法却是类似的。
我们从求曲边梯形的面积谈起。
一、 引例
求曲边梯形的面积：
曲边梯形——是指在直角坐标系下，由闭区间[a , b ]上的连续曲线y =f (x ) ≥0，与三条直
线x =a ，x =b 与y =0（x 轴）所围成的平面图形AabB 叫曲边梯形。（如图5-1所示）
图5-1 图5-2
下面讨论如何计算曲边梯形的面积：
解决这个问题的困难之处在于曲边梯形的上部边界是一条曲线，而在初等数学中，我们只会求如矩形面积、三角形面积、梯形面积等。如图5-2所示。
若把曲边梯形分割成许多细小的曲边梯形，然后用我们易求的矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，则大曲边梯形的面积的近似值就是所有小矩形的面积之和。显然，若分割的越细，小曲边梯形的宽度越小，小矩形和小曲边梯形的近似程度就越高，误差就越小。当所有的小曲边梯形的宽度都趋于零时，则所有小矩形面积之和的极限值就是这个大曲边梯形面积的精确值了。
按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割——取近似；求和——取极限”这四个步骤来完成。
第一步：分割（如下图）
在区间[a , b ]内任意插入n -1个分点：
a =x 0
即把区间[a , b ]分成n 个小区间：
[x i 1 i （]i =1,2, -, x
, n ），
（i
=1,2, , n ），
过每个分点作平行y 轴的直线，则把整个曲边梯形分成了n 个小曲边梯形， 第i 个小曲边梯形面积为： 则大曲边梯形的面积为：
∆A i （i =1,2, , n ），
A =∆A 1+∆A 2+ +∆A n ；
第二步：取近似（用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。）
在每个小区间上任取一点ξi ∈[x i-1, x i ] ，
小矩形面积：以∆x i =x i -x i-1为底，以f (ξi ) 为
高就可以近似的代替小曲边梯形的面积∆A i ， 即
i =1,2, , n ）；
第三步：求和（用小矩形面积的和近似代替大曲边梯形的面积）
n 个小矩形面积的和：
A ≈∆A 1+∆A 2++∆A n
+
f (ξn ) ∆x n =∑f (ξi ) ∆x i
i =1n
≈f (ξ1) ∆x 1+f (ξ2) ∆x 2+
n
即：
A ≈∑f (ξi ) ∆x i
i =1
第四步：取极限（求出曲边梯形面积的精确值）
当分割越来越细的时候，每个小曲边梯形的宽度都趋近于0。为了便于描述，取小区间宽度的最大值λ=max{∆x i }趋于0时，和式
1≤i ≤n
∑f (ξ) ∆x 的极限值就是曲边梯形面积的精确值，
i
i
i =1
n
A =lim ∑f (ξi ) ∆x i ——此为曲边梯形的面积
λ→0
i =1
n
按照上述思路，计算曲边梯形的面积一般要经过“分割——取近似；求和——取极限”这四个步骤来完成。
归纳求曲边梯形面积求法：
i m 曲边梯形面积是用一个和式极限l λ→0
计算方法归纳为四步： ⑴ 分割——任取分点； ⑵ 取近似——以直代曲； ⑶ 求和——求近似值；
⑷ 取极限——由近似过渡到精确值。
∑f
i =1
n
ξ() i 表达的。 i ∆x
抛开问题的具体意义，只考虑定义在区间[a , b ]的函数f (x ) ，就可以抽象出定积分的定义。
二、 定积分概念
1、 定积分定义
定义：设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，任取分点
a =x 0
把区间[a , b ]分割成n 个小区间[x i-1, x i ]（i =1,2, 其长度记为：
， , n ）
（i =2, 1,
n ）
并记：
λ=max{∆x i }，
1≤i ≤n
在每个小区间[x i-1, x i ]上任取一点ξi （x i -1≤ξi ≤x i ），做乘积的和式
, 1, （i =2n ），
若λ→0时，若上和式极限lim
λ→0
∑f (ξ) ∆x 存在，则称函数f (x ) 在区间[a , b ]上可积，
i
i
i =1
n
并称此极限值为f (x ) 在[a , b ]上的定积分，记作：
⎰
b
a
f (x )d x ，
即：
其中：
⎰
——为积分号，
f (x ) ——为被积函数， f (x )d x ——为被积表达式，
x ——为积分变量，
[a , b ]——为积分区间，
a , b ——分别称为积分下限和积分上限。
由定积分的定义，上面引例可表示为定积分：由闭区间[a , b ]上的连续曲线y =f (x ) ≥0，与
b
直线x =a ，x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积为：A =
⎰
a
f (x ) d x
注意：
（1）定义中区间的分法和ζi 的取法是任意的，即对区间无限细分。 （2）定积分
是一个常量，这个常量仅与被积函数f (x ) ⎰f (x )dx 是和式∑f (ξ) ∆x 的极限值，
a
i
i
i =1
b
n
和积分区间[a , b ]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有：
⎰
b
a
f (x )d x =⎰f (t )d t =⎰f (u )d u 。
a
a
b b
（3）如果函数f (x ) 在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x ) 在区间[a , b ]上可积，否则称不可积。
2、 定积分存在条件
（1）若f (x )在[a , b ]上连续，则f (x )在[a , b ]上可积。
（2）若f (x )在[a , b ]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f (x )在[a , b ]上可积。
3、 定积分几何意义
由定积分的定义以及引例1可知，曲边梯形的面积就是f (x ) 在区间的定积分，这就是定积分的几何意义。
（1）在闭区间[a , b ]上，若函数f (x ) ≥0，则定积分
⎰
b
a
f (x )d x 在几何上表示由曲线
y =f (x ) ，直线x =a , x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；
⎰
b
a
f (x ) dx =A
b a
（2）在闭区间[a , b ]上，若函数f (x ) ≤0，则定积分⎰f (x )d x 在几何上表示由曲线
y =f (x ) ，直线x =a , x =b 与x 轴所围成的曲边梯形面积的负值；
⎰
b
a
f (x ) dx =-A
（3）若在[a , b ]上f (x ) 的值有正也有负，如图5-3所示，则定积分
⎰
b
a
f (x )d x 表示介于x 轴、
曲线y =f (x ) 及直线x =a 、x =b 之间各部分面积的代数和。即在x 轴上方的图形面积减去x 轴下方的图形面积：
b
图5-3
几何意义： 定积分在几何上表示为曲边梯形面积的代数和。曲边梯形位于x 轴上方
取正值，位于x
轴下方取负值。
⎰
b
a
f (x ) dx =∑A i （i =1,2,
, n ）
i =1
n
例1
利用定积分的几何意义求
⎰
x 。
解 画出被积函数y =[0,1]上的图形， 由图5-4可看出，在区间[0,1]上， 由曲线y =x 轴、y 轴所围成的 曲边梯形是
1
单位圆，所以由定积分的几何意义可得
4
πx =。 ⎰ 0
4
图5-4
在引例1中求曲边梯形的面积是将区间[a , b ]无限细分，则相应地曲边梯形被分为无穷多个小竖条。现考虑以任意一点，如图x ∈[a , b ]为左端点的小竖条，其底边为d x （d x >0）5-5所示。在无限细分的条件下，小竖条的面积就近似等于以
f (x ) 为高，以d x 为底的小矩形的面积，记作d A =
f (x )d x ，
称为面积微元（简称微元）。
将这无穷多个极其微小的面积由x =a 到x =b “积累”起来，就成为总面积A ，
也就是定积分
图5-5
b
⎰
b
a
f (x )d x ， 即： A =⎰f (x )d x 。
a
三、 定积分实质
由定积分定义可知，曲边梯形面积为：
A =⎰dA =⎰f (x ) dx
a
a
b b
定积分实质：定积分
⎰
b
a
f (x ) dx 就是由无穷多个面积微元“f (x ) dx ”累加求
和而得的。
四、 定积分性质 1、 两点规定
(1) 当a =b ，⎰a f (x ) dx =0，即
b
⎰
a
a
f (x ) dx =0
(2) 当a >b 时, a
⎰
b
f (x ) dx =-⎰b f (x ) dx （定积分上下限互换，定积分变号）
a
2、 性质
（1）代数和的积分等于积分的代数和
（2）被积函数的常数因子可以提到积分号前
k 为常数）；
（3）定积分的可加性 设c
∈[a , b ]，
则
定积分对积分可加性的几何意义： （如图）
§5.2 微积分基本定理
积分学要解决两个问题：
第一：原函数的求法问题（上一章以经解决）； 第二：定积分的计算问题。
如果我们按照定积分定义计算定积分，那将是相当困难的。因此寻找一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键所在。
不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念，而牛顿和莱布尼茨为我们揭示了这两个概念之间存在的深刻内在联系，即“微积分基本定理”，并由此开辟了求定积分的新途径——牛顿—莱布尼茨公式。
一、 牛顿——莱布尼兹公式
1、定理： 若函数F (x ) 是连续函数f (x ) 在区间[a , b ]上的一个原函数，即F' (x ) =f (x ) ，则
⎰
b
a
f (x )d x =F (x ) a =F (b ) -F (a ) 。
b
上式称为牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式，也称为微积分基本公式。
这个公式表明一个连续函数在区间[a , b ]上的定积分等于它的一个原函数在区间[a , b ]上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。
使用公式注意事项：
① 用牛顿-莱布尼兹公式求定积分时，只写出f (x ) 的一个原函数F (x ) ，不需加常数C ；
'-⎡F a +C ⎤'=F b -F a ⎡F b +C ⎤()()()⎣⎦⎣()⎦
② 牛顿-莱布尼兹公式成立条件是：被积函数在积分区间是连续的。
若f (x ) 在区间[a , b ]上是有间断点x 0，应将原积分化为在[a , x 0]和[x 0, b ]上的积分和。
例3： 计算下列定积分： （1）
⎰
2
1
x 2dx ； （2）⎰e x dx ； （3）⎰cos xdx ； （4）⎰
1 π
dx
。 -2x
-1
解：（1）
⎰⎰
2
1 1
1117
x d x =x 3=⨯23-⨯13=；
31333
2
2
（2）（3）（4）
0 π
e x d x =e x =e 1-e 0=e -1；
1
⎰
cos x d x =sin x 0=sin π-sin0=0；
π
d x -1=ln|x |=ln1-ln2=-ln2。 ⎰ -2x -2
-1
二、 积分上限函数
1. 设函数f (t ) 在[a , b ]上可积，x ∈[a , b ]，则变动上限的积分
所以在[a , b ]上定义了一个函数，记作：
⎰
x
a
f (t )d t 是x 的函数，
x ∈[a , b ]。
称为。
2. 几何意义
由定积分的几何意义知：
⎰
x
a
f (t )d t 在f (t ) ≥0时表示区间[a , x ]上的曲边梯形的面积(如图
5-7) ，当x 在[a , b ]上不断变化时，
⎰
x
a
则对x 的f (t )d t (即图5-7中阴影部分的面积) 也相应地改变。
每一个取值，该定积分都有一个确定的值与之对应，因此
⎰
x
a
f (t )d t 是关于积分上限x 的函数。
图5-7
3. 积分上限函数性质
[
定理]：若函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则积分上限函数F (x ) =⎰f (t ) dt (a ≤x ≤b ) 在
a x
'x
⎛⎫区间[a , b ]上可导，且导数为：F '(x ) = ⎰f (t ) dt ⎪=f (x ) 。 ⎝a ⎭
注：①定理揭示了微分与定积分这两个定义不相干的概念之间的内在联系，我们
也将它称为——微积分基本定理。
②定理是在被积函数连续的条件下证得的，因而也就证明了“连续函数必存在原函数”的结论。
说明： 连续函数一定有原函数，并且这一原函数就是f (x ) 的变上限的定积分式。
例1： 已知Φ(x ) =
⎰
x
cos(t 2) dt ，求Φ'。
解： 因为Φ'(x ) =
cos(x 2) ，所以Φ'=-1。 例2： 求
⎰
a
x
f (t ) dt 的导数。
解： 如果交换积分上下限，就得到了一个积分上限函数，并且由定积分的性质，它们有这样
的关系： 因此，
⎰
a
x
f (t ) dt =-⎰f (t ) dt ，
a
x
d a d ⎡ x ⎤=-d x f (t )d t =-f (x ) 。 f (t )d t -f (t )d t =
⎥⎣⎰ a ⎦d x ⎰ x d x ⎢d x ⎰ a
三、 原函数存在定理
积分上限函数的性质给出了一个重要的结论：连续函数f (x ) 取变上限x 的定积分后求导，其结果仍为f (x ) 本身。若联想到原函数的定义，由定理可知Φ(x ) 就是f (x ) 的一个原函数。因此我们引入下面的原函数存在定理：
[定理2]： 若函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则函数Φ(x ) =⎰f (t )d t 就是f (x ) 在区
a
x
间[a , b ]上的一个原函数。
这个定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
§5.3
定积分的计算
一、 直接法
定积分的直接积分法就是利用定积分的性质以及牛顿——莱布尼兹公式求定积分的方法，它只适用于比较简单的定积分的计算。
例2： 计算下列定积分： （1）
⎰
2
(x 3-2x +1)d x ；
1⎫⎛
（2）⎰ x +⎪d x ；
1x ⎭⎝
2
2
（3）
⎰
10
π
2e d x ；
x x
2
3
2
（4）
⎰
40
tan 2θd θ。
解： （1）
⎰
2
(x -2x +1)d x =⎰x d x -2⎰x d x +⎰d x
3
2
=
2
2
214212
x -x 2+x 0=(24-04) -(22-02) +(2-0) =2；
0404
2⎛ 2 2 211⎫1⎫⎛
（2）⎰ x +⎪d x =⎰ x 2+2+2⎪d x =⎰x 2d x +⎰2d x +⎰x 2 1 1 1 1 1x ⎭x ⎭x ⎝⎝
1112⎛1⎫29
； =x 3+2x 1-=(23-1) +2(2-1) - -1⎪=
31x 13⎝2⎭6
(2e)x 2e -1x x x
=（3）⎰2e d x =⎰(2e)d x =；
00ln(2e)0ln(2e)
1
1
1
22
（4）
⎰
π40
tan x d x =⎰(secx -1)d x =(tanx -x ) 0=1-
2
π40
2
π。 4
例3： 计算下列定积分：
2x ≤0⎧x -1,
（1）设f (x ) =⎨，求⎰f (x )d x ；
-1x +1, x >0⎩
（2）
⎰
2
-x d x 。
解：（1）被积函数是分段函数，利用定积分对积分区间具有可加性，得
⎰
2
-1
f (x )d x =⎰f (x )d x +⎰f (x )d x
-1
0 2
5⎡1⎤⎡1⎤
=⎰(x -1)d x +⎰(x +1)d x =⎢x 2-x ⎥+⎢x 2+x ⎥=； -1 0
⎣2⎦-1⎣2⎦02
2
02
（2）被积函数带有绝对值，绝对值函数是分段函数，因此不能直接用公式，利用定积分对
积分区间的可加性，得
⎰
2
-x d x =⎰(1-x )d x +⎰(x -1)d x
1
1 2
⎡⎤x 2⎤⎡x 2
=⎢x -⎥+⎢-x ⎥=1。
2⎦0⎣2⎣⎦1
12
二、 凑微分法
设函数f (x )在区间[a , b ]上连续，且 ⑴ x =ϕ(u )在区间[α, β]上具有连续导数ϕ'(u )；
⑵ 当u 从α到β时，ϕ(u )从ϕ(α)=a 单调地变到ϕ(β)=b ，则有：
⎰
b
a
f (x )dx =⎰f ⎡⎣ϕ(u )⎤⎦⋅ϕ'(u )du α
β
此式称为。
注意：利用此公式计算定积分，只须在做变量替换的同时，相应地替换积分的上、下限，
结果不必变量再还原。
换元必换限！！！
定积分的换元法包括有两种：第一类换元法（凑微分法），第二类换元法。我们只介绍其
中的凑微分法。
通过牛顿——莱布尼兹公式，我们知道求定积分可以转换为求原函数的增量，而在3.1节我们又知道通过凑微分可以求出一些函数的原函数，因此可以用凑微分法来求解一些定积分。我们先来看一个例子。
例4： 求
⎰
2
x e x d x 。
2
解： 首先求被积函数的原函数，即用凑微分法求：x e d x 。
⎰
x 2
1x 22x =u 1u 1u 1x 2=e d(x ) =e +C =e +C ， x e d x =e d u ⎰⎰⎰2222
x 2
2
因此，
⎰
2
1x 221401
=(e-e ) =(e4-1) 。 x e d x =e 0222
x 2
很显然，这种方法比较麻烦，如果能在计算定积分的时候直接换元则更简单一些，即
2
令u =x ，则x =0时，u =0；x =2时，u =4，所以，
⎰
2
(x e )d x =
x 2
x 2=u
1u 4141 4u
=e =(e-1) 。 e d u ⎰ 02022
由本例可以看出，定积分的凑微分与不定积分的凑微分相比，主要区别在于当变换积分变量时，积分变量的上、下限也要随之改变；而求不定积分时最后还要把积分变量换回去，但求定积分时则不需要。 因此有定积分凑微分公式：
⎰
b
a
f [ϕ(x )]ϕ'(x )d x =F [ϕ(x )]b a =F [ϕ(b )]-F [ϕ(a )]。
通常将这一过程分为：“凑微分→换元换限 →积分”三个步骤。
例5： 计算下列定积分：
π
（1）
⎰
2 0cos 3x sin x d x ；
（2）
⎰
e
ln x
1
x
x ； （3）
⎰
2x -1
e -d x ；
（4
）
⎰
1
x 。解：（1）因为sin x d x =-d(cosx ) ，令u =cos x ，
则x =0时，u =1；x =
π
2
时，u =0。
ππ
⎰
2cos 3
x sin x d x =-⎰
2cos 3
x d(cosx ) =-⎰ 0
3
1
111
0 0
1u d u =⎰ 0u 3d u =4u 40=4
；（2）因为
1
x d x =d (ln x ) ，令u =ln x ，则x =1时，u =0；x =e 时，u =1。 ⎰ eln x 1x x =⎰ 1 0
ln x d(lnx ) =⎰ 1 0u d u =12u 210=1
2
； 当运算熟练之后，可以不设出中间变量，直接计算。 （3）
⎰
2x -1
e -dx =-
1⎰ 0e -2x d (-21-2x
2 -1x ) =-2
e -1
=
12
(e 2
-1) ； （4
）
⎰
1
1 12-1
22
111(1+x 2) 21 0
。x =2⎰ 0(1+x ) d(1+x ) =2⋅
=1-2
+1
§5.4 定积分的应用
一、 平面图形的面积
下面我们用微元法来讨论定积分在求平面图形面积上的应用。
由上一节知道，若f (x ) ≥0，则曲线y =f (x ) 与直线x =a , x =b 及x 轴所围成的平面图形的面积A 的微元（如图3-10所示）为：d A =f (x )d x ， 由此可得到平面图形的面积为： A =
⎰
b
a
d A =⎰f (x )d x 。
a
b
图5-10 图5-11
若平面图形是由连续曲线y =f (x ) ，y =g (x ) 和直线x =a , x =b (a
x -型的。如何求由该
我们仍可采用微元法求解该问题，取x 为积分变量，在区间[a , b ]内任取一小区间[x , x +d x ]（如图3-11），类似前面的问题，我们可以找到A 的面积微元：d A =[f (x ) -g (x )]dx ， 所以所求面积为： A =
⎰
b
a
[f (x ) -g (x )]dx 。
同理，若平面图形是由连续曲线x =ϕ(y ) ，x =ψ(y ) 和直线
y =c , y =d (c
ϕ(y ) ≥ψ(y ) ，并称这样的图形是
则平面图形面积为： A =
y -型的。
图5-12
⎰
d
c
[ϕ(y ) -ψ(y ) ]。y d
根据曲边梯形的不同形式，现将计算平面图形面积的方法归纳如下：
1、 若选x 为积分变量
⑴ 先由左→右观察平面图形范围，确定积分下、上限；
⑵ 然后用“上面的”曲线方程减去“下面的”曲线方程做为被积函数，就可以
得到该平面图形的面积。
A =⎰⎡f (x ) -g (x )⎤⎦d x . a ⎣
⑶ 若曲线y =f (x )与y =g (x )出现“上下交替”，方法如下
先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分，仍利用上述方法：
b
A =⎰⎡f (x ) -g (x )⎤⎦d x +⎰b ⎡⎣g (x )-f (x )⎤⎦dx . a ⎣
b c
2、 若选
y 为积分变量
⑴ 先由下→上观察平面图形范围，确定积分下、上限；
⑵ 然后用“右面的”曲线方程减去“左面的”曲线方程做为被积函数，就可以得
到该平面图形的面积。
A =⎰⎡ϕ(y ) -ψ(y )⎤⎦d y . c ⎣
d
⑶ 若曲线x =ϕ(y )与x =ψ(y )出现“左右交替”，方法如下
先求出两条曲线交点坐标，把积分区间分为若干部分，从而平面图形也相应分成若干部分，仍利用上述方法：
A =⎰⎡ϕ(y ) -ψ(y )⎤⎦d y +⎰d ⎡⎣ψ(y )-ϕ(y )⎤⎦dy . c ⎣
d e
例1： 求由抛物线y =x 2和x =y 2所围成图形的面积A 。
解： 如图5-13所示。 ① 先求交点
⎧y =x 2
⇒解得交点为(0,0)和(1,1)， ⎨2
⎩x =y
图5-13
所求面积可看作是曲线y =x 2，x =y 2，x =0和x =1所围图形的面积，
② 选x 为积分变量，则积分下限为0、上限为1，x ∈0,1
在[0,1]上任取一小区间[x , x +d x ]，则可得到A
的面积微元：d A =x 2]dx
[]
⎛2313⎫122
因此所求面积：
A =⎰x ]dx = x -x ⎪=。
03⎭03⎝3
1
（上题中我们选取了x 为积分变量，也可选取y 为积分变量。）
2
例2： 求由抛物线y =x -2x 与直线y =x 所围成的平面图形的面积A 。
解 如图3-14所示。 ① 先求交点
⎧y =x 2-2x
⇒解得交点为(0,0)和(3,3)，y ∈[0,3] ⎨
y =x ⎩
2
因此，所求面积可看作是曲线y =x -2x ，y =x ，x =0
和x =3所围图形的面积，
② 选x 为积分变量，则积分下限为0、上限为3
在[0,3]上任取一小区间[x , x +d x ]，则可得到A 的面积微元：d A =[x -(x -2x )]dx ， 因此所求面积：
2
图5-14
1⎤9⎡3
A =⎰[x -(x -2x )]dx =⎰[3x -x ]dx =⎢x 2-x 3⎥=。
0 03⎦02⎣2
3
2
3
2
3
例3： 求由曲线y =sin x 与y =cos x 所围成的平面图形的面积A 。 解 如图5-15所示。 ① 先求交点
⎧y =x 2π⇒交点(, ⎨2
42⎩x =y
做直线: x =
π
4
, 将所求平面图形面积A 分成两部分A 1，A 2。
② 选x 为积分变量 x ∈⎢0, 在[0,
⎡π⎤⎡ππ⎤
⋃⎢, ⎥， ⎥⎣4⎦⎣42⎦
π
4
]上任取一小区间[x , x +d x ]，则可得到A 1的面积微元：dA 1=(cos x -sin x )dx ，
则：A 1=在[
⎰(
cos x -sin x )dx =
4
π
1.
ππ
, ]上任取一小区间[x , x +d x ]，则可得到A 2的面积微元：dA 2=(sin x -cos x )dx ， 42
则： A 2=
π(
sin x -cos x )dx =
24
π
1.
因此所求面积：
A =A 1+A 2=2
1.
)
2
例4： 求由抛物线y =2x 与直线y =x -4所围成的平面图形的面积A 。如图5-16所示。
解 ① 先求交点
⎧y 2=2x
⇒解得交点为(2,-2) 和(8,4) ， ⎨
y =x -4⎩
2
所求面积可看作是曲线y =2x ，y =x -4，y =-2
和y =4 所围图形的面积，
图
5-16
② 选y 为积分变量，则积分下限为-2、上限为4，y ∈[-2,4]
⎡y 2⎤在[-2, 4]上任取一小区间[y , y +d y ]，则可得到A 的面积微元 d A =⎢(y +4) -d y ⎥2⎦⎣
⎡y 2⎤13⎤⎡12
d y =y +4y -y ⎥=18。 故所求面积为：A =⎰⎢(y +4) -⎥⎢ -2226⎣⎦-2⎣⎦
4
4