2014年北师大版五年级上册奥数讲义

优等生同步奥数提高 五年级（上）

第一讲 整数问题 第1课 倍数与因数（一）

一、知识要点 1. 质数与合数

1不是质数，也不是合数。

2. 质因数与分解质因数

例：30分解质因数。

解：30=2×3×5 答：2、3、5是30的质因数。

分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数

100以内的质数（要会背的）：

2、3、5、7、

11、13、 17、19、 23、29、 31、37、

41

、43、 47、 53、59、 61、67、

71、73、 79、 83、89、 97.

3. 公因数与公倍数

一个数的因数的个数是（ ）的，倍数的个数是（ ）的。 几个数的公因数的个数是（ ）的，公倍数的个数是（ ）的。

4. 最大公因数与最小公倍数

2 3

1 8 9 3

3 0 15 5

用公有的质因数2除 用公有的质因数3除 除到两个商是互质数为止

（18，30）=2×3=6 [18，30]=2×3×3×5=90 二、典型例题详解

【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？

解： 30=2×3×5 24=2×3×2×2 42=2×3×7

（30，24，42）=2×3=6（人） 30÷6=5（个）

24÷6=4（个） 42÷6=7（个） 5＋4＋7=16（个）

【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？

解：16=2×2×2×2 12=2×2×3

[16，12]=2×2×2×2×3 =48（厘米） 48÷16=3（块） 48÷12=4（块） 3×4=12（块） 答：最少需要12块扣板。

【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。

解：∵甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍； ∵当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍； ∵当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍； ∵当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍； ∵当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍； ∵当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；

∴甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。 [6，5，4，3，2]=6×5×4×3×2=60（岁） 60÷（7-1）=10（岁） 10+60=70（岁）

答：甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。

【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?

解：假设这三个数分别是a 、b 、c

∵a 、b 、c 两两不互质，且a ＜20，b ＜20，c ＜20，

则两两间的质因数互不相同且乘积小于20 （a ，b ）=2或（a ，b ）=3 或（a ，b ）=5； （a ，c ）=2或（a ，c ）=3 或（a ，c ）=5； (b，c ）=2或 (b，c ）=3 或 (b，c ）=5；

∴a ，b ，c 三数有可能是2×3=6，2×5=10，3×5=15，2×6=12，3×6=18。 又 ∵（a ，b ，c ）=1；

（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=

答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。

三、课后习题

1. 求56，36，284的最小公倍数。

3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？

5. 把一张长120cm ，宽80cm 的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余) ，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？

2. 有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？

4. 有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午12点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？

6. 用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是多少？

第2课 倍数与因数（二）

一、知识要点

1. 最小公倍数与最大公因数之间的关系

二、典型例题详解

【例1】甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。 解：设乙数是a 36×a=4×288 a=4×288÷36 a=32 答：乙数是32。

【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，且小数不能整除大数，求这两个数。

【例2】已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 解：设这两个数分别为a 、b 126÷21=6

6=3×2 或 6=1×6 a=3×21=63 a=1×21=21

b=2×21=42 b=6×21=126 63+21=84 21+126=147 答：这两个数的和是84或147。

【练一练】两个自然数的和是56，它们的最大公因数是7，求这两个数。

【例3】两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5， 【练一练】已知两个自然数的积是5766，它们的最求这两个数的差。 解：设这两个自然数分别是5a 、5b ∵5a+5b=50 ∴a+b=10 ∵(a，b)=1且a+b=10

∴｛b a ==19或｛a b ==37

当｛b a ==19时，5a=5，5b=45 5b-5a=40 当｛a b ==37时，5a=15，5b=35 5b-5a=20

答：这两个数的差是40或20.

【例4】两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。 解：设这两个数是A 、B 。且A=am；B=bm ∵A+B=54 ，则am+bm=54 ∴m(a+b)=54 ∵(A、B)=m；

a 、b 为A 、B 两数的非有公因数，(a、b)=1

∴[A、B]=m×a ×b

∵[A、B]－(A、B)=114，则m ×a ×b －m=114 ∴m(ab－1)=114

∵m(a+b)=54且m(ab－1)=114 则m 是54和114的公因数 又∵（54，114）=6，6=1×6=2×3 ∴m=1或m=6或m=2或m=3 如果m=1，则1×(a+b)=54，a+b=54； 1×(ab－1)=114，ab=115 ∵115=1×115或115=5×23 ∵115+1≠54 且5+23≠54 ∴m ≠1

如果m=6，则6×(a+b)=54，a+b=9； 6×(ab－1)=114，ab=20 ∵(a、b)=1，则20=1×20或20=4×5 ∵1+20≠9，4+5=9 则m=6，a=4，b=5；

∴A=4×6=24，B=5×6=30

如果m=2，则2×(a+b)=54，a+b=27 2×(ab－1)=114，ab=58

∵(a、b)=1，则58=1×58或58=2×29

大公因数是31，求这两个数。

（接【例4】）

如果m=3，则3×(a+b)=54，a+b=18 3×(ab－1)=114，ab=39

∵(a、b)=1，

则是39=1×39或58=3×13 ∵1+39≠18且3+13≠16 ∴m ≠3

答：这两个自然数是24和30。

【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。

∴m ≠2

三、课后作业

（1）某数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，这个数是多少？

（3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？

（5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。

（7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？

（2）已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

（4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。

（6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。

（8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。

复习练习 第2课

（1）有一种地砖，长20厘米，宽15厘米，至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？

（2）一箱鸡蛋，四个四个数多3个，五个五个数多4个，七个七个数多6个，这箱鸡蛋至少有多少个？

（10）已知a 与b 、a 与c 的最大公因数分别是12和15，a 、b 、c 的最小公倍数是120，求a 、b 、c 。

（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10人，如果减少一辆车，正好每辆车坐15人，这个班共有多少人？

（4）一条路长96米，从一端起，每隔4米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？

第二讲 图形的面积 第1课 巧求图形面积

一、知识要点

1. 基本平面图形特征及面积公式

2. 基本解题方法：

由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。 二、典型例题详解

【例1】已知平行四边表的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。

【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）

【例2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 【练一练】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

（单位：厘米）

【例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE 的长度。

【练一练】

平行四边形ABCD 的边长BC=10厘米，

直角三角形BCE 的直角边EC 长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米。求CF 的长。

【例 4】两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。 已知两个三角形的面积（如图所示） ，求另两个三角形 的面积各是多少？（单位：厘米）

B

【练一练】下面的梯形 ABCD 中，下底是上底的 2 倍，E 是 AB 的中点，求梯形 ABCD 的面积是三角形 EDB 面积的多少倍？

【练一练】 一个长方形的草 坪，中间有两个人 行道。高是 14 求草坪的面积。 (单位：厘米)

32

【练一练】计算下面图形的面积。

28

Page 11

三、课后作业 1． 下面的梯形中，阴 影部分面积是 150 平方厘米，求梯形 的面积。 3. 求图中阴影 部分的面 积。 单位：厘米

2. 正方形 ABCD 的 边长是 12 厘米， 已 知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求： （1） 三 角 形 DEF 的面积。 （2） CF 的长。

4.梯形 ABCD 的面积是 45 平方厘米，高 6 厘米。三 角形 AED 的面积是 5 平方厘米，BC=10 厘米，求阴影部分 的面积。

Page 12

5. 正方形 ABCD 的面积是 100 平方厘米，AE=8 厘米， CF=6 厘米，求阴影部分的面 积。

6.求图形中梯形 ABCD 的面积。 （单位：厘米）

第 2 课 等积变形求面积

一、知识要点

三角形 等底等高 的 平行四边形 面积相等

如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 2 倍， 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 3 倍， 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 4 倍， 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等， 大三角形面积是小三角形面积的 n 倍， 大三角形高是小三角形高的

。 。 。 。

如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 2 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的 。

如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 3 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的 。

Page 13

如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 4 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的 。

如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 n 倍，大平行四边形高是 小平行四边形高的

二、典型例题分析 【例 1】四边形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，N 为 CD 的中点， 如果四边形 ABCD 的面积是 80 平方厘米，求阴影部分 BNDM 的面积是多少？ 【练一练】如图，六 边形 ABCDEF 的面积 是 16 平方厘米，M、 N、P、Q 分别是 AB、 CD、DE、AF 的中点。 求图中阴影部分的面积。

。

【例 2】如图，平行四边 形 ABCD 中，AE=EF= FB，AG=2CG，三 角形 GEF 的面积 是 6 平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？

【练一练】如图，在一个等边三角 形中任意取一点 P，连接 PA、PB、 PC，过 P 点作三角形的垂线， E、F、G 分别为垂足。三角形 ABC 被分成 6 个三角形。已 知三角形 ABC 的面积为 40 平方厘米，求图中阴影 部分的面积。

Page 14

【例 3】下图中正方形 ABCD 的边长是 4 厘米， 长方形 DEFG 的长 DG=5 厘米，问长方形的 宽 DE 为多少厘米？

【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起， 求 阴影部分的面积。 （单位：分米）

【例 4】两个正方形拼成一 个图形，其中小正方形的边 长是 4 厘米，求阴影部分的 面积。

【练一练】

如图，AE=ED，AF=FC，已知 ABC 的面积为 100 平方 厘米， 求阴影部分的 面积。

Page 15

三、课后作业 1.平行四边形的面积为 50 平方厘米，P 是其中任意 一点，求阴影部分的面积。 2. 长方形 ABCD，三角形 ABG 的面积为 20 平方厘 米，三角形 CDQ 的面积为 35 平方厘米，求阴影部分 的面积。

3.ABCD 是直角梯形，其中 AD=12 厘米，AB=8 厘米， BC=15 厘米， 且三角形 ADE、 四边形 DEBF 及三角形 CDF 的面积相等， 三角形 EBF （阴 影部分）的面积是多少？

4.如图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC， 已知 ABC 的面积为 5 平方厘米， 求 DEF 的面积。

5.如图，AB=4 厘米，BC=6 厘米， AC=2CD，BE=BD，求 三角形 ADE 的面积。

6.图中 BD=2DC，AE=BE， 已知三角形 ABC 的面积 是 18 平方厘米，求四边 形 AEDC 的面积是多少？

Page 16

第三讲

一、知识要点 1. 分数的意义和性质 分数的意义：

分数的基本性质

第 1 课 分数的认识

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 （分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把 1 平均分成分母份， 表示这样的分子份。 ） 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。 ☆分数的性质： 分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。 2. 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于 1。 假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1。 带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。

★带分数与假分数的互换：

带分数 例： 3 假分数 例： 带分数 3. 计算方法： 假分数：分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。

5 3  7  5 26 = = 7 7 7

带分数： 分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数。

2 14 14  3 = =4 3 3 3

真分数

★分数加减法★

（1） 同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。 例：

5 1 3 5 1 3 3 =   = 7 7 7 7 7

（2） 异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其 分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。 例：

5 4 1 25 24 15 25  24  15 34 = =   =   6 5 2 30 30 30 30 30

Page 17

★分数乘除法★

（1） 分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。 例：

5 5  6 10 = 6= 9 9 3 2 6 26 4 =  = 9 7 9  7 21

（2） 分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。 例：

（3） 分数除以整数， 分母不变， 如果分子是整数的倍数， 则用分子除以整数， 最后要化成最简分数。 例：

8 84 2 =  4= 9 9 9

（4） 分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后 要化成最简分数。 例：

2 2 1 1  6=  = 9 9 6 27 2 2 2 3 1  =  = 9 3 9 2 3

【练一练 1】分子、分母的乘积是 420 的最简真分数 共有多少个？

（5） 分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。 例： 二、典型例题分析 【例 1】分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有 多少个？

【例 2】 把一个最简分数的分子加上 1， 这个分数就等 于 1。 （1）如果把这个分数的分母加上 1，这个分数就等于

【练一练 2】一个分数约分成最简分数是 分母的和是 90，原分数是多少？

3 ，原分子、 7

8 ，原分数是多少？ 9

（2）如果把这个分数的分母加上 2，这个分数就等于

8 ，原分数是多少？ 9

Page 18

【练一练 3】一个真分数的分子、分母是两个连续的 73 的分子和分母都减去同一个整数， 2 136 自然数，如果分母加上 4，这个分数约分后是 ，原 2 3 所得的分数约分后是 ，求那个整数是多少？ 来这个分数是多少？ 9 【例 3】分数

1 55 的分子减去某数，而分母同时加上这 【练一练 4】一个分数，分子加上 1 可约分为 ，分 3 64 4 1 个数后，所得的新分数化简后为 ，求某数。 子减去 1 可约分为 ，求这个分数。 13 5

【例 4】分数

1 a7 的分子、 分母同时加一个自然数， 【练一练 6】 是最简真分数， a 可取的整数共有 12 48 多少个？ 1 新分数化简得一个分数 ；求这个自然数。 2

【练一练 5】 分数

三、课后作业 【1】分母是 51 的真分数有多少个？最简真分数有多 少个？ 【2】 一个最简分数的分子缩小 5 倍， 分母扩大 9 倍后 是

2 ，原分数是多少？ 27

Page 19

【3】 的分子、 分母同时加上多少后可以约分为

3 13

【4】一个分数，如果分子加上 16，分母减去 166，那 1 ？ 3 3 么约分后是 ；如果分子加上 124，分母加上 340，那 4 1 么约分后是 ，求原分数是多少？ 2

【5】填空题： （列式、计算、填空） (1)一个最简真分数的分子、分母之积是 30，这个最简 真分数是 。 (3)一个最简真分数，把它的分母扩大 5 倍，而分子缩 小 4 倍， 化简后是

1 ， 求这个最简真分数是 52

。

(2)分母是 85 的真分数共有 的最简真分数共有 个。

个，分母是 85

（4）一个最简真分数，分子、分母之和是 15，这个 最简真分数是 。

【6】一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如

1 的分子、分母同时加同一个自然数，新 3 12 果分母加上 3 后，这个分数约分为 ，求原分数是多 1 4 分数化简后得 ，求这个自然数。 少？ 2

【7】分数

Page 20

第 2 课 比较分数大小

一、知识要点 1. 分数的基本性质 ☆分数的性质： 分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。 2. 比较分数大小的基本方法

① 分母相同：分母相同的分数，比较分子，分子大的分数大。 ② 分子相同：分子相同的分数，比较分母，分母小的分数大。 ③ 假分数与真分数：假分数大于真分数。

3. 分子、分母都不同的两个分数：

先通分，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

4. 比较分数大小的巧算：

① “通分子” 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可 以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

② 化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便， 就要看具体情况了。

③ 先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

④ 倒数比较大小。 分数 m 和 n，如果

1 1 ＜ ，那么 m＞n。 m n

⑤ 大分数比较大小 若两个真分数的分母与分子的差相等、 则分母与分子相加得到的和较大的分数比 较大； 若两个假分数的分子与分母的差相等， 则分母与分子相加得到的和较小的分数比

Page 21

较大。 ⑥ 借助第三个数比较大小 对于分数 m 和 n，若 m-k＞n-k，则 m＞n。

对于分数 m 和 n，若 m＞k，k＞n，则 m＞n。

对于分数 m 和 n，若 k-m＜k-n，则 m＞n。

5. 典型 8 例题 【例 1】 把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。 【练一练 1】把下面的分数按从小到大的顺序排列： （1）

5 7 11 37 、 、 、 8 12 20 60

5 15 10 6 、 、 、 33 23 17 13

[8，12，20，60]=120

5 5  15 75 7 7  10 70 = = = = 8 8  15 120 12 12  10 120 11 11 6 66 37 37  2 74 = = = = 20 20  6 120 60 60  2 120 75 74 70 66 ＞ ＞ ＞ 120 120 120 120 5 37 7 11 ＞ ＞ ＞ 8 60 12 20

（2）

30 15 20 12 、 、 、 27 13 17 11

分数

5 6 10 30 15 、 、 、 、 中，哪一个最大？ 17 19 33 97 46

[30，15，20，12]=60

15 15  4 60 30 30  2 60 = = = = 13 13  4 52 27 27  2 54 20 20  3 60 12 12  5 60 = = = = 17 17  3 51 11 11 5 55 60 60 60 60 ＞ ＞ ＞ 51 52 54 55 20 15 30 12 ＞ ＞ ＞ 17 13 27 11 77771 88883 和 的大小 77775 88887 77771 4 88883 4 1－ = 1－ = 77775 77775 88887 88887 44443 55557 和 的大小 44445 55559

【例 2】比较

【练一练 2】比较

Page 22

4 4 77771 88883 ＞ ∴ ＜ 77775 88887 77775 88887 【练一练 3】下列分数中最大的是（ n n 1 【例 3】已知 a= ，b= （m，n 都是非零自然 998 98 9998 A. B. C. m m 1 999 99 9999

∵ 数，且 m＞n） ，a，b 的大小关系是（ A. 可能 a=b C. 有时 a＞b 如果 a= ） B. a 一定大于 b D. a 一定小于 b

） D.

8 9

1 11 2 2 1 ，b= = ， ＞ ，b＞a 2 2 1 3 3 2 7 7 1 8 8 7 如果 a= ，b= = ， ＞ ，b＞a 8 8 1 9 9 8 2 1 【练一练 4】在下面的 中填入适当的整数，使不等 大，比 小，分子是 17 的分数共有多少 7 3 17 7 10 式成立。 ＜ ＜ 5 7 1 1  34 34 = = 3 3  34 102

102÷2=51

【例 4】比 个？

[2，1，17]=34

2 2  17 34 = = 7 7  17 119

17×2=34 119÷2=59……1

答：分母可以是：51，52，53，54，55，56，57， 58，59 共 8 个。

【练一练 5】在

3 4 11 1650 984 84 、 、 、 这四个分？、 【练一练 6】 写出三个大于 而小于 的最简真分数。 7 7 14 1653 987 87

数中，最大的是哪个？最小的是哪个？

【练一练 7】分子是 3，比 数是哪一个？

4 7 7   小，但与 最接近的分 【练一练 8】已知 ＜ ＜ ，、为连续自然数， 65 65 19 5 19

求和。

Page 23

二、课后作业 【1】将

7 17 41 99 239 36 60 24 72 12 48 、 、 、 、 、 从小到大排 【2】把五个分数 、 、 、 、 按从小到 5 12 29 70 160 41 67 29 83 13 59

大的顺序排列。

列，排在第三个位置上的数是多少？

【3】设 a=

987654321 987654321 2008 【4】 在下面的 ，b= ，试比 123456789 123456789  2008

中填入适当的整数， 使不等式成立。

较 a 与 b 的大小。

里应填的整数有哪些？0.25＜

17

＜0.26

【5】比较

487 73 和 的大小。 490 74

【6】比 个？

1 7 大，比 小，分母是 40 的最简分数有多少 4 10

【7】比较

111111110 444444443 与 的大小。 222222221 888888887

 3 11 26 ， ， 0.42 4 ， 是， 7 26 61 11 其中的五个，已知从小到大排的第三个是 ，求从 26

【8】有七个数， 0. 4 2 ，

 

大到小排的第三个数。

Page 24

第四讲

一、知识要点 1. 行程中的基本数量关系：

行程问题

第 1 课 行程中的追及问题

路程 = 速度×时间

2. 追及问题中的基本数量关系：

路程差（追及路程） = 速度差×追及时间 路程差（追及路程）÷速度差 = 追及时间 路程差（追及路程）÷追及时间 = 速度差

3. 追及问题中的应注意的规律：

追赶者所用的时间 = 被追赶都所用的时间 = 追及时间

二、典型例题 【例 1】一辆面包车的速度是每小时 60 千米，在面包 车开出 30 分钟后，一辆小轿车以每小时 84 千米的速 度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车， 多长时间能追上？

先行 30 分钟 面包车 追 及 路 程 小轿车 追及时间 追及时间

【练一练 1】一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两 人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行 18 千米， 摩托车每小时行 45 千米。自行车先出发 1.5 小时，摩 托车沿着同一条路线追赶自行车，追上自行车时，摩 托车行了多少千米？

60×（30÷60）=30（千米） 30÷（84-60）=1.25（小时） 1.25 小时=1 小时 15 分钟 答：小轿车需要 1 小时 15 分钟追上面包车。

☆解题过程中用到的公式☆ 路程差（追及路程）÷速度差=追及时间

Page 25

【例 2】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地， 甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 35 千米。途中 甲车因故障修车用了 3 小时，结果甲车比乙车迟 1 小 时到达目的地。两地间的路程是多少千米？ 35×（3-1）=35×2=70（千米） 70÷（40-35）=70÷5=14（小时） 40×14=560（千米） 答：两地间的路程是 560 千米。

【练一练 2】红星小学组织学生步行去郊游，步行的 速度是每分钟 60 米， 队尾的老师以每分钟 150 米的速 度赶到排头， 然后立即返回共用的了 10 分钟， 学生的 队伍有多长？

【例 3】兄弟两人同时离家去上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时，发现忘了 带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校 180 米处 与妹妹相遇，他们家离学校有多远？ 180×2÷（90-60）=360÷30=12（分钟） 90×12-180=900（米） 答：他们家离学校 900 米。

【练一练 3】小红每分钟行 80 米，小英每分行 60 米， 两人在同一地点同时相背而行，走了 3 分钟后，小红 掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？

【例 4】小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地， 早上 6 时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小 时走 5 千米，小丽每小时走 4 千米。小霞上午 8 时才 从甲地出发。傍晚 6 时，小华和小霞同时到达乙地。 小霞什么时间追上小丽的？ 18-8=10（小时） 8-6=2（小时） 5×（2+10）÷10=60÷10=6（千米/小时） 4×2÷（6-4）=8×2=4（小时） 8+4=12 答：小霞是 12 点追上小丽的。

【练一练 4】小明从家里出发，步行去公园。10 分钟 后，爸爸骑自行车从家里出发，在离家 800 米的地方 追上小明，发现忘了带照相机，立即回家去拿。拿到 后立即追赶小明，在离家 1200 米的地方又追上小明， 求两人的速度各是多少？

Page 26

【练一练 5】 猎狗追赶前方 15 米的野兔， 猎狗步子大， 【练一练 6】 甲乙两人练习跑步， 若甲让乙先跑 10 米， 它跑 5 步的路程兔子要跑 8 步，但是兔子动作快，猎 则甲跑 5 秒钟可追上乙；若甲让乙先跑了 3 秒钟，则 狗跑 3 步的时间，兔子能跑 4 步，猎狗至少跑多远才 甲跑 6 秒钟就追上乙。 问甲、 乙两人的速度各是多少？ 能追上野兔？

三、课后作业 【1】 某小学有一个 300 米的环形跑道， 扬扬和宁宁同 【2】姐姐步行的速度是每分 75 米，妹妹步行的速度 时从起跑线起跑， 扬扬每秒跑 6 米， 宁宁每秒跑 4 米。 为每分 65 米。在妹妹出发 20 分钟后，姐姐出发沿同 问：扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？ 一路线去追赶妹妹，她多长时间能追上?

【3】一辆卡车以每小时 64 千米的速度开出 1 小时 25 分钟后，一辆吉普车以每小时 82 千米的速度追赶卡 车。在吉普车赶上卡车 2 分钟前，两车相距多远？

【4】一辆卡车以每小时 30 千米的速度从 A 地驶往 B 地， 出发 1 小时后， 一辆轿车以每小时 50 千米的速度 也从 A 地驶往 B 地，比卡车早半小时到达 B 地。A、B 两地相距多远？

Page 27

【5】小红每分钟行 80 米，小英每分钟行 60 米，两人 在同一地点同时相背而行，走了 3 分钟后，小红掉头 去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？

【6】一到队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。 一个战士因事需要从排尾赶到排头， 并立即返回排尾。 如果他的速度是每秒 3 米，那么，这位战士往返共需 要多少时间？

【7】快、中、慢三辆汽车同时从 A 地出发到 B 地去， 【8】当甲在 60 米赛跑中冲过终点时，比乙领先 10 出发后 6 分钟，快车超过了一名长跑运动员，过两分 米， 比丙领先 20 米。如果乙和丙按原来的速度继续冲 钟后中车也超过去了。又过了 2 分钟，慢车也超过去 向终点，那乙到终点时将比丙领先多少米？ 了。已知快车每分钟行驶 1000 米，中车每分钟行驶 800 米，慢车的速度是多少？

【9】好马每天走 240 里，劣马每天走 150 里，劣马先 走 12 天，好马几天可以追上劣马？

【10】哥哥放学回家，以每小时 6 千米的速度步行， 18 分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家。弟弟骑自 行车以每小时 15 千米的速度追哥哥。 经过几分钟弟弟 可以追上哥哥？

Page 28